中考数学复习 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识 4 2三角形及其全等 中考数学 安徽专用 a组2014 2018年安徽中考题组 五年中考 1 2015安徽 8 4分 在四边形abcd中 a b c 点e在边ab上 aed 60 则一定有 a ade 20 b ade 30 c ade adcd ade adc 答案d由三角形内角和等于180 aed 60 可得 ade 120 a 由四边形内角和为360 a b c 得 adc 360 3 a 所以 ade adc 故选d 解题关键由三角形内角和为180 与四边形内角和为360 找出 ade和 adc分别与 a之间的关系是解题的关键 思路分析由三角形内角和为180 aed 60 可得 ade 120 a 再由四边形内角和为360 a b c可得 adc 360 3 a 从而得到 ade与 adc的关系 2 2014安徽 23 14分 如图1 正六边形abcdef的边长为a p是bc边上一动点 过p作pm ab交af于m 作pn cd交de于n 1 mpn 求证 pm pn 3a 2 如图2 点o是ad的中点 连接om on 求证 om on 3 如图3 点o是ad的中点 og平分 mon 判断四边形omgn是否为特殊四边形 并说明理由 图1 图2图3 解析 1 60 2分 证明 如图a 连接be交mp于h点 在正六边形abcdef中 pn cd 又be cd af 所以be pn af 又pm ab 所以四边形amhb 四边形henp为平行四边形 bph为等边三角形 所以pm pn mh hp pn ab bh he ab be 3a 5分 图a 2 证明 如图b 连接be 由 1 知am en 又ao eo mao neo 60 所以 mao neo 所以om on 9分 图b 3 四边形omgn是菱形 理由如下 图c 如图c 连接oe of 由 2 知 moa noe 因为 aoe 120 所以 mon aoe moa noe 120 11分 由于og平分 mon 所以 mog 60 又 foa 60 所以 moa gof 又ao fo mao gfo 60 所以 mao gfo 所以mo go 又 mog 60 所以 mgo为等边三角形 同理可证 ngo为等边三角形 所以四边形omgn为菱形 14分 思路分析对于 1 中的 连接be交mp于h点 先证 bph为等边三角形 然后证明pm pn ab be即可 对于 2 连接be 则be过o点 下面只需证明 mao neo即可 对于 3 连接oe of 由 2 知 moa noe 下面只需证明 mao gfo即可得mo go 又由 mog 60 得 mgo为等边三角形 同理可证 ngo为等边三角形 问题得解 评析本题是压轴题 综合性较强 每个小问都需作出辅助线 然后利用数形结合 转化思想进行求解 如 1 中的 将证明pm pn 3a转化为ab be 3a 3 中将问题转化为证明 mgo与 ngo都为等边三角形 对学生的思维能力要求较高 考点一三角形的相关概念 b组2014 2018年全国中考题组 1 2017山东泰州 3 3分 三角形的重心是 a 三角形三条边上中线的交点b 三角形三条边上高线的交点c 三角形三条边垂直平分线的交点d 三角形三条内角平分线的交点 答案a三角形的重心是三角形三条边上中线的交点 2 2017湖南长沙 6 3分 一个三角形三个内角的度数之比为1 2 3 则这个三角形一定是 a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 等腰直角三角形 答案b根据三角形的内角和为180 可知三个角分别为30 60 90 因此这个三角形是直角三角形 故选b 3 2016湖南长沙 7 3分 若一个三角形的两边长分别为3和7 则第三边长可能是 a 6b 3c 2d 11 答案a设第三边长为x 根据三角形的三边关系 可得7 3 x 7 3 即4 x 10 故选a 4 2018湖北黄冈 12 3分 一个三角形的两边长分别为3和6 第三边长是方程x2 10 x 21 0的根 则三角形的周长为 答案16 解析 x2 10 x 21 x 3 x 7 0 x1 3 x2 7 3 3 6 3不能作为该三角形的第三边长 三角形的第三边长为7 三角形的周长为3 6 7 16 5 2017陕西 12a 3分 如图 在 abc中 bd和ce是 abc的两条角平分线 若 a 52 则 1 2的度数为 答案64 解析 bd平分 abc ce平分 acb 1 abc 2 acb 又 abc acb 180 a 2 1 2 