辽宁省丹东市东港市九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

辽宁省丹东市东港市2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（） a平行四边形b菱形 c矩形 d正方形2三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x216x+60=0 的一个实数根，则该 三角形的面积是（）a24b24 或 8c48d83如图，在矩形 abcd 中，对角线 ac，bd 相交于点 o，aebd，垂足为 e，ae=3，ed=3be， 则 ab 的值为（）a6b5c2d34如图，已知 debc，dc，be 交于点 o，且 sdoe：scob=4：9，则 ad：db 为（）a2：1 b2：3 c4：9 d5：45若 5k+200，则关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 的根的情况是（）a没有实数根b有两个相等的实数根 c有两个不相等的实数根 d无法判断6把两个相同的矩形按如图方式叠合起来，重叠部分为图中的阴影部分，已知 ad=4，dc=3，则 重叠部分的面积为（）23a6bcd7在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共 40 个，除颜色外其他完全相同小明通过多次 摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 15%左右，则口袋中红色球可能有（）a4 个 b6 个 c34 个d36 个8如图，直线 m 是矩形 abcd 的一条对称轴，adb=30，点 p 是直线 m 上一点，且使得pab 和pad 均为等腰三角形，则满足条件的点 p 共有（）a1 个 b2 个 c3 个 d4 个二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9a，b，c，d 是成比例线段，其中 a=1cm，b=2cm，c=3cm，则线段 d= cm10若关于 x 的方程 x25x+k=0 的一个根是 1，则另一个根是 11设 c 是线段 ab 的黄金分割点 ab=4cm，则 ac= cm12边长为 13 的菱形，一条对角线长为 10，则菱形的面积为 13若 = ，则 = 14如图，在正方形 abcd 中，ab=12，e 是 ab 边上一点，且 ae=3be，p 是对角线 ac 上一动点， 则 pb+pe 的最小值是 15某公司前年缴税 200 万元，今年缴税 338 万元，则该公司这两年缴税的年均增长率 为 16如图，在平面直角坐标系中，菱形 mnpo 的顶点 p 的坐标是（3，4），对角线 pm 与 cn 交于 点 b，则点 b 的坐标为 三、解答题（共 2 小题，满分 24 分） 17（1）2x2+x=6（用公式法解方程） x24=3x6（用适当的方法解方程）18如图，每个小正方形都是边长为 1 个单位长度的正方形，abc 与a1b1c1 是以点 0 为位似中 心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上（1）请在方格中确定位似中心 0 的位置，并以 o 为坐标原点，以网格线所在直线为坐标轴建立平 面直角坐标系；abc 与a1b1c1 的位似比 ；（3）在图中作出abc 关于原点 o 成中心对称的图形a2b2c2四、（共 1 小题，满分 10 分） 19为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下游戏：在三张完全相同的卡片上，分别写 上字母 a，b，b，背面朝上，每次活动洗均匀甲说：我随机抽取一张，若抽到字母 b，电影票归我； 乙说：我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同的电影票归我（1）求甲获得电影票的概率； 求乙获得电影票的概率；（3）此游戏对谁有利？五、解答题（满分 12 分）20某商场销售某种商品，进价为每千克 40 元，按每千克 50 元出售，平均每天可售出 100 千克后来经过市场调查，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20 千克若该商场销售这种商品平均每天获利 2240 元，并且为尽可能让利于顾客，赢得市场，那么这种商品每千克应降价多少元？六、解答题（共 2 小题，满分 22 分）21如图，abc 中，ab=ac，ad 是bac 的角平分线，点 o 是 ab 的中点，连接 do 并延长 到 e，使 do=eo，连接 ae，be（1）判断四边形 aebd 是何特殊的四边形，并证明； 当bac 为多少度时，四边形 aebd 是正方形？