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第一部分第一部分 集合与函数集合与函数 1 在集合运算中一定要分清代表元的含义 在集合运算中一定要分清代表元的含义 举例举例 1 已知集 2 2 RxyyQRxxyyP x 求QP I 分析分析 集合 P Q 分别表示函数 2 xy 与 x y2 在定义域 R 上的值域 所以 0 P 0 Q 0 QP I 举例举例 2 函数 Mxx Pxx xf 其中 P M 是实数集 R 的两个非空子集 又规定 F Py yf x xPF My yf x xM 给出下列四个判断 1 若 MP I 则 F PF M I 2 若 MPI 则 F PF M I 3 若 RMP U则 F PF MR U 4 若 RMP U则 F PF MR U 其中正确的判断有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析分析 这是一道比较难的题 涉及到函数的概念 集合的意义 F P是函数 Pxxy 的 值域 F M是函数 Mxxy 的值域 取 0 P 0 M可知 1 3 不正确 由函数的定义可知 函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应 所以若 MPI 只能是 0 MPI 此时 0 F PF M I 2 正确 对于命题 4 设 aPM U则aP 且aM 若0a 显然有0 F P 且0 F M 所以有 F PF MR U 若0a 由aP 则 aF P 由aM 则 aF M 若有 aF M 则aM 所以aP 则 aF P 所以 aF PF M U 则 F PF MR U 同理可证 若 aF P 则有 aF PF M U 4 也正确 选 B 2 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 举例举例 若 2 2 a时 aaA 若 BAI 则2 a 有40 xyyxNyxyxM 则点MP 的 条件是点NP 点MP 是点NP 的 条件 分析分析 集合 M 是圆2 22 yx外的所有点的集合 N 是直线2 xy上方的点的集合 显然有MN 充分不必要 必要不充分 4 掌握命题的四种不同表达形式 会进行命题之间的转化 会正确找出命题的条件与结论 掌握命题的四种不同表达形式 会进行命题之间的转化 会正确找出命题的条件与结论 能根据条件与结论判断出命题的真假能根据条件与结论判断出命题的真假 举例 举例 命题 若两个实数的积是有理数 则此两实数都是有理数 的否命题是 它是 填真或假 命题 5 若 函 数 若 函 数 xfy 的 图 像 关 于 直 线的 图 像 关 于 直 线ax 对 称 则 有对 称 则 有 xafxaf 或或 2 xfxaf 等 反之亦然等 反之亦然 注意 两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身注意 两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身 的对称问题的对称问题 函数函数 xfy 的图像关于直线的图像关于直线ax 的对称曲线是函数的对称曲线是函数 2 xafy 的图的图 像 函数像 函数 xfy 的图像关于点的图像关于点 ba的对称曲线是函数的对称曲线是函数 2 2xafby 的图像的图像 举例举例 1 若函数 1 xfy是偶函数 则 xfy 的图像关于 对称 分析分析 由 1 xfy是偶函数 则有 1 1 xfxf 即 1 1 xfxf 所以函数 xfy 的图像关于直线1 x对称 或函数 1 xfy的图像是由函数 xfy 的图像向右平移一个单位而得到的 1 xfy的图像关于y轴对称 故函数 xfy 的图像关于直线1 x对称 举例举例 2 若函数 xfy 满足对于任意的Rx 有 2 2 xfxf 且当2 x时 xxxf 2 则当2 x时 xf 分析分析 由 2 2 xfxf 知 函数 xfy 的图像关于直线2 x对称 因而有 4 xfxf 成立 2 x 所以 4 4 4 2 xxxfxf 即 2 x时209 2 xxxf 6 若函数 若函数 xfy 满足 满足 0 aaxfaxf则则 xf是以是以a2为周期的函数为周期的函数 注意 注意 不要和对称性相混淆不要和对称性相混淆 若函数若函数 xfy 满足 满足 