广东省广州实验中学高三数学上学期第二次段考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省广州实验中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合a=x|x21，b=x|log2x0，则ab=（）ax|x1bx|0cx|x1dx|x1或x12设复数ei=cos+isin，则复数e的虚部为（）abc id i3已知等边abc，边长为1，则|3+4|等于（）ab5cd74执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的s值为（）abcd5已知等比数列an的公比为q，则“0q1”是“an为递减数列”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6已知函数f（x）为定义在r上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）y=f（x） y=xf（x） y=f（x）xabcd7已知f（x）=sin（x+）（0）的图象与y=1的图象的相邻两交点间的距离为，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位8设a=（3x22x）dx，则（ax2）6的展开式中的第4项为（）a1280x3b1280c240d2409已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）abcd10若，则等于（）abcd11高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）abcd12过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点且斜率为2的直线与c交于a、b两点，以ab为直径的圆与c的准线有公共点m，若点m的纵坐标为2，则p的值为（）a1b2c4d8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13双曲线2x2y2=1的离心率为14已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=15已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为16在abc中，已知角，a2+b2=4（a+b）8，则边c=三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：，求数列bn的前n项和sn18某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为a，b，c，d，e五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为e的学生有8人（）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为a的人数；（）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望19如图1，四边形abcd中，e是bc的中点，db=2，dc=1，bc=，ab=ad=，将图1沿直线bc折起，使得二面角abcc为60如图2（1）求证：ae平面bdc；（2）求直线ac与平面abd所成角的余弦值20已知椭圆c： =1（ab0）的上顶点为a，两个焦点为f1、f2，af1f2为正三角形且周长为6（）求椭圆c的标准方程；（）已知圆o：x2+y2=r2，若直线l与椭圆c只有一个公共点m，且直线l与圆o相切于点n；求|mn|的最大值21设f（x）=xaex（ar），xr，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大【选修4-1：几何证明选讲如图】22如图，ad是abc的高，ae是abc的外接圆的直径，过点a作圆的切线交bc的延长线于点f（1）求证：abeadc；（2）若bd=4cd=4cf=8，求abc的外接圆的半径【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23（2015陕西校级模拟）直角坐标系中曲线c的参数方程为（为参数）（1）求曲线c的直角坐标方程；（2）经过点m（2，1）作直线l交曲线c于a，b两点，若m恰好为线段ab的三等分点，求直线l的斜率【选修4-5：不等式选讲】24（2015河南模拟）已知函数f（x）=k|x3|，kr，且f（x+3）0的解集为1，1（）求k的值；（）若a、b、c是正实数，且，求证：2015-2016学年广东省广州实验中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合a=x|x21，b=x|log2x0，则ab=（）ax|x1bx|0cx|x1dx|x1或x1【考点】交集及其运算【专题】不等式的解法及应用【分析】化简a、b两个集合，利用两个集合的交集的定义求出ab【解答】解：集合a=x|x21=x|x1或x1，b=x|log2x0=log21=x|x1，ab=x|x1，故选：c【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简a、b两个集合是解题的关键2设复数ei=cos+isin，则复数e的虚部为（）abc id