并证明22如图，菱形 abcd 对角线交于点 o，beac，aebd，eo 与 ab 交于点 f（1）求证：eo=dc若菱形 abcd 的边长为 10，eba=60求：菱形 abcd 的面积七、（共 1 小题，满分 14 分）23在正方形 abcd 中，动点 e，f 分别从 d，c 两点同时出发，以相同的速度在直线 dc，cb 上 移动（1）如图，当点 e 自 d 向 c，点 f 自 c 向 b 移动时，连接 ae 和 df 交于点 p，请你写出 ae与 df 的关系，并说明理由如图，当点 e，f 分别移动到边 dc，cb 的延长线上时，连接 ae 和 df，（1）中的结论还成立吗？（请你直接作答，不需证明）（3）如图，当 e，f 分别在边 cd，bc 的延长线上移动时，连接 ae 和 df，（1）中的结论还成 立吗？请说明理由八、（共 1 小题，满分 15 分）24如图：直线 y=3x+3 与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 c，直线 bc 与 x 轴交于 b（3，0）， 与 y 轴交于点 c（1）求：点 a 与点 c 的坐标； 求直线 bc 的表达式；（3）已知，点 d（1，4），判断bcd 形状，并证明；（4）在坐标轴上是否存在点 p，使得以 p、a、c 为顶点的三角形与bcd 相似？若存在，请直接 写出 p 点的坐标；若不存在，请说明理由辽宁省丹东市东港市 2016 届九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（） a平行四边形b菱形 c矩形 d正方形【考点】矩形的判定【分析】本题画出辅助线，连接 ac、bd，证明连接菱形的各边中点所得到的是平行四边形，再证 平行四边形的一个角为直角即可【解答】解：如图，连接 ac、bd，四边形 abcd 为菱形，e、f、h、g 为菱形边上的中点，ehfg，efhd，四边形 ehgf 为平行四边形 根据菱形的性质可得菱形的对角线互相垂直， 故efg=aod=90所以四边形 ehgf 为矩形 故选 c【点评】本题考查的是矩形的判定定理以及菱形的判定考生应熟记书本上的内容，难度一般2三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x216x+60=0 的一个实数根，则该 三角形的面积是（）a24b24 或 8 c48d8【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理【专题】几何图形问题；分类讨论【分析】本题应先解出 x 的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式 s=底高求出面积【解答】解：x216x+60=0（x6）（x10）=0，x=6 或 x=10当 x=6 时，该三角形为以 6 为腰，8 为底的等腰三角形高 h=2 ，s= 82=8；当 x=10 时，该三角形为以 6 和 8 为直角边，10 为斜边的直角三角形s= 68=24s=24 或 8 故选：b【点评】本题考查了三角形的三边关系 看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地 计算，让学生能更好地解出此类题目3如图，在矩形 abcd 中，对角线 ac，bd 相交于点 o，aebd，垂足为 e，ae=3，ed=3be， 则 ab 的值为（）a6b5c2d3【考点】矩形的性质【分析】由在矩形 abcd 中，aebd 于 e，be：ed=1：3，易证得oab 是等边三角形，继而求 得bae 的度数，由oab 是等边三角形，求出ade 的度数，又由 ae=3，即可求得 ab 的长【解答】解：四边形 abcd 是矩形，ob=od，oa=oc，ac=bd，oa=ob，be：ed=1：3，be：ob=1：2，aebd，ab=oa，oa=ab=ob，即oab 是等边三角形，abd=60，aebd，ae=3，ab= =2，故选 c【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含 30角的直角三角形的性质，结合 已知条件和等边三角形的判定方法证明oab 是等边三角形是解题关键4如图，已知 debc，dc，be 交于点 o，且 sdoe：scob=4：9，则 ad：db 为（）a2：1 b2：3 c4：9 d5：4【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由 debc，可判定adeabc，doecob，又由 sdoe：scob=4：9，根 据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得 de：bc=2：3，又由相似三角形的对应边成比例， 求得答案【解答】解：debc，adeabc，doecob，sdoe：scob=4：9，de：bc=2：3，ad：ab=de：bc=2：3，ad：db=2：1 故选 a【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似 三角形的对应边成比例5若 