0 axfaxf则则 xf是以是以a2为为 周期的函数周期的函数 注意 若函数 注意 若函数 xf满足满足 1 xf axf 则 则 xf也是也是周期周期函数 函数 举例 举例 已知函数 xfy 满足 对于任意的Rx 有 1 xfxf 成立 且当 2 0 x时 12 xxf 则 2006 3 2 1 ffffL 分析分析 由 1 xfxf 知 1 1 1 2 xfxfxfxf 所以函数 xfy 是以 2 为周期的周期函数 1 0 2 2004 2006 ffffLL 1 1 3 2003 2005 ffffLL 故意原式值为 0 7 奇奇函数函数对对定义定义域内域内的任意的任意x满足满足0 xfxf 偶偶函数函数对对定义定义域内域内的任意的任意x满足满足 0 xfxf 注意 注意 使使用函数用函数奇偶性奇偶性的定义的定义解解题时 题时 得到得到的是的是关于变量关于变量x的的恒恒等式等式而而 不是方不是方程程 奇奇函数的函数的图像关于图像关于原原点对称点对称 偶偶函数函数图像关于图像关于 y 轴对称轴对称 若函数 若函数 xfy 是是奇奇函数函数 或偶或偶函数 则函数 则此此函数的定义函数的定义域域必必关于关于原原点对称点对称 反之反之 若一函数的定义 若一函数的定义域域不不关于关于原原点对称点对称 则则该该函数函数既既非非奇奇函数也非函数也非偶偶函数函数 若若 xfy 是是奇奇函数且函数且 0 f存存在 则在 则0 0 f 反之反之不不 然然 举例 举例 1 若函数axf x 12 1 是奇函数 则实数 a 分析 分析 注意到 0 f有意义 必有0 0 f 代入得 2 1 a 这种特值法在解填空 选择题时 若能灵活运用 则事半功倍 举例举例 2 若函数3 2 2 xbaxxf是定义在区间 2 12 aa 上的偶函数 则此函 数的值域是 分析 分析 函数是偶函数 必有0 2 12 aa 得1 a 又由 yf x 是偶函数 因而2 b 即 3 3 3 2 xxxf 所以此函数的值域为 3 6 8 奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致 偶函数在关于原点对称的区间内增减性相 奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致 偶函数在关于原点对称的区间内增减性相 反反 若函数若函数 xfy 的图像关于直线的图像关于直线ax 对称 则它在对称轴的两侧的增减性相反 此时对称 则它在对称轴的两侧的增减性相反 此时 函数值的大小取决于变量离对称轴的远近函数值的大小取决于变量离对称轴的远近 解 抽象不等式 即函数不等式 多用函数的单解 抽象不等式 即函数不等式 多用函数的单 调性 但必须注意定义域调性 但必须注意定义域 举例 举例 若函数 xfy 是定义在区间 3 3 上的偶函数 且在 0 3 上单调递增 若实 数a满足 12 2 afaf 求a的取值范围 分析 分析 因为 xfy 是偶函数 12 2 afaf 等价于不等式 12 2 afaf 解得211 的解集不为空 集 则实数a的取值范围是 分析 分析 不等式 xgxf 的解集不为空集 亦即函数 xfy 的图像上有点在函数 xgy 的图像的上方 函数12 xxf的图像是x轴上方的半 支抛物线 函数1 axxg的图像是过点 1 0 斜率为a的直线 当21a 时直线与抛物线相切 由图像知 12 a 注意图 中的虚线也满足题义 举例举例 2 若曲线1 2 xy与直线bkxy 没有公共点 则bk 应当满足的条件是 分析 分析 曲线1 2 xy是由 0 1 2 xxy与 0 1 2 xxy组成 它们与y轴的 交点为 1 0 和 1 0 图像如图 实线部分 可以看出 若直线bkxy 曲线1 2 xy的图像没有公共点 此 直线必与x轴平行 所以0 k 11 b 11 一条 一条曲线曲线可可以作为以作为函数函数图像图像的充要条件是 的充要条件是 曲线曲线与任何与任何平行于平行于 y 轴轴的的直线直线至至多多只只有一有一 个个交交点点 一个函数一个函数存存在在反反函数的充要条件是 定义函数的充要条件是 定义域域与与值域值域中元中元素素须须一一对应对应 反应反应在在图像图像上上 平行于平行于x轴轴的的直线直线与与图像图像至至多多有一个有一个交交点点 单调单调函数必函数必存存在在反反函数函数吗 吗 是的 是的 并并且任何函数且任何函数 