i【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念【专题】数系的扩充和复数【分析】把代入已知条件，求出三角函数值即可得到复数的虚部【解答】解：由ei=cos+isin，得e=，复数e的虚部为故选：b【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题3已知等边abc，边长为1，则|3+4|等于（）ab5cd7【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据已知条件可求出=，所以根据即可求得答案【解答】解：|=故选c【点评】考查数量积的计算公式，注意正确求出向量的夹角，以及求向量的长度的方法：4执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的s值为（）abcd【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=0+的值，用裂项法即可求值【解答】解：模拟执行程序框图，可得第一次循环，s=0+，n=12015；第二次循环，s=0+，n=22015；第二次循环，s=0+，n=32015；当n=2015时，s=0+=1+=1=，此时满足20152015，退出循环，输出s的值为：故选：c【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5已知等比数列an的公比为q，则“0q1”是“an为递减数列”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】等差数列与等比数列【分析】可举1，说明不充分；举等比数列1，2，4，8，说明不必要，进而可得答案【解答】解：可举a1=1，q=，可得数列的前几项依次为1，显然不是递减数列，故由“0q1”不能推出“an为递减数列”；可举等比数列1，2，4，8，显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0q1，故由“an为递减数列”也不能推出“0q1”故“0q1”是“an为递减数列”的既不充分也不必要条件故选d【点评】本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题6已知函数f（x）为定义在r上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）y=f（x） y=xf（x） y=f（x）xabcd【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由奇函数的定义：f（x）=f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（x）=f（x）验证f（|x|）=f（|x|），故为偶函数f（x）=f（x）=f（x），为奇函数xf（x）=xf（x）=xf（x），为偶函数f（x）（x）=f（x）x，为奇函数可知正确故选d【点评】本题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题7已知f（x）=sin（x+）（0）的图象与y=1的图象的相邻两交点间的距离为，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】依题意可知f（x）=sin（x+）的周期为，从而可求得，利用函数y=asin（x+）的图象变换即可求得答案【解答】解：f（x）=sin（x+）（0）的图象与y=1的图象的相邻两交点间的距离为，f（x）=sin（x+）的周期t=，又0，t=，=2；f（x）=sin（2x+）令g（x）=cos2x=sin（2x+），则g（x）=sin（2x+）g（x）=sin2（x）+）=sin（2x+）=f（x），要想得到f（x）=sin（2x+）的图象，只需将y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的图象右平移个单位即可故选b【点评】本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，求得的值是关键，考查平移知识与运算能力，属于中档题8设a=（3x22x）dx，则（ax2）6的展开式中的第4项为（）a1280x3b1280c240d240【考点】定积分【专题】导数的综合应用；二项式定理【分析】先计算定积分，再写出二项式的通项，即可求得展开式中的第4项【解答】解：由于a=（3x22x）dx=（x3x2）=4，则（ax2）6的通项为=（1）r，故（ax2）6的展开式中的第4项为t3+1=，故选：a【点评】本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题9已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则pa=2，ac=2，pc=，pa面abcd，所以pc即为该棱锥的外接球的直径，则r=，即该棱锥外接球的体积v=，故选：c【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据10若，则等于（）abcd【考点】两角和与差的余弦函数【专题】计算题【分析】将看作整体，将化作的三角函数【解答】解： =21=21=故选a【点评】观察已知的角与所求角的练习，做到整体代换11高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；概率与统计【分析】利用捆绑法求出甲乙相邻的基本事件个数，同样利用捆绑法（甲在中间，乙丙可以交换）求出甲乙丙相邻的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解【解答】解：甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，甲，乙相邻的排法种数为（种）在甲，乙相邻的条件下，甲丙相邻的排法种数为（种）所以，甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为p=故选b【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了利用捆绑法求排列数，是基础的计算题12过抛物线c：y2=2px（p0）的焦点且斜率为2的直线与c交于a、b两点，以ab为直径的圆与c的准线有公共点m，若点m的纵坐标为2，则p的值为（）a1b2c4d8【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】取ab的中点n，分别过a、b、n作准线的垂线ap、bq、mn，垂足分别为p、q、m，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|mn|=|ab|，从而可判断圆与准线的位置关系：相切，确定抛物线y2=2px的焦点，设直线ab的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得ab的中点m的纵坐标为，由条件即可得到p=4【解答】解：取ab的中点n，分别过a、b、n作准线的垂线ap、bq、mn，垂足分别为p、q、m，如图所示：由抛物线的定义可知，|ap|=|af|，|bq|=|bf|，在直角梯形apqb中，|mn|=（|ap|+|bq|）=（|af|+|bf|）=|ab|，故圆心n到准线的距离等于半径，即有以ab为直径的圆与抛物线的准线相切，由m的纵坐标为2，即n的纵坐标为2，抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），设直线ab的方程为y=2（x），即x=y+，与抛物线方程y2=2px联立，消去x，得y2pyp2=0 