高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间向量及其应用课件.ppt

8 5空间向量及其应用 高考数学 考点一空间角1 两条异面直线所成的角 的范围是 当 时 这两条异面直线互相垂直 2 斜线ao与它在平面 内的 射影所成的角叫做直线和平面所成的角 或夹角 3 斜线和平面所成的角 是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中 最小的角 如果直线和平面垂直 那么就说直线和平面所成的角为 90 如果直线和平面平行或在平面内 那么就说直线和平面所成的角为 0 知识清单 4 直线和平面所成角的范围为 5 斜线和所交平面所成的角的范围为 考点二空间向量在立体几何中的应用1 空间向量及运算 1 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 a b b 0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1b1 a2b2 a3b3 0 2 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 x2 x1 y2 y1 z2 z1 这就是说 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标 2 两个向量的夹角及两点间的距离公式 1 已知a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a b a b a1b1 a2b2 a3b3 cos 2 已知a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 或者dab 其中dab表示a与b两点间的距离 这就是空间两点间的距离公式 3 若a b均为非零向量 则向量a在向量b上的射影为 a cos 4 设n是平面m的一个法向量 ab cd是m内的两条相交直线 则n 0 n 0 由此可求出法向量n 向量及已知 5 利用空间向量证明线面平行 只要在平面 内找到一条直线的方向向量b 已知直线的方向向量为a 问题转化为证明a b即可 或者已 知直线上的a b两点坐标 在平面 内找出两点c d 写成坐标形式 x1 y1 z1 x2 y2 z2 只需证明x1 x2且y1 y2且z1 z2 6 利用空间向量证明两条异面直线垂直 在两条异面直线上各取一个方向向量a b 只要证明a b 即a b 0即可 7 证明线面垂直 已知直线l 平面 要证l 只要在l上取一个非零向量p 在 内取两个不共线的向量a b 问题转化为证p a且p b 也就是a p 0且b p 0 8 证明面面平行 面面垂直 最终都要转化为证明线线平行 线线垂直 9 空间角公式 1 异面直线所成角公式 设a b分别为异面直线l1 l2的方向向量 为l1 l2所成的角 则cos cos 2 线面所成角公式 设l为平面 的斜线 a为l的方向向量 n为平面 的法向量 为l与 所成的角 则sin cos 3 面面角公式 设n1 n2分别为平面 的法向量 二面角为 则 或 需要根据具体情况判断相等或互补 其中cos 异面直线所成角的求解策略1 用 平移法 作出异面直线所成角 或其补角 解三角形求角 2 用 向量法 求两直线的方向向量所成的锐角 例1如图 平面abcd 平面adef 其中 四边形abcd为矩形 四边形adef为梯形 af de af fe af ad 2 de 1 求异面直线ef与bc所成角的大小 方法技巧 解题导引导引一 延长ad fe交于q 利用线线平行得异面直线所成角 解三角形得结论导引二 证明三线互相垂直 建立空间直角坐标系 计算两直线的方向向量的夹角 得结论 解析解法一 延长ad fe交于q 如图 因为四边形abcd是矩形 所以bc ad 所以 aqf是异面直线ef与bc所成的角 在梯形adef中 因为de af af fe af ad 2 de 1 所以dq ad 2 aqf 30 故异面直线ef与bc所成的角为30 解法二 ab ad 平面abcd 平面adef 且平面abcd 平面adef ad ab 平面adef 故ab af ef两两垂直 以f为原点 af fe所在的直线分别为x轴 y轴 过点f平行于ab的直线为z轴 建立空间直角坐标系f xyz 如图 在梯形adef中 由af de af fe af ad 2 de 1 得fe 则f 0 0 0 a 2 0 0 e 0 0 d 1 0 所以 0 0 1 0 则cos 所以 30 故异面直线ef与bc所成角的大小为30 评析本题考查用 平移法 作异面直线所成角 用 向量法 求异面直线所成角 考查逻辑推理能力和空间想象能力 直线与平面所成角的求解策略1 按定义作出线面角 即找到斜线在平面内的射影 解三角形 2 求平面的法向量 利用直线所在的方向向量与平面的法向量所成的锐角和直线与平面所成角互余求线面角 3 利用等体积法求点到面的距离 由距离与斜线段长的比值等于线面角的正弦值求线面角 例2 2017浙江镇海中学第一学期期中 17 在三棱锥d abc中 da db dc