5k+200，则关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 的根的情况是（）a没有实数根b有两个相等的实数根 c有两个不相等的实数根 d无法判断【考点】根的判别式【专题】计算题【分析】根据已知不等式求出 k 的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情 况【解答】解：5k+200，即 k4，=16+4k0， 则方程没有实数根 故选：a【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数 根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0，方程没有实数根6把两个相同的矩形按如图方式叠合起来，重叠部分为图中的阴影部分，已知 ad=4，dc=3，则 重叠部分的面积为（）a6bcd【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据勾股定理求出 ac，继而求出 ce，易证得cefcab，根据相似三角形的相似比等于对应高之比求出，求出 s 四边形 abef=sabc，代入求出即可【解答】解：在矩形 abcd 中，ad=4，dc=3，在 rtadc 中，ac=5，cf=accf=54=1，由矩形的性质得：aef=cba=90，fae=cab，cefcab， =（ ）2= ，s 四边形 abef=sabc= 34= ，故选 d【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及矩形的性质注意相似三角形的面积 比等于相似比的平方7在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共 40 个，除颜色外其他完全相同小明通过多次 摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 15%左右，则口袋中红色球可能有（）a4 个 b6 个 c34 个d36 个【考点】利用频率估计概率【分析】由频数=数据总数频率计算即可【解答】解：摸到红色球的频率稳定在 15%左右，口袋中红色球的频率为 15%，故红球的个数为 4015%=6 个 故选 b【点评】大量反复试验下频率稳定值即概率8如图，直线 m 是矩形 abcd 的一条对称轴，adb=30，点 p 是直线 m 上一点，且使得pab 和pad 均为等腰三角形，则满足条件的点 p 共有（）a1 个 b2 个 c3 个 d4 个【考点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质【专题】分类讨论【分析】根据线段垂直平分线的性质可得pad 为等腰三角形，pab 为等腰三角形，有三种可能：ap=ab 或 bp=ba 或 pa=pb若 ap=ab，则点 p 在以点 a 为圆心，ab为半径的圆与直线 m 的交点处；若 bp=ba，则点 p 在以点 b 为圆心，ba 为半径的圆与直线 m 的 交点处；若 pa=pb，则点 p 在 ab 的垂直平分线与直线 m 的交点处画出图象，就可解决问题【解答】解：直线 m 是矩形 abcd 的一条对称轴，点 p 是直线 m 上一点，pa=pc，a=90，pad 为等腰三角形adb=30，abd=60pab 为等腰三角形，ap=ab 或 bp=ba 或 pa=pb如图所示，由图可知：满足条件的点 p 共有 3 个 故选 c【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，需要注意的是等腰pab 并没有指明哪个是腰，需分三种情况讨论，在数满足条件的点的个数时，要考虑有没有重合 的现象二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9a，b，c，d 是成比例线段，其中 a=1cm，b=2cm，c=3cm，则线段 d= 6cm【考点】比例线段【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段根据定义ad=cb，将 a，b 及 c 的值代入即可求得 d【解答】解：a，b，c，d 是成比例线段，ad=cb，a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=6，则 d=6cm 故答案为：6【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的 基本性质10若关于 x 的方程 x25x+k=0 的一个根是 1，则另一个根是 4【考点】根与系数的关系【分析】首先设另一个根是 ，由关于 x 的方程 x25x+k=0 的一个根是 1，根据根与系数的关系， 可得 +1=5，继而求得答案【解答】解：设另一个根是 ，关于 x 的方程 x25x+k=0 的一个根是 1，+1=5， 解得：=4 即另一个根是 4 故答案为：4【点评】此题考查了根与系数的关系注意 x1，x2 