2 180 a 128 1 2 64 6 2014湖南郴州 14 3分 如图 在 abc中 若e是ab的中点 f是ac的中点 b 50 则 aef 答案50 解析因为e f分别为ab ac的中点 所以ef bc 所以 aef b 50 7 2016江苏南京 21 8分 用两种方法证明 三角形的外角和等于360 如图 bae cbf acd是 abc的三个外角 求证 bae cbf acd 360 证法1 bae 1 cbf 2 acd 3 180 3 540 bae cbf acd 540 1 2 3 bae cbf acd 540 180 360 请把证法1补充完整 并用不同的方法完成证法2 解析 bae 1 cbf 2 acd 3 180 1 2 3 180 证法2 如图 过点a作射线ap 使ap bd ap bd cbf pab acd eap bae pab eap 360 bae cbf acd 360 1 2017黑龙江龙东 3 3分 如图 bc ef ac df 添加一个条件 使得 abc def 考点二全等三角形的判定与性质 答案ab de 或bc ef或ac df 解析 bc ef ac df abc def bac edf 根据aas或asa知 只需有一组对应边相等即可 2 2016江苏南京 14 2分 如图 四边形abcd的对角线ac bd相交于点o abo ado 下列结论 ac bd cb cd abc adc da dc 其中所有正确结论的序号是 答案 解析 abo ado bac dac aob aod ab ad aob aod 180 aob 90 ac bd 正确 ab ad bac dac ac ac abc adc 正确 abc adc cb cd 正确 da与dc不一定相等 不正确 3 2015江西南昌 9 3分 如图 op平分 mon pe om于e pf on于f oa ob 则图中有对全等三角形 答案3 解析根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到 aop bop eop fop aep bfp 所以题图中有3对全等三角形 4 2018内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 已知a f c d四点在同一条直线上 af cd ab de 且ab de 1 求证 abc def 2 若ef 3 de 4 def 90 请直接写出使四边形efbc为菱形时af的长度 解析 1 证明 ab de a d af cd af fc cd fc 即ac df 又 ab de abc def 2 过点e作eo cf于o 由ef 3 ed 4 def 90 可得df 5 所以eo 2 4 又四边形efbc为菱形 所以fo co 1 8 所以af cd 5 3 6 1 4 5 2018河北 23 9分 如图 a b 50 p为ab中点 点m为射线ac上 不与点a重合 的任意一点 连接mp 并使mp的延长线交射线bd于点n 设 bpn 1 求证 apm bpn 2 当mn 2bn时 求 的度数 3 若 bpn的外心在该三角形的内部 直接写出 的取值范围 解析 1 证明 p为ab中点 pa pb 又 a b mpa npb apm bpn 2 由 1 得pm pn mn 2pn mn 2bn pn bn b 50 3 40 90 详解 bpn的外心在该三角形的内部 bpn是锐角三角形 bpn和 bnp都为锐角 又 b 50 40 bpn 90 即40 90 思路分析 1 根据asa可证明 apm bpn 2 根据 apm bpn得mn 2pn 结合mn 2bn得出pn bn 由等边对等角可得结果 3 只有锐角三角形的外心在三角形的内部 根据 bpn和 bnp都为锐角及 b 50 可得 的取值范围 肛 1 如果已知两边 1 找夹角 利用sas求解 2 找直角 利用hl或sas求解 3 找另一条边 利用sss求解 2 已知一边和一角 1 边为角的对边 则找任一角 利用aas求解 2 边为角的一条边 找角的另一边 利用sas求解 找边的另一角 利用asa求解 找边的对角 利用aas求解 方法归纳证明三角形全等的一般思路 3 已知两角 1 找夹边 利用asa求解 2 找两角中任意一角的对边 利用aas求解 6 2017吉林 18 5分 如图 点e f在bc上 be cf ab dc b c 求证 a d 证明 be cf be ef cf ef bf ce 2分 又 b c ab dc abf dce 4分 a d 5分 7 2017黑龙江哈尔滨 24 8分 已知 acb和 