江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学 数学归纳法1学案 苏教版选修23.doc

数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.学习重难点：数学归纳法学习过程：探究一：数学归纳法的原理问题1.有一串鞭炮相互连结在一起，点着第1个后，整串鞭炮便一个接着一个响了起来，直到最后一个.请问：为什么能响到最后一个？问题2.对于数列an，已知a11，an1，试写出a1，a2，a3，a4并由此作出猜想.请问这个结论正确吗？怎样证明？以下为证明过程：(1)当n1时，a11，所以结论成立.(2)假设当nk(kn*)时，结论成立，即ak，则当nk1时ak1(已知)(代入假设)(变形)(目标)即当nk1时，结论也成立.由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an成立.问题4.你能否总结出上述证明方法的一般模式？自主学习：阅读教材p89例1,2,3探究二：用数学归纳法证明数列问题例.已知数列，计算s1，s2，s3，s4，根据计算结果，猜想sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.小结：归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳猜想证明”的基本思想.跟踪训练：数列an满足sn2nan(sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明.小结：证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.当堂检测：1.某个命题与正整数n有关，若nk (kn*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么下列说法正确的是_.n6时该命题不成立 n6时该命题成立n4时该命题不成立 n4时该命题成立2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第一步验证n1时，命题成立，第二步归纳假设应写成_.3.用数学归纳法证明3nn3(n3，nn*)第一步应验证_.4.用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是_.5.用数学归纳法证明(1)(1)(1)(1)(nn*)6.用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1.7.已知数列an的第一项a15且sn1an(n2，nn*)，sn为数列an的前n项和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式参考答案：1. 2. 假设n2k1(kn*)时命题正确，再推证n2k1时命题正确3. n3时是否成立4. (2k2)(2k3)9证明(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kn*)时等式成立，即(1)(1)(1)(1)，当nk1时，(1)(1)(1)(1)(1)(1)，所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意nn*等式都成立10证明(1)当n1时，左边1，右边(1)111，结论成立(2)假设当nk时，结论成立即12223242(1)k1k2(1)k1，那么当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.即nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立11(1)解a2s1a15，a3s2a1a210，a4s3a1a2a3551020，猜想an.(2)证明当n2时，a252225，公式成立假设nk(k2，kn*)时成立，即ak52k2，当nk1时，由已知条件和假设有