是方程 x2+px+q=0 的两根时，x1+x2=p，x1x2=q11设 c 是线段 ab 的黄金分割点 ab=4cm，则 ac= 或（62）cm【考点】黄金分割【专题】分类讨论【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比【解答】解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况， 当 ac 是较长线段时，ac=4=2 2；当 ac 是较短线段时，则 ac=42+2=62 故本题答案为：2 2 或 62【点评】考查了黄金分割点的概念，此题主要是注意应有两种情况12边长为 13 的菱形，一条对角线长为 10，则菱形的面积为 120【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是 5根据勾股定理，得要求的对 角线的一半是 12，则另一条对角线的长是 24，进而求出菱形的面积【解答】解：在菱形 abcd 中，ab=13，ac=10，对角线互相垂直平分，aob=90，ao=5，在 rtaob 中，bo=12，bd=2bo=24则此菱形面积是 1024=120， 故答案为：120【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分和熟练运用 勾股定理是解题关键13若 = ，则 = 【考点】比例的性质【分析】由= ，根据比例的性质可得：3=n，则可求得 m=n，继而求得答案【解答】解：= ，3=n，6m3n=n， 解得：m= n， = 故答案为： 【点评】此题考查了比例的性质此题难度不大，注意掌握比例变形与比例的性质是解此题的关键14如图，在正方形 abcd 中，ab=12，e 是 ab 边上一点，且 ae=3be，p 是对角线 ac 上一动点， 则 pb+pe 的最小值是 15【考点】轴对称-最短路线问题【分析】由正方形的性质可知；点 b 与点 d 关于 ac 对称，由轴对称的性质可知 pb=pd，当点 e、 p、d 在一条直线上时，pe+pb 有最小值，最后根据勾股定理求得 ed 的长即可【解答】解：如图所示：连接 ed 交 ac 与点 p四边形 abcd 是正方形，点 b 与点 d 关于 ac 对称pb=pdpe+pb=pd+ep由两点之间线段最短可知：当点 e、p、d 在一条直线上时，pe+pb 有最小值，最小值为 ed 在 rtade 中，ed=15，故答案为：15【点评】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称路径最短问题、勾股定理，明确当点 e、p、d在一条直线上时，pe+pb 有最小值是解题的关键15某公司前年缴税 200 万元，今年缴税 338 万元，则该公司这两年缴税的年均增长率为 30%【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年 平均增长率为 x，首先表示出 2006 年的缴税额，然后表示出 2007 年的缴税额，即可列出方程【解答】解：设该公司这两年缴税的年均增长率为 x， 依题意得：200（1+x）2=338，解得 x=0.3=30% 故答案是：30%【点评】主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起 始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量16如图，在平面直角坐标系中，菱形 mnpo 的顶点 p 的坐标是（3，4），对角线 pm 与 cn 交于 点 b，则点 b 的坐标为 （4，2）【考点】菱形的性质；坐标与图形性质【分析】由菱形的性质再结合勾股定理可求 om 的长，则点 m 的坐标可求出，因为点 b 是 pm 中点， 进而可求出点 b 的坐标【解答】解：顶点 p 的坐标是（3，4），op= =5，四边形 mnpo 是菱形，op=om=5，点 m 坐标（5，0），pb=bm，点 b 的横坐标=4，纵坐标= =2，点 b（4，2） 故答案为（4，2）【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，正确求出点 m 的坐标是解题关键三、解答题（共 2 小题，满分 24 分） 17（1）2x2+x=6（用公式法解方程） x24=3x6（用适当的方法解方程）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法【专题】计算题【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式求解； 先把方程变形为（x+2）（x2）+3（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程【解答】解：2x2+x6=0a=2，b=1，c=6=b24ac=142（6）=49，x= ， 所以 x1= ，x2=2；（x+2）（x2）+3（x+2）=0，（x+2）（x+1）=0，x+2=0 