dce都是等腰直角三角形 acb dce 90 连接ae bd交于点o ae与dc交于点m bd与ac交于点n 1 如图1 求证 ae bd 2 如图2 若ac dc 在不添加任何辅助线的情况下 请直接写出图2中四对全等的直角三角形 图1 图2 解析 1 证明 acb和 dce都是等腰直角三角形 acb dce 90 ac bc dc ec acb acd dce acd 即 bcd ace ace bcd ae bd 2 acb dce aon dom aob doe ncb mce 8 2016重庆 19 7分 如图 点a b c d在同一条直线上 ce df ec bd ac fd 求证 ae fb 证明 ce df ace d 在 ace和 fdb中 ec bd ace d ac fd ace fdb ae fb 9 2016四川南充 19 8分 已知 abn和 acm位置如图所示 ab ac ad ae 1 2 1 求证 bd ce 2 求证 m n 证明 1 在 abd和 ace中 abd ace sas 3分 bd ce 4分 2 abd ace adb aec 5分 又 mdo adb neo aec mdo neo 6分 mod noe 180 mdo mod 180 neo noe 即 m n 8分 评析本题考查了全等三角形的判定与性质 要根据题意选择合适的判定方法 考点一三角形的相关概念 c组教师专用题组 1 2016河南 6 3分 如图 在 abc中 acb 90 ac 8 ab 10 de垂直平分ac交ab于点e 则de的长为 a 6b 5c 4d 3 答案d在 abc中 acb 90 de垂直平分ac ad dc de bc e为ab的中点 de bc bc 6 de bc 3 故选d 2 2015辽宁沈阳 4 3分 如图 在 abc中 点d是边ab上一点 点e是边ac上一点 且de bc b 40 aed 60 则 a的度数是 a 100 b 90 c 80 d 70 答案c de bc aed c 又 aed 60 c 60 在 abc中 a b c 180 b 40 c 60 a 180 b c 180 40 60 80 故选c 3 2015四川绵阳 5 3分 如图 在 abc中 b c的平分线be cd相交于点f abc 42 a 60 则 bfc a 118 b 119 c 120 d 121 答案c在 abc中 acb 180 a abc 180 60 42 78 be cd分别平分 abc acb fbc abc 21 fcb acb 39 bfc 180 fbc fcb 180 21 39 120 故选c 评析本题主要考查三角形的内角和定理 角平分线的概念 属容易题 4 2015贵州遵义 11 3分 如图 四边形abcd中 c 50 b d 90 e f分别是bc dc上的点 当 aef的周长最小时 eaf的度数为 a 50 b 60 c 70 d 80 答案d如图 作点a关于bc所在直线的对称点m 及关于cd所在直线的对称点n 连接mn 分别交bc dc于点e f 此时 aef的周长最小 易知 m bae n daf 在四边形abcd中 bad 360 90 90 50 130 在 amn中 m n 180 man 180 130 50 所以 bae daf 50 所以 eaf 130 50 80 故选d 评析本题考查了轴对称 四边形内角和 三角形内角和等知识 属中档题 5 2014江苏连云港 6 3分 如图 若 abc和 def的面积分别为s1 s2 则 a s1 s2b s1 s2c s1 s2d s1 s2 答案c过点a作am bc于点m 过点d作dn ef交fe的延长线于点n s1 bc am 8 5 sin40 s2 ef dn 5 8 sin40 所以s1 s2 故选c 6 2014江西 14 3分 在rt abc中 a 90 有一个锐角为60 bc 6 若点p在直线ac上 不与点a c重合 且 abp 30 则cp的长为 答案2或4或6 解析图1中 abc 60 bc 6 则ab 3 ac 3 又 abp 30 则ap 所以cp 2或cp 4 图2中 acb 60 abp 30 cbp是等边三角形 cp cb 6 图1图2 7 2016广东 19 6分 如图 已知 abc中 d为ab的中点 1 请用尺规作图法作边ac的中点e 并连接de 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 的条件下 若de 4 求bc的长 解析 1 如图 2分 e点 de即为所求 3分 2 de是 abc的中位线 且de 4 bc 2de 