在在它它的的每每一个一个单调单调区区间内间内总总有有反反函数 函数 还还应应注意的是 有注意的是 有反反函数的函数不一定是函数的函数不一定是单调单调函数 函数 你你能能举例举例吗 吗 举例 举例 函数12 2 axxxf 4 3 1 0 U x 若此函数存在反函数 则实数a的 取值范围是 分析 分析 由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应 平行于x轴的直线 与函数的图像至多只有一个交点 又由二次函数12 2 axxxf图像的对称轴为直线 x y O 2 1 1 1 l 1 1 x y O ax 知 0 a或4 a必存在反函数 10 a或43 a必不存在反函数 当 3 1 a 时如何讨论 注意到函数在区间 1 0 上递减 在 4 3 上递增 所以只要 1 4 ff即可 亦即3 2 5 a或 2 3 1 a 综上知 实数a的取值范围是U 0 4 3 2 5 2 3 1 UU 12 求求一个函数的一个函数的反反函数必函数必须须标明标明反反函数的定义函数的定义域域 反反函数的定义函数的定义域域不不能单能单从从反反函数的表函数的表 达式达式上求上求解解 而而是是求求原函数的原函数的值域值域 求求反反函数的表达式的函数的表达式的过过程程就就是是解解 关于关于x的 方的 方程程的的过过 程程 注意 函数的注意 函数的反反函数是函数是唯唯一的 一的 尤其尤其在在开开平平方方过过程程中一定要注意中一定要注意正正负号负号的的确确定定 举例 举例 函数 2 22 log 2 2 xxxxf的反函数为 分析 分析 令 22 log 2 2 xxy 则12 1 222 22 yy xxx 因为2 x 所以11 x 则121 y x 121 y x 又原函数的值域为 1 所以 原函数的反函数为 1 121 1 xxf x 若是从反函数表达式得012 x 求得 0 x就不是反函数的定义域 13 原函数的定义 原函数的定义域域是是反反函数的函数的值域值域 原函数的 原函数的值域值域是是反反函数的定义函数的定义域域 原函数与 原函数与反反函数函数 的的图像关于直线图像关于直线xy 对称对称 若函数 若函数 xfy 的定义的定义域为域为 A 值域为值域为 C CbAa 则则 有有aaffbbff 11 1 bfaafb 需需要要特别特别注意一注意一些复些复合函数的合函数的 反反函数问题函数问题 如如 2 xfy 反反函数不是函数不是 2 1 xfy 举例 举例 1 已知函数 xfy 的反函数是 1 xfy 则函数 43 2 1 xfy的反函数 的表达式是 分析 分析 求函数的反函数是解方程的过程 即用y表示 x然后将yx 互换即得反函数的表达 式 由 43 2 1 xfy可得 4 2 3 1 2 43 2 43 1 y fx y fx y xf 所以 函数 43 2 1 xfy的反函数为 4 2 3 1 x fy 举例举例 2 已知 ba x b axy的的单调性单调性 举例举例 已知函数 0 1 a x axxf在 1 x上是单调增函数 求实数a的取值范 围 分析 分析 函数 0 ba x b axy称为 耐克 函数 由基本不等式知 当0 x时 函数 的最小值是ab2 当 a b x 时等号成立 0 a b x 时 函数递减 a b x时 函数递增 记住此结论在解选择 填空等小题时用起来比较方便 函数 0 1 a x axxf 在 1 上递增 则1 1 a 得1 a 但若是大题推理就不能这样描述性的说明 必需要 按函数单调性的定义有严格的论证 任设 1 21 xx且 21 xx 1 21 2121 xx axxxfxf 由函数 xf是单调 增函数 则0 21 xfxf 而0 21 xx a 所以 21 1 xx a 对于 1 21 xx且 21 xx 恒成立 因1 1 21 1 22 1 610 max aa aa xf 分析 分析 首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式 当0 a时 此不等式是恒成立的 则其解集为R 当0 a时 才是二次不等式 与其对应的方程为012 2 axax 根判别 式aa44 2 当0 即1 a或0 a时 方程两根为 a aaa x 2 2 1 当 0 即1 a时 方程有等根1 x 当0 即10 a时不等式的解集为 22 a aaa a aaa U 当1 a时 不等式的解集为 1 1 U 