湖北省武汉市吴家山中学高三数学复习资料 常用逻辑用语学习指导 理.doc

常用逻辑用语学习指导逻辑知识作为整章内容在高中出现，经历了从无到有、由难到易、由繁到简、位置由前到后、内容由少到多的演变.普通高中数学课程标准（实验）中明确指出：通过学习常用逻辑用语，使学生能“体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流.”由此可以看出，对本章的学习，其基点应是常用的逻辑用语，而不是简易逻辑的学习，更不是数理逻辑的学习.因此，本章内容应以教材为准，既不要拨高，也不要拓展.要强化基础知识的识记与理解，注意命题的灵活运用，并使之成为我们理解、分析、解决问题的有效工具.下面，我们按知识点的顺序将本章知识进行归纳整理，分类剖析，以期达到“以点带面，抛砖引玉”之目的.知识点一、（简单）命题的概念例1 下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；好大的一棵树啊！对于(x1)20，有2x10；作；等边三角形难道不是等腰三角形吗？解析 是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；是假命题，数0既不是正数也不是负数；感叹句，不是命题；是命题.因为(x1)20，即x1时，2x10不成立，所以是假命题；祈使句，不是命题；通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题. 是命题的有，真命题有.点拨 此为概念辨析题.判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假. 一般地，陈述句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.另外，命题不只有两种规范形式：“若p，则q”和“如果p，那么q”，命题也可写成“只要p，就有q”的形式.因此，将中的语句改写成“若(x1)20，则2x10”或“只要(x1)20，就有2x10”，则其是否为命题就显而易见.例2 已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题： ： ：其中的真命题是( ) a， b， c， d，解析 由，得，即，；由，得，即，；故选a.点拨 要判断命题的真假，一方面，要根据命题本身涉及的知识去判断；另一方面，要判断一个命题为真，一般要进行严格的证明，而要判断一个命题为假，只要举一个反例即可.例3 设函数的定义域为a，若命题p：与命题q：中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围解析：定义域a即为不等式的解集，等价于不等式的解集.若命题p：与命题q：都是假命题，即，则有，解得，所以命题p：与命题q：中至少有一个是真命题时实数a的取值范围是.点拨 两个命题中至少有一个是真命题，若从正面求解，则有三种情况，比较复杂，所以先从反面考虑，再求补集即可.知识点二、四种命题及其真假的判断例4 写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.解析 原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数，是真命题.逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数，是真命题.否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数，是真命题.逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数，是真命题.点拨 要构造出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，首先应将原命题改写成“若则” 的形式，然后根据定义进行改写.另外，对“都不”的否定，有人认为是“不都”，这是错误的. “都不”的否定应为“至少有一个”，而“不都”是对“都”的否定.例5 给出下列命题：“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则方程x22x+m=0有实根”的逆否命题；“若ab=b，则ab”的逆否命题.其中是真命题的有 .解析 的逆命题为“若x、y互为倒数，则xy=1”，是真命题；的否命题为“面积不相等的三角形不全等”，是真命题；“若m1，则x2-2x+m=0有实根”为真命题，因此其逆否命题也为真命题；“若ab=b，则ab”为假命题，则其逆否命题也为假命题.真命题有.点拨 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助互为逆否的两个命题同真同假进行判断.知识点三、复合命题的构造及其真假的判断例6 分别写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题： （1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形.解析 （1）p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除；p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除；非p：连续的三个整数的乘积不能被2整除. （2）p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形；p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形；非p：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.点拨 （1）对于复合命题的构造，教材中规定：用逻辑联结词“且”、“或”把命题p和命题q联结起来得到的新命题分别称为p且q命题、p或q命题. 根据真值表，复合命题可以写成简单形式，如（1），但对于（2），如果将命题“p或q”写成：“对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形”，命题“ p且q”写成：“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”，虽然把“或”与“且”写进了新的命题，但其实都是错的.