或 x+1=0，所以 x1=2，x2=1【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分 解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次 方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数 学转化思想）也考查了公式法解一元二次方程18如图，每个小正方形都是边长为 1 个单位长度的正方形，abc 与a1b1c1 是以点 0 为位似中 心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上（1）请在方格中确定位似中心 0 的位置，并以 o 为坐标原点，以网格线所在直线为坐标轴建立平 面直角坐标系；abc 与a1b1c1 的位似比 1：2 ；（3）在图中作出abc 关于原点 o 成中心对称的图形a2b2c2【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换【分析】（1）首先连接 a1a，c1c，并延长交于点 o，则可建立平面直角坐标系； 由 ab=2，a1b1=4，即可求得abc 与a1b1c1 的位似比；（3）首先求得a2b2c2 中各点的坐标，继而可画出abc 关于原点 o 成中心对称的图形a2b2c2【解答】解：（1）如图，连接 a1a，c1c，并延长交于点 o，则可建立平面直角坐标系；ab=2，a1b1=4，abc 与a1b1c1 的位似比为：1：2； 故答案为：1：2；（3）a2（1，2），b2（3，2），c2（2，1），连接各点，即可做出abc 关于原点 o 成中心对称的图形a2b2c2【点评】此题考查了位似变换的性质注意结合题意，求得变化后的三角形的各边的坐标是关键 四、（共 1 小题，满分 10 分）19为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下游戏：在三张完全相同的卡片上，分别写 上字母 a，b，b，背面朝上，每次活动洗均匀甲说：我随机抽取一张，若抽到字母 b，电影票归我； 乙说：我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同的电影票归我（1）求甲获得电影票的概率； 求乙获得电影票的概率；（3）此游戏对谁有利？【考点】游戏公平性；列表法与树状图法【专题】计算题【分析】（1）由三张电影票中 b 有两个，求出甲获得的概率即可； 列表得出所有等可能的情况数，求出乙获得的概率即可；（3）比较两人的概率，即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：p（甲获得电影票）= ； 列表如下：abba（a，a）（b，a）（b，a）b（a，b）（b，b）（b，b）b（a，b）（b，b）（b，b）所有等可能的情况有 9 种，其中两次抽取字母相同的结果有 5 种， 则 p（乙获得电影票）=；（3） ，此游戏对甲更有利【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概 率，概率相等就公平，否则就不公平五、解答题（满分 12 分）20某商场销售某种商品，进价为每千克 40 元，按每千克 50 元出售，平均每天可售出 100 千克后来经过市场调查，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20 千克若该商场销售这种商品平均每天获利 2240 元，并且为尽可能让利于顾客，赢得市场，那么这种商品每千克应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】设这种商品每千克应降价 x 元，利用销售量每千克利润=2240 元列出方程求解即可【解答】解：设这种商品每千克应降价 x 元，根据题意得（60x40）（100+ 20）=2240 整理得 x210x+24=0 解得：x1=4（不合题意，舍去），x2=6 答：这种商品每千克应降价 6 元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握销售问题中的基本数量关系六、解答题（共 2 小题，满分 22 分）21如图，abc 中，ab=ac，ad 是bac 的角平分线，点 o 是 ab 的中点，连接 do 并延长 到 e，使 do=eo，连接 ae，be（1）判断四边形 aebd 是何特殊的四边形，并证明； 当bac 为多少度时，四边形 aebd 是正方形？