当10 a时 不等式的解集为R 当 0 a时 不等式的解集为 22 a aaa a aaa 第第二二部分部分 不等式不等式 17 基基本本不等式不等式 2 2 2 ba ababba 要要记住记住等等号成立号成立的条件与的条件与ba 的的取值取值范围范围 一 一 正正 二二定 定 三三相相等 等 积积定定和和有有最最小值小值 和和定定积积有有最最大值大值 利用 利用基基本本不等式不等式求最求最值值时要时要考考 虑虑到到等等号号是否是否成立成立 与函数与函数相关相关的的应应用题用题多多有有基基本本不等式的不等式的应应用用 举例 举例 已知正数ba 满足32 ba 则 ba 11 的最小值为 分析 分析 此类问题是典型的 双变量问题 即是已知两变量的一个关系式 求此两变量的另 一代数式的最值 或取值范围 问题 其解决方法一是 减元 即由关系中利用一个变量表 示另一变量代入到所求关系式中 转化为一元函数的最值问题 另一方法是构造基本不等式 由 223 3 1 2 3 3 1 22 3 111 b a a b b ba a ba ba 当且仅当 b a a b 2 等号成 立 此时 22 3 12 3 ba 18 学学会会运用运用基基本本不等式 不等式 bababa 举例 举例 1 若关于x的不等式axxa 举例举例 2 若关于x的不等式axxa 19 解解分式不等式不分式不等式不能能轻易轻易去分去分母母 通常采通常采用 用 移移项项 化化一一边边为为零零 通 通分分 转转化为化为整整式式 不等式不等式 化化所所有有因因式中的式中的变量系变量系数数为正为正 即不等式两 即不等式两边边同同除除以变量系以变量系数 若数 若它它的的符号符号不不能能 确确定即定即需需要要讨讨论论 序序轴轴标标根根 注意 注意比较比较各各个个根根的的大小大小 不 不能能比较比较时即时即需需要要讨讨论论 解解 绝绝对值对值不等式的不等式的关关键键是 去是 去绝绝对值对值 通常通常有有 利用利用绝绝对值对值不等式的不等式的性质性质 平平方方 讨讨论论 特别特别 注意 注意 求求一个一个变量变量的的范围范围时 若分时 若分段讨段讨论论的也是的也是这这个个变量变量 结结果果要 要 归并归并 举例 举例 解关于x的不等式 0 1 2 1 a x xa 分析 分析 原不等式化为 0 2 1 2 0 2 2 1 axax x axa 注意到此不 等式二次项系数含有变量 故要讨论 1 当1 a时 不等式的解集为 2 xx 2 当10 aa a 此时不等式的解集为 1 2 2 a a 3 当1 a时 同样可得不等 式的解集为 2 1 2 U a a 20 求最求最值值的的常常用方用方法法 用用基基本本不等式 注意条件 一不等式 注意条件 一正正 二二定 定 三三相相等 等 二次二次函数 函数 单调性单调性 逆逆求求法法 包 包括括判判别别式式法法 换元换元法法 数形数形结结合合 一一般般而而言言 在用 在用基基本本不等式不等式 求最求最值值因因 不 不相相等 等 而而受阻受阻时 时 常常用函数用函数 0 a x a xy的的单调性单调性 求二次求二次函数 函数 自变自变 量量受限制受限制 的 的值域值域 先配先配方 方 再再利用利用图像图像 单调性单调性等 等 求求分式函数的分式函数的值域值域 自变量自变量没没有有限限 制制 常常用 逆用 逆求求 即判 即判别别式式法法 求求分式函数的分式函数的值域值域 自变量自变量受限制受限制 通常通常分子 分分子 分母母同同 除除一个式子 一个式子 变变分子 分分子 分母母 为为常常数数 举例 举例 1 已知函数 2 2 3 xaxxf 的最大值不大于 6 1 又当 2 1 4 1 x时 8 1 xf 求实数a的值 分析 分析 6 3 2 3 2 2 aa xxf 则1 6 1 6 2 2 a a 又此二次函数开口向下 则有 1 8 1 2 1 8 1 4 1 a f f 知1 a 注意到 开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一 端点对应的函数值 同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函 数值 举例举例 2 求函数 136 3 2 xx x xf在区间 2 2 上的最大值与最小值 分析 分析 因为函数的定义域不是一切实数 用判别式法所求的结果不一定是正确 可利用换元 转化成基本不等式型的应用 