d在底面abc上的射影为e ab bc df ab于f 1 求证 平面abd 平面def 2 若ad dc ac 4 bac 60 求直线be与平面dab所成的角的正弦值 解题导引 1 由线面垂直得线线垂直 由线面垂直的判定定理得线面垂直 由面面垂直的判定得结论 2 导引一 利用面面垂直的性质过点作平面的垂线 作出线面角 解三角形得结论导引二 建立空间直角坐标系 计算各点的坐标 求平面dab的法向量 结论 解析 1 证明 由题意知de 平面abc 所以ab de 又ab df 且de df d 所以ab 平面def 又ab 平面abd 所以平面abd 平面def 2 解法一 由da db dc 知ea eb ec 所以e是 abc的外心 又ab bc 所以e为ac的中点 如图所示 过e作eh df于h 连接bh 则由 1 知eh 平面dab 所以 ebh即为be与平面dab所成的角 由ac 4 bac 60 得ab ae be 2 所以ef 又de 2 所以df eh 所以sin ebh 解法二 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 2 0 d 0 0 2 b 1 0 所以 0 2 2 1 2 1 0 设平面dab的法向量为n x y z 由得取z 1 得n 设与n的夹角为 则cos 所以be与平面dab所成的角的正弦值为 评析本题考查线面垂直的判定和性质 面面垂直的判定 平面的法向量和线面角的作法和计算 考查逻辑推理能力和空间想象能力 平面与平面所成角的求解策略二面角的平面角的作法是重点 构造平面角主要有以下方法 1 根据定义 2 利用二面角的棱的垂面 3 利用两同底等腰三角形底边上的两条中线 4 射影法 利用面积射影定理s射 s斜 cos 5 向量法 利用组成二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角相等或互补 例3 2017浙江高考模拟训练冲刺卷四 19 如图 在四棱锥p abcd中 侧面pab 底面abcd 四边形abcd是边长为2的正方形 pa pb 点m在线段pc上 不含端点 且bm 平面pac 1 求证 ap 平面bcp 2 求二面角b ac p的正弦值 解题导引 1 由线面垂直得ap bm 由面面垂直得ap bc 由线面垂直的判定得结论 2 建立空间直角坐标系 计算各点的坐标 求两平面的法向量 结论 解析 1 证明 bm 平面pac bm ap 侧面pab 底面abcd 且bc ab bc 侧面pab bc ap 又bc与bm是平面bcp内两相交直线 ap 平面bcp 2 设ab的中点为o cd的中点为n 连接op on 则on ab 由平面pab 平面abcd 且po ab 得po 底面abcd po on 分别以ob on op所在的直线为x y z轴建立空间直角坐标系 如图所示 由ap 平面bcp 得ap bp 又pa pb ab 2 可得op 1 则各点坐标为a 1 0 0 b 1 0 0 c 1 2 0 p 0 0 1 平面abc的一个法向量为n 0 0 1 设平面pac的法向量为m x y z 又 1 0 1 2 2 0 所以由m 0 m 0 得取z 1 得m 1 1 1 设二面角b ac p的平面角为 则 cos 故sin 即二面角b ac p的正弦值为 评析本题考查面面垂直的性质 线面垂直的判定和性质 法向量和二面角的计算 考查逻辑推理能力和空间想象能力 建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键 用向量证明平行或垂直的求解策略1 用向量证明平行的方法 1 线线平行 只需证明两直线的方向向量是共线向量 2 线面平行 证明直线的方向向量能被平面的两个基底所表示 或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 3 面面平行 证明两平面的法向量是共线向量 2 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 只需证明两直线的方向向量互相垂直 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量 3 面面垂直 证明两平面的法向量互相垂直 例4如图 已知ab 平面acd de 平面acd acd为等边三角形 ad de 2ab f为cd的中点 1 求证 af 平面bce 2 求证 平面bce 平面cde 3 求直线bf和平面bce所成角的正弦值 解题导引 1 建立空间直角坐标系 计算点的坐标 向量的坐标 得向量 的关系 结论 2 由向量法证线面垂直 由面面垂直的判定得结论 3 求平面的法向量 由直线的方向向量与平面的法向量所成角与线面角的关系得结论 解析设ad de 2ab 2a a 0 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 c 2a 0 0 b 0 0 a d a a 0 e a a 2a f为cd的中点 f 1 证明 a a a 2a 0 a 又af 平面bce af 平面bce 2 证明 a a 0 0 0