并证明【考点】正方形的判定；矩形的判定【分析】（1）先证明四边形 aebd 是平行四边形，再由等腰三角形的三线合一性质得出bda=90， 即可得出结论；由等腰三角形的性质得出 bd=ad，即可得出结论【解答】（1）解：四边形 aebd 是矩形理由如下：点 o 是 ab 的中点，oa=ob，又do=eo，四边形 aebd 是平行四边形，ab=ac，ad 是bac 的角平分线，adbc， 即bda=90，四边形 aebd 是矩形解：当bac=90时，四边形 aebd 是正方形理由如下： 当bac=90时，ad 是bac 的角平分线，bad= bac=45，由（1）知bda=90，dba=45，dba=bad=45，bd=ad，矩形 aebd 是正方形【点评】本题考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和 矩形的判定方法，由等腰三角形的性质得出bda=90是解决问题的关键22如图，菱形 abcd 对角线交于点 o，beac，aebd，eo 与 ab 交于点 f（1）求证：eo=dc若菱形 abcd 的边长为 10，eba=60求：菱形 abcd 的面积【考点】菱形的性质【分析】（1）首先证明四边形 aebo 是平行四边形，再证明是矩形可得 eo=ab，又因为 ab=cd， 所以 eo=dc，问题得证；根据菱形 abcd 的面积=abd 的面积+bcd 的面积=2abd 的面积计算即可【解答】（1）证明：beac，aebd四边形 aebo 是平行四边形， 又菱形 abcd 对角线交于点 o，acbd， 即aob=90，四边形 aebo 是矩形，eo=ab，四边形 abcd 是菱形，ab=dc，eo=dc；解：由（1）知四边形 aebo 是矩形，ebo=90，eba=60，abo=30，在 rtabo 中，ab=10，abo=30，ao=5，bo=5bd=10 ，菱形 abcd 的面积=abd 的面积+bcd 的面积=2abd 的面积=2 105=50【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，得到菱形 abcd的面积=abd 的面积+bcd 的面积=2abd 的面积是解题关键七、（共 1 小题，满分 14 分）23在正方形 abcd 中，动点 e，f 分别从 d，c 两点同时出发，以相同的速度在直线 dc，cb 上 移动（1）如图，当点 e 自 d 向 c，点 f 自 c 向 b 移动时，连接 ae 和 df 交于点 p，请你写出 ae与 df 的关系，并说明理由如图，当点 e，f 分别移动到边 dc，cb 的延长线上时，连接 ae 和 df，（1）中的结论还成立吗？（请你直接作答，不需证明）（3）如图，当 e，f 分别在边 cd，bc 的延长线上移动时，连接 ae 和 df，（1）中的结论还成 立吗？请说明理由【考点】四边形综合题【分析】（1）ae=df，aedf先证得adedcf由全等三角形的性质得 ae=df，dae=cdf，再由等角的余角相等可得 aedf；由正方形的性质得出 ad=dc，ade=dcf=90，de=cf，sas 证出adedcf，得出 ae=df，dae=cdf，证出dae+adf=90，得出 aedf；（3）成立由（1）同理可证 ae=df，dae=cdf，延长 fd 交 ae 于点 g，再由等角的余角相 等可得 aedf【解答】解：（1）ae=df，aedf；理由如下：四边形 abcd 是正方形，ad=dc，adc=c=90，动点 e，f 分别从 d，c 两点同时出发，以相同的速度在直线 dc，cb 上移动，de=cf，在ade 和dcf 中，adedcf（sas），ae=df，dae=cdf，由于cdf+adf=90，dae+adf=90，apd=90，aedf； 成立；理由如下：四边形 abcd 是正方形，ad=dc，adc=dcf=90，动点 e，f 分别从 d，c 两点同时出发，以相同的速度在直线 dc，cb 上移动，de=cf，在ade 和dcf 中，adedcf（sas），ae=df，dae=cdf，由于cdf+adf=90，dae+adf=90，aedf；（3）成立；理由如下： 同（1）得：ae=df，dae=cdf， 延长 fd 交 ae 于点 g，如图所示： 则cdf+adg=90，adg+dae=90，agd=90，aedf【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、互余两角的关 系、垂线的证法等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解 决问题的关键八、（共 1 小题，满分 15 分）24如图：直线 y=3x+3 与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 c，直线 bc 与 x 轴交于 b（3，0）， 与 y 轴交于点 c（1）求：点 a 与点 c 的坐标； 求直线 bc 的表达式；（3）已知，点 d（1，4），判断bcd 形状，并证明；（4）在坐标轴上是否存在点 p，使得以 p、a、c 为顶点的三角形与bcd 相似？若存在，请直接 写出 p 点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】一次函数综合题【专题】压轴题；数形结合；分类讨论【分析】（1）根据直线 y=3x+3 与 x 轴交