设tx 3 则 t t t t xf 4 1 4 2 5 1 t 当2 t时 t t 4 取最小值 4 当5 t时 t t 4 取最大值 5 29 所以函数 xf在区间 2 2 上的最大值 为 4 1 最小值为 29 5 注意 此类函数的值域 最值 问题在解几的最值中经常涉及 要能 熟练地掌握其解法 21 遇遇到到含含参参不等式 不等式 或或含含参参方方程程 求其求其中中某某个个参参数的数的取值取值范围通常采范围通常采用分用分离离参参数数法法 转 转 化为化为求求某某函数的函数的最最大值大值 或或最最小值小值 但但是若是若该该参参数分数分离离不不出出来来 或或很很难难分分离离 那么那么也可也可 以以整整体体研究研究函数函数 xafy 的的最最值值 特别特别注意 注意 双双变量变量问题在问题在求求解解过过程程中中应应把已把已知范围知范围的的变变 量作为量作为主主变量变量 另另一个一个作为作为参参数数 举例 举例 1 已知不等式0224 xx a对于 1 x 恒成立 求实数a的取值范 围 2 若不等式0224 xx a对于 3 a恒成立 求实数x的取值范围 分析 分析 1 由0224 xx a得 x x a 2 2 2 对于 1 x 恒成立 因 2 1 2 x 所以22 2 2 2 x x 当22 x 时等号成立 所以有22 xx a对于 3 a恒成立是关于a的一次不等式 不妨设 24 2 xx aaf 则 af在 3 a上单调递减 则问题等价于0 3 f 所以2202234 xxx 或12 x 则x取值范围为 1 0 U 第三部分第三部分 三角函数三角函数 22 若 若 2 0 则 则 tansin 则 的取值范围是 分析 分析 由0 cos sin 且 0 即 cos sin 知其角的终边应 靠近 y轴 所以 4 3 4 举例 举例 2 方程sin xx 的解的个数为 个 分析 分析 在平面直角坐标系中作出函数sinyx 与yx 的图像 由函数sin yx yx 都 是奇函数 而当1x 时sinxx 恒成立 在 0 2 x 时 sin xx未未必有必有 由由 同同样未样未必有必有 tgtg 两个 两个角角的的三角三角函数函数 值 相值 相 等 等 这这 两 个两 个 角角 未未 必必 相相 等 等 如如 sinsin 则 则 k2 或或 Zkk 2 若 若 coscos 则 则Zkk 2 若 若 tgtg 则 则 Zkk 举例 举例 1 已知 都是第一象限的角 则 是 sinsin 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 分析 分析 都是第一象限的角 不能说明此两角在同一单调区间内 如 6 13 3 都是第一象 限的角 6 13 3 选 D 举例 举例 2 已知0 0 则 是 sinsin ACBsin sin cos CB Acos 2 sin 2 cos ACB 2 cos 2 sin ACB 等等常常用的用的结论须结论须记住记住 三角三角形形三三内内角角 A B C 成成等等差差数数列列 当当且且仅仅当当 3 B 举例 举例 1 1 已知 ABC 三边cba 成等差数列 求 B 的范围 2 已知 ABC 三边cba 成等比数列 求角 B 的取值范围 分析 分析 1 由 ABC 的三边cba 成等差数列 则cab 2 222 cos 2 acb B ac 消 去b化得 22 3 1611 cos 84842 acac B acac 所以 3 0 B 2 同样可以求得 3 0 B 举例 举例 2 在 ABC 中 若CABsinsincos2 则 ABC 的形状一定是 A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 分析 分析 在三角形 ABC 中 ABBABABACsincos2sincoscossin sin sin 则BABABABA 0 sin 0sincoscossin 所以 ABC 是等腰三角形 举例 举例 3 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为cba 已知cba 成等比数列 且 4 3 cos B 1 求ctgCctgA 的值 2 设 2 3 BCBA 求ca 的值 分析 分析 1 先切化弦 CA B CA CA C C A A ctgCctgA sinsin sin sinsin