2 4 8 6分 评析本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法 中点的作法 以及三角形中位线的性质 8 2015浙江杭州 21 10分 综合与实践 学习活动准备制作一组三角形 记这些三角形的三边分别为a b c 并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度 1 用记号 a b c a b c 表示一个满足条件的三角形 如 2 3 3 表示边长分别为2 3 3个单位长度的一个三角形 请列举出所有满足条件的三角形 2 用直尺和圆规作出三边满足a b c的三角形 用给定的单位长度 不写作法 保留作图痕迹 解析 1 共九种 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 4 2 4 4 3 3 3 3 3 4 3 4 4 4 4 4 2 只有a 2 b 3 c 4的一个三角形 如图的 abc即为满足条件的三角形 1 2015浙江绍兴 7 4分 如图 小敏做了一个角平分仪abcd 其中ab ad bc dc 将仪器上的点a与 prq的顶点r重合 调整ab和ad 使它们分别落在角的两边上 过点a c画一条射线ae ae就是 prq的平分线 此角平分仪的画图原理是 根据仪器结构 可得 abc adc 这样就有 qae pae 则说明这两个三角形全等的依据是 a sasb asac aasd sss 考点二全等三角形的判定与性质 答案d因为在 abc和 adc中 ab ad bc cd ac ac 所以 abc adc sss 故选d 2 2016福建福州 21 8分 一个平分角的仪器如图所示 其中ab ad bc dc 求证 bac dac 证明在 abc与 adc中 abc adc sss bac dac 3 2015陕西 19 7分 如图 在 abc中 ab ac 作ad ab交bc的延长线于点d 作ae bd ce ac 且ae ce相交于点e 求证 ad ce 证明 ae bd eac acb ab ac b acb eac b 4分 又 bad ace 90 abd cae 6分 ad ce 7分 4 2015江苏苏州 24 8分 如图 在 abc中 ab ac 分别以b c为圆心 bc长为半径在bc下方画弧 设两弧交于点d 与ab ac的延长线分别交于点e f 连接ad bd cd 1 求证 ad平分 bac 2 若bc 6 bac 50 求 的长度之和 结果保留 解析 1 证明 由题意可知bd cd 在 abd和 acd中 abd acd sss bad cad 即ad平分 bac 2 ab ac bac 50 abc acb 65 bd cd bc bdc为等边三角形 dbc dcb 60 dbe dcf 55 bc 6 bd cd 6 的长度 的长度 的长度之和为 5 2014江苏苏州 23 6分 如图 在rt abc中 acb 90 点d f分别在ab ac上 cf cb 连接cd 将线段cd绕点c按顺时针方向旋转90 后得ce 连接ef 1 求证 bcd fce 2 若ef cd 求 bdc的度数 解析 1 证明 cd绕点c按顺时针方向旋转90 后得ce cd ce dce 90 acb 90 bcd 90 acd fce 在 bcd和 fce中 bcd fce 2 由 bcd fce得 bdc e ef cd e 180 dce 90 bdc 90 评析本题考查全等三角形的判定及性质 平行线的性质 属容易题 6 2014浙江杭州 20 10分 把一条12个单位长度的线段分成三条线段 其中一条线段长为4个单位长度 另两条线段长都是单位长度的整数倍 1 不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形 用直尺和圆规作这些三角形 用给定的单位长度 不写作法 保留作图痕迹 2 求出 1 中所作三角形外接圆的周长 解析 1 12 4 8 长为8的线段可以分成如下两段 不全等的三角形有两种 其三边分别为 3 4 5 4 4 4 当三边为3 4 5时 作图如图1 图1 图2当三边为4 4 4时 作图如图2 2 因为32 42 52 所以三角形o1p1a1是直角三角形 所以外接圆直径等于斜边长5 所以外接圆的周长等于5 因为三角形o2p2a2是等边三角形 所以外接圆的直径等于2 4cos30 所以外接圆的周长等于 7 2014江苏南京 27 11分 问题提出 学习了三角形全等的判定方法 即 sas asa aas sss 和直角三角形全等的判定方法 即 hl 后 我们继续对 