由韦达定理可得ab的中点n的纵坐标为，即有p=4，故选c【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13双曲线2x2y2=1的离心率为【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率【解答】解：由双曲线2x2y2=1可知：a=，b=1，c=，双曲线的离心率为：故答案为：【点评】本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力14已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=3【考点】简单线性规划【专题】数形结合【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z的值等于6求得k的值【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为abc及其内部区域，当k0，边界ac下移，当k0时，边界ac上移，均为abc及其内部区域由z=2x+4y，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点a时，z最小联立，得a（3，k3）zmin=23+4（k3）=4k6=6，解得k=3故答案为：3【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题15已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为x|0x1【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】常规题型【分析】由已知当x0时，总有f（x）xf（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案【解答】解：设g（x）=，则g（x）=，f（x）xf（x），xf（x）f（x）0，g（x）0，g（x）在（0，+）为减函数，x0，0x1故答案为：x|0x1【点评】本题关键是证明g（x）为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题16在abc中，已知角，a2+b2=4（a+b）8，则边c=2【考点】余弦定理的应用【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形【分析】利用a2+b2=4（a+b）8，求出a，b，再利用余弦定理求出c即可【解答】解：a2+b2=4（a+b）8，（a2）2+（b2）2=0，a=2，b=2由余弦定理可得c2=a2+b22abcos=4+44=4，c=2故答案为：2【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：，求数列bn的前n项和sn【考点】数列的求和【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过a3+a5=a2+a4=14，a3a5=45，求出数列的公差，然后求解通项公式（2）求出，然后利用错位相减法，求解前n项和【解答】解：（1）a3+a5=a2+a4=14，a3a5=45，a3=5，a5=9或a3=9，a5=5（1分）d0，a3=5，a5=9（2分），an=2n1（4分）（2）由，得：又，（n2），（5分）两式相减得：，（6分）又，则b1=4，（7分）（8分）记（9分）相减得：则，（11分）（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的应用，数列求和的基本方法，考查计算能力18某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为a，b，c，d，e五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为e的学生有8人（）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为a的人数；（）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（i）利用数据统计图求出该班有40人，由此能求出该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为a的人数（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出两人成绩之和的分布列和数学期望【解答】解：（i）因为“铅球”科目中成绩等级为e的考生有8人，所以该班有80.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为a的人数为40（10.3750.3750.150.025）=400.075=3（4分）（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 （6分），（10分）所以的分布列为x1617181920p所以所以的数学期望为（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数据统计图的合理运用19如图1，四边形abcd中，e是bc的中点，db=2，dc=1，bc=，ab=ad=，将图1沿直线bc折起，使得二面角abcc为60如图2（1）求证：ae平面bdc；（2）求直线ac与平面abd所成角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【专题】空间角【分析】（1）取bd中点f，连结ef，af，由余弦定理及勾股定理，可得aeef，由线面垂直的性质可得bdae，由线面垂直的判定定理可得ae平面bdc；（2）以e为原点建立如图示的空间直角坐标系，求出直线ac的方向向量与平面abd的法向量，代入向量夹角公式，可得直线ac与平面abd所成角的余弦值【解答】证明：（1）取bd中点f，连结ef，af，则，（2分），由余弦定理知：，af2+ef2=ae2，aeef，（4分），又bd平面aef，ae平面aef，bdae，又efbd=f，ef，bd平面bdcae平面bdc； （6分）解：（2）以e为原点建立如图示的空间直角坐标系，则，（8分），设平面abd的法向量为=（x，y，z），由，得，取，则y=3，（11分）故直线ac与平面abd所成角的余弦值为（12分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，解答（1）的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理，解答（2）的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题20已知椭圆c： =1（ab0）的上顶点为a，两个焦点为f1、f2，af1f2为正三角形且周长为6（）求椭圆c的标准方程；（）已知圆o：x2+y2=r2，若直线l与椭圆c只有一个公共点m，且直线l与圆o相切于点n；求|mn|的最大值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用已知条件列出，求解可得椭圆的标准方程（）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+t，利用直线l与圆o相切，推出 t2=（1+k2）r2，联立直线与椭圆方程，利用相切关系推出t2=3+4k2，求出xm坐标，通过onmn，推出|mn|2=7r2，得到结果【解答】解：（）解：由题设得解得：a=2，b=，故c的方程为（4分）（）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+t，由直线l与圆o相切，得r=，t2=（1+k2）r2（6分）由，可得：（3+4k2）x2+8ktx+4t212=0，因为直线l与椭圆c相切，所以=（8kt）24（3+4k2）（4t212）=0，得t2=3+4k2 ，（7分）所以xm=（8分）由onmn，可得|mn|2=|om|2|on|2=xm2+xm2r2=xm2+3r2=+3r2（10分）由可得k2=，将代入得|mn|2=7r2，（11分）当且仅当r2=2（3，4）所以|mn| （12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力21设f（x）=xaex（ar），xr，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【专题】导数的综合应用【分析】（）对f（x）求导，讨论f（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（）由于x1=a，x2=a，则x2x1=lnx2lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x（1，+），得到h（x）在（1，+）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大再由（）知，t随着a的减小而增大，即得证【解答】解：（）f（x）=xaex，f（x）=1aex；下面分两种情况讨论：a0时，f（x）0在r上恒成立，f（x）在r上是增函数，不合题意；a0时，由f（x）=0，得x=lna，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表：x（，lna）lna（lna，+）f（x）+0f（x）递增极大值lna1递减f（x）的单调增区间是（，lna），减区间是（lna，+）；函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：f（lna）0；存在s1（，lna），满足f（s1）0；存在s2（lna，+），满足f（s2）0；由f（lna）0，即lna10，解得0ae1；取s1=0，满足s1（，lna），且f（s1）=a0，取s2=+ln，满足s2（lna，+），且f（s2）=（）+（ln）0；a的取值范围是（0，e1）（）证明：由f（x）=xaex=0，得a=，设g（x）=，由g（x）=，得g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，并且当x（，0）时，g（x）0，当x（0，+）时，g（x）0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a（0，e1）及g（x）的单调性，可得x1（0，1），x2（1，+）；对于任意的a1、a2（0，e1），设a1a2，g（x1）=g（x2）=a1，其中0x11x2；g（y1）=g（y2）=a2，其中0y11y2；g（x）在（0，1）上是增函数，由a1a2，得g（xi）g（yi），可得x1y1；类似可得x2y2；又由x、y0，得；随着a的减小而增大；（）证明：x1=a，x2=a，lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；x2x1=lnx2lnx1=ln，设=t，则t1，解得x1=，x2=，x1+x2=；令h（x）=，x（1，+），则h（x）=；令u（x）=2lnx+x，得u（x）=，当x（1，+）时，u（x）0，u（x）在（1，+）上是增函数，对任意的x（1，+），u（x）u（1）=0，h（x）0，h（x）在（1，+）上是增函数；由得x1+x2随着t的增大而增大由（）知，t随着a的减小而增大，x1+x2随着a的减小而增大【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目【选修4-1：几何证明选讲如图】22如图，ad是abc的高，ae是abc的外接圆的直径，过点a作圆的切线交bc的延长线于点f（1）求证：abeadc；（2）若bd=4cd=4cf=8，求abc的外接圆的半径【考点】相似三角形的判定【专题】选作题；推理和证明【分析】（1）证明三角形中两对对应角相等，即可证明结论；（2）利用切割线定理，结合三角形相似的性质，即可求abc的外接圆的半径【解答】（1）证明