事实上，命题p、q都是假命题，由真值表知，命题p或q、p且q也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，显然矛盾.因此，要正确理解逻辑联结词“且”、“或”和 “非”的含义， “且”是指必须两个都选，“或”是指两个中至少选一个，“非”是指否定的意思。对于“非”命题的构造，尤其要注意理解和掌握常见正面词语的否定词语.例7 已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面命题p：若，m，n，则mn；命题q：若m，n，mn，则给出下列命题：pq；pq；p；q；其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析由题意知，命题p是假命题，命题q是真命题是真命题，是假命题，故填.点拨 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是判断复合命题真假的关键解题时应根据组成各个复合命题的简单命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为：确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题的真假；判断复合命题的真假例8 已知a0，a1，设p：函数yloga(x1)在(0，)上单调递减；q：曲线yx2(2a3)x1与x轴交于不同的两点如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围解析若p为真，则0a0，即(2a3)240，解得0a；p且q为假，p或q为真，p与q中有且只有一个为真命题若p真q假，则0a1且a1或1a ，有a1；若p假q真，则a1且0a，有a综上所述，a的取值范围为，1)(，)点拨 利用复合命题的真假性求参数的取值范围，通常先设原命题为真时求出参数的范围，然后利用题设条件及补集思想求出参数的取值范围知识点四、命题的否定例9 已知命题p：“x、y是实数，若，则x、y全为零”，则为 解析 为：“x、y是实数，若，则x、y不全为零” 点拨 (1)写否命题时，必须注意被否定的对象以确定否定词的位置，同时要求否定完全要记住常见关键词的否定，如“都是”的否定为“不都是”，“任意”的否定为“存在”等.(2) 命题的否定，是对整个命题进行否定，侧重于对命题结论的否定.而命题的否命题则是既否定条件又否定结论.例如，命题“若，则”的否定是“若，则”，而否命题是“若，则”，要注意二者的区别.知识点五、特称命题与全称命题例10 有以下四个命题：p1：xr，sin2cos2； p2：x，yr，sin(xy)sinxsiny；p3：x0， sinx；p4：sinxcosyxy； 其中的假命题是()a、p1，p4 b、p2，p4 c、p1，p3 d、p2，p3解：xr，sin2cos21，p1：xr，sin2cos2是假命题；p2是真命题，如xy0时成立；p3是真命题，x0，sinx0，|sinx|sinx；p4是假命题，如x，y2时，sinxcosy，但xy故选a点评：此为全称命题、特称命题的真假判断问题，可利用其定义和性质进行判别由于全称命题中的关键词强调命题的一般性，因此要否定全称命题只需一个特殊的反例即可；而存在性命题中的关键词语强调命题的存在性，因此要肯定存在性命题，只要找一个符合要求的例子即可.例11 已知命题p：“x1,2，x2a0”与命题q：“xr，x22ax86a0”都是真命题，求实数a的取值范围解析x1,2，x2a0，ax2，x1,2，令f(x)x2，x1,2，则函数f(x)在1,2上是增函数f(x)min，a；又由命题q是真命题得4a23224a0，解得a2或a4；因为命题p与q均为真命题，所以a的取值范围为(，42， 点拨 “x1,2，x2a0”即ax2在1,2上恒成立，故有a（x2）min；而“xr，x22ax86a0”即方程x22ax86a0有解充分理解“”、“”的含义是解决此类问题的关键知识点六、充分必要条件的判定与应用例12 已知条件：，条件：有意义，则是的（ ）a、充分不必要条件 b、必要不充分条件 c、充要条件 d 、既不充分也不必要条件解析 由：，得，为；由：有意义，得，为或故选a点评 由真值表知，与一真一假，用集合的观点解释，即与对应的集合互为补集故先求出、对应的集合，再求其补集即得、，然后根据定义进行 例13设命题、分别是p，q的否定，如果p是的充分不必要条件，那么q是的 条件解析 设由条件p、q组成的集合分别为p、q，为全集，q是的充分不必要条件点拨 利用“集合法”判别充要条件的方法是：设满足条件p的对象组成的集合为p，满足条件q的对象组成的集合为，（1）若，则p为q的充分条件，其中当时，p为q的充分不必要条件；（2）若，则p为q的必要条件，其中当时，p为q的必要不充分条件；（3）若，且，即，则p为q的充要条件；（4）如果以上三种关系均不成立，即p、之间没有包含或相等关系，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件例14 已知命题：，命题：若“且”与“”同为假命题，则满足的条件为（ ）a 或， b ， c0，1，2 d1，0，1，2，3解析 由且与同为假命题知为真命题、假命题，且，故选c点拨 此例是由复合命题的真假求字母满足的条件，属逆向思维问题，应熟练掌握例15 条件甲：“k或k”；条件乙：“kx22x6k0对xr恒成立”；则要使甲是乙的充要条件，条件甲中须删除的一部分是_.解析 因为kx22x6k0对xr恒成立，则(1)当k0时，不等式2x0对xr不恒成立，故k0；(2)当k0时，由条件知必有，即 ，故k.综上所述，命题甲的条件中须删除的一部分是k.点拨 本题与一般的创新试题有点不一样，它不是按要求重组新命题，而是要求去掉所给条件中的多余条件，题型比较新颖.本题实质上是探求“kx22x6k0对xr恒成立”的充要条件，因此只要求出此充要条件，对照条件就可得结果.例16 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于a、b两点，（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解析 （1）设过点的直线交抛物线于点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，由得，又