两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等 的情形进行研究 初步思考 我们不妨将问题用符号语言表示为 在 abc和 def中 ac df bc ef b e 然后 对 b进行分类 可分为 b是直角 钝角 锐角 三种情况进行探究 深入探究 第一种情况 当 b是直角时 abc def 1 如图 在 abc和 def中 ac df bc ef b e 90 根据 可以知道rt abc rt def 第二种情况 当 b是钝角时 abc def 2 如图 在 abc和 def中 ac df bc ef b e 且 b e都是钝角 求证 abc def 第三种情况 当 b是锐角时 abc和 def不一定全等 3 在 abc和 def中 ac df bc ef b e 且 b e都是锐角 请你用尺规在图中作出 def 使 def和 abc不全等 不写作法 保留作图痕迹 4 b还要满足什么条件 就可以使 abc def 请直接填写结论 在 abc和 def中 ac df bc ef b e 且 b e都是锐角 若 则 abc def 解析 1 hl 2分 2 证明 如图 分别过点c f作对边ab de上的高cg fh 其中g h为垂足 abc def都是钝角 g h分别在ab de的延长线上 cg ag fh dh cga fhd 90 cbg 180 abc feh 180 def abc def cbg feh 在 bcg和 efh中 cgb fhe cbg feh bc ef bcg efh cg fh 又 ac df rt acg rt dfh a d 在 abc和 def中 abc def a d ac df abc def 6分 图 3 如图 def就是所求作的三角形 图 9分 4 本题答案不唯一 b a 11分 a组2016 2018年模拟 基础题组考点一三角形的相关概念 三年模拟 1 2017安徽芜湖繁昌模拟 如图 m是 abc的边bc的中点 an平分 bac 且bn an 垂足为n 已知ab 6 bc 10 mn 1 则 abc的周长为 答案24 解析延长bn与ac相交于e点 因为an平分 bac 且bn an 所以 abe为等腰三角形 所以ae ab 6 且n为be的中点 又m为bc的中点 所以mn ce 因为mn 1 所以ce 2 所以 abc的周长为6 10 6 2 24 2 2016安徽合肥十校第二次联考 9 如图 在 abc中 点d e分别是边ab ac的中点 b 50 a 26 将 abc沿de折叠 点a的对应点是点a 则 aea 的度数是 a 145 b 152 c 158 d 160 答案b d e分别是ab ac的中点 de bc aed c 又 c 180 a b 104 aed 104 易得 aed a ed a ed aed 104 aea 360 a ed aed 360 104 104 152 3 2016安徽安庆一模 18 如图 在等腰直角 abc中 acb 90 ac bc 2 点d是边ac的中点 点e是斜边ab上的动点 将 ade沿de所在的直线折叠得到 a1de 1 当点a1落在边bc 含边bc的端点 上时 折痕de的长是多少 2 连接a1b 当点e在边ab上移动时 求a1b长的最小值 解析 1 点d到bc的距离是cd 且dc da 1 当点a1落在边bc上时 点a1与点c重合 如图所示 此时de所在的直线为ac的垂直平分线 即de为 abc的中位线 de bc 1 2 如图 连接bd 在rt bcd中 bd 由 a1de ade得a1d ad 1 由a1b a1d bd得a1b bd a1d 1 a1b长的最小值是 1 1 2017安徽合肥长丰竞赛 5 如图 某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那么最省事的办法是 a 带 去b 带 去c 带 去d 带 和 去 考点二全等三角形的判定与性质 答案c由全等三角形的判定 知 满足 asa 故选c 2 2017安徽阜阳期末联考 13 如图所示 e f 90 b c ae af 给出下列结论 1 2 be cf acn abm cd dn 其中正确的结论是 将你认为正确的结论的序号都填上 答案 解析 e f 90 b c ae af abe acf ac ab be cf 故 正确 ac ab b c can bam acn abm 故 正确 bae caf 1 bae bac 2 caf bac 1 2 故 正确 e f ae af 1 2 aem afn am an cm bn 又 b c mdc ndb cdm bdn cd bd 故 错误 故答案为 3 2016安徽池州十中月考 12 如图 在长方形abcd中 ab 4 ad 6 延长bc到点e 使ce 2 连接de 动点p从点b出发 以每秒2个单位长度的速度沿b c d a 终点 运动 设点p的运动时间为t秒 若 abp和 dce全等 则t为秒 答案1或7 解析 abp和 dce全等有两种情况 一是ap de 此时bp ce 2 则t 1 二是ap ce 2 此时 abp cde 则t 7 4 2017安徽安庆期末联考 19 如图 abc为等边三角形 d为边ba延长线上一点 连接cd 以cd为一边作等边三角形cde 连接ae 1 求证 cbd cae 2 判断ae与bc的位置关系 并说明理由 解析 1 证明 abc dce为等边三角形 ac bc ec dc acb ecd dbc 60 acd acb dcb ecd acd eca eca dcb 在 eca和 dcb中 eca dcb sas 2 ae bc eca dcb eac dbc 60 又 acb dbc 60 eac acb ae bc 5 2016安徽模拟 18 如图 点p在 aob的平分线上 请添加一个条件 使 aop bop 1 小明添加的条件是ap bp 你认同吗 2 你添加的条件是 请用你添加的条件完成证明 解析 1 不认同 ssa 无法证得两个三角形全等 2 apo bpo 答案不唯一 证明 点p在 aob的平分线上 aop bop 在 aop和 bop中 aop bop asa 1 2017安徽安庆期末联考 8 如图 adb aec 100 bad 50 bd ec 则 c a 20 b 50 c 30 d 40 b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 35分钟分值 60分 一 选择题 每小题3分 共6分 答案c adb aec 100 ade aed 80 ad ae bad 50 b 180 100 50 30 在 adb与 aec中 adb aec sas c b 30 故选c 思路分析由 adb aec 可证ad ae 从而可证 adb aec 可得 b c 再由三角形内角和等于180 可求出 b 进而求出 c 2 2017安徽合肥包河一模 如图 abc中 bc a ac b ab c b c a bc的垂直平分线dg交 bac的平分线ad于点d de ab于e df ac交ac的延长线于f 则下列结论一定成立的是 a dg a b b cf c bc be a b d ae b c 答案d如图 连接db dc ad平分 bac de ab df ac de df deb dfc 90 dg垂直平分线段bc db dc 在rt deb和rt dfc中 rt deb rt dfc be cf 同理 rt ade rt adf ae af ab ac ae be af cf 2ae ae ab ac b c 故选d 难点突破如果题干中出现了线段的垂直平分线 往往需要连接垂直平分线上的点和线段的两个端点 然后应用垂直平分线的性质进行解题 3 2017安徽安庆期末联考 14 如图 abc中 p q分别是bc ac上的点 作pr ab ps ac 垂足分别是r s 若aq pq pr ps 下面四个结论 as ar qp ar brp qsp ap垂直平分rs 其中正确结论的序号是 请将所有正确结论的序号都填上 二 填空题 每小题3分 共6分 答案 解析 pr ab ps ac pr ps 点p在 bac的平分线上 arp asp 90 sap rap 又ap ap rt arp rt asp ar as 故 正确 aq qp qap qpa qap bap qpa bap qp ar 故 正确 在rt brp和rt qsp中 只知pr ps brp qsp 90 故无法证出 brp qsp 故 错误 如图 连接rs 交ap于点d 在 ard和 asd中 ard asd rd sd adr ads 90 ap垂直平分rs 故 正确 思路分析 由角平分线的判定定理可知点p在 bac的平分线上 从而可证rt arp rt asp 问题解决 先证 qpa bap 再由平行线的判定定理可知qp ar 缺少全等成立的条件 连接rs 然后证明 ard asd 从而可证ap垂直平分rs 4 2016安徽安庆二模 14 如图 abc中 ac bc acb 90 ae平分 bac交bc于e 过e作ed ab于d 连接dc交ae于f 其中bd 1 则在下列结论中 ae dc ab 2 2 ae cd 2 2 其中正确的结论是 把所有正确结论的序号都填在横线上 答案 解析 ac bc acb 90 b 45 ed ab de bd 1 be 又 ae平分 bac acb 90 ce de 1 bc 1 ab bc 2 故 正确 在rt ade与rt ace中 rt ade rt ace ad ac ae dc 故 正确 ce 1 ac bc 1 ae ace cfe 90 aec cef ace cfe cf cd 2cf 故 错误 ae cd 2 2 故 正确 正确的结论是 5 2018安徽安庆一模 23 在等腰直角 abc中 acb 90 ac bc 点p在斜边ab上 ap bp 作aq ab 且aq bp 连接cq 如图1 1 求证 acq bcp 2 延长qa至点r 使得 rcp 45 rc与ab交于点h 如图2 求证 cq2 qa qr 判断三条线段ah hp pb的长度满足的数量关系 并说明理由 三 解答题 共48分 解析 1 证明 acb 90 ac bc cab b 45 又aq ab qac cab 45 b 在 acq和 bcp中 acq bcp sas 2 证明 由 1 知 acq bcp 则 qca pcb acb 90 rcp 45 acr pcb 45 acr qca 45 即 qcr 45 qac 又 q是 cqr和 aqc的公共角 cqr aqc cq2 qa qr ah2 pb2 hp2 理由 连接qh qch pch 45 cq cp ch ch qch pch sas hq hp 在rt qah中 qa2 ah2 hq2 又qa pb ah2 pb2 hp2 思路分析 1 由aq ab及 acb为等腰直角三角形可得 qac cab 45 b 从而可证 acq bcp 2 由 acq bcp可得 qca pcb 进一步得出 qcr qac 从而可证 cqr aqc 问题解决 连接qh 先证 qch pch 可得hq hp 结合rt qah中qa2 ah2 hq2可使问题解决 6 2017安徽阜阳颍州初三统考 22 如图 已知等边 abc的边长为2 e f g分别在边ab bc ca上 且 efg也是等边三角形 1 求证 ag be 2 设ae x 求使 efg的面积为的x的值 解析 1 证明 abc和 efg都是等边三角形 a b c 60 gef efg egf 60 ef fg eg aeg age aeg bef 120 age bef aeg bfe ag be 2 易知 cgf bfe aeg 于是有s aeg s bfe s cgf 等边 abc的边长为2 ag be 2 x 在 aeg中 ae x ag 2 x s aeg x 2 x s efg s abc 3s aeg 22 3 x 2 x 即x2 2x 1 0 解得x1 x2 1 x 1 思路分析 1 根据 abc和 efg都是等边三角形可证 age bef ef fg eg 从而可证 aeg bfe 可得ag be 2 由 aeg bfe cgf得出s aeg s bef s cgf 将s aeg用x表示出来 结合s efg s abc 3s aeg可求出x 7 2017安徽安庆一模 23 如图1 在矩形abcd中 bc ab bad的平分线af与bd bc分别交于点e f 点o是bd的中点 直线ok af 交ad于点k 交bc于点g 1 求证 dok bog 2 求证 ab ak bg 3 如图2 若kd kg 2 点p是线段kd上的动点 不与点d k重合 pm dg交kg于点m pn kg交dg于点n 设pd x s pmn y 求y与x的函数关系式 解析 1 证明 在矩形abcd中 ad bc kdo gbo dko bgo 点o是bd的中点 do bo dok bog aas 2 证明 四边形abcd是矩形 bad abc 90 ad bc 又 af平分 bad baf bfa 45 ab bf ok af ak fg 四边形afgk是平行四边形 ak fg bg bf fg bg ab ak 3 解法一 如图 过点g作gi kd于点i 由 2 知 四边形afgk是平行四边形 abf为等腰直角三角形 af kg 2 ab af 四边形abcd是矩形 gi ab s dkg kd gi 2 pd x pk 2 x pm dg pn kg 四边形pmgn是平行四边形 dkg pkm dpn 即s dpn s dkg x2 同理 s kpm s平行四边形pmgn s dkg s dpn s kpm x2 又s pmn s平行四边形pmgn y x2 x 0 x 2 解法二 如图 过点p作pq kg于点q kd kg kdg kgd 又 pn kg pnd kgd pnd kdg pn