sin sin cos sin cos 由cba 成等比 CABacbsinsinsin 22 所以 B ctgCctgA sin 1 由 4 3 cos B得 4 7 sin B 则 7 74 ctgCctgA 2 注意到 2 3 4 3 cos acBacBCBA 所以2 ac 则2 2 b 又由余弦定理得 Baccabcos2 222 得5 22 ca 92 222 cacaca 所以3 ca 29 xxxxxxcossin cossin cossin 这这三三者者之间之间的的关系关系虽虽然然没没有有列入列入同同角三角比角三角比的的基基 本关系本关系式 式 但但是是它它们们在在求求值值过过程程中中经经常常会会用用到到 要 要能能熟练熟练地掌握地掌握它它们们之间之间的的关系关系式 式 2 sincos 12sin cosxxxx 求求值值时时能根据能根据角角的的范围范围进行正确进行正确的的取取舍舍 举例 举例 1 已知关于x的方程02 cos sin2sin xxax有实数根 求实数a的取值范 围 分析分析 由xxxxxxx2sin1coscossin2sin cos sin 222 令txx cossin 则12sin 2 tx 其中 2 2 t 则关于t的方程01 2 att在 2 2 t上有 解 注意到方程01 2 att两根之积为 1 若有实根必有一根在 1 1 内 只要 0 即 可 得2 a或2 a 举例 举例 2 已知 0 且 5 1 cossin 则 tg 分析 分析 此类问题经常出现在各类考试中 而且错误率都比较高 原因是不能根据角所在的象 限 对函数值进行正确的取舍 由 5 1 cossin 平方得0 25 24 cossin2 又 由 0 知 2 则有 0cos 0sin 25 49 cossin21 cos sin 2 得 5 7 cossin 有 5 4 cos 5 3 sin 所以 4 3 tg 30 正正 余余 弦弦函数函数图像图像的的对称轴对称轴是是平行于平行于y轴轴且且过过函数函数图像图像的的最最高高点或点或最最低低点点 两 两相相邻邻 对称轴之间对称轴之间的的距距离离是是半半个个周期周期 正正 余余 弦弦函数函数图像图像的的对称对称中心是中心是图像图像与 与 平平衡衡轴轴 的 的交交 点点 两 两相相邻邻对称对称中心中心之间之间的的距距离离也是也是半半个个周期周期 函数函数ctgxytgxy 的的图像图像没没有有对称轴对称轴 它它们们的的对称对称中心中心为为Zk k 0 2 两两相相邻邻对对 称轴之间称轴之间的的距距离离也是也是半半个个周期周期 举例 举例 1 已知函数xxf2sin 且 txf 是偶函数 则满足条件的最小正数 t 分析 22sin txtxf 是偶函数 则0 x是它图像的一条对称轴 0 x时 函数 取最大 小 值 12sin t 2 2Zkkt 所以满足条件的最小正数 4 t 举例 举例 2 若函数xxaxfcossin 的图像关于点 0 3 成中心对称 则 a 分析 分析 由xxaxfcossin 的图像关于点 0 3 成中心对称知0 3 f 3 3 a 第四部分第四部分 复复数数 31 复复数问题数问题实实数数化化时 时 设设复复数数biaz 不要 不要忘忘记记条件条件Rba 两两复复数数biaz 1 2 Rdcbadicz 21 zz 的条件是的条件是dbca 这这是是复复数数求求值值的的主主要要依依据据 根据根据 条件 条件 求复求复数的数的值值经经常常作作实实数数化化处理处理 举例 举例 若复数z满足 i i izzzz 2 3 则 z 分析 分析 设 Rbabiaz 原式化为iaiba 12 22 得 12 1 22 a ba 求得 iz 2 3 2 1 32 实实系系数一元数一元二次二次方方程程若若存存在在虚虚根根 则 则此此两两虚虚根根互互为为共轭共轭 若若虚虚系系数一元数一元二次二次方方程存程存在在实实 根根不不能能用判用判别别式判式判断断 举例 举例 若方程 02 2 Rbbxx 的两根 满足2 求实数b的值 分析 分析 在复数范围内 22 不一定成立 但 22 一定成立 对于二次方程 韦达定理在复数范围内是成立的 2 b 4 8 22 b 则4 2 b或12 2 b 所以2 b或32 b 33 21 zz 的的几几何意义是何意义是复复平平面面上上 21 z z对应点之间对应点之间的的距距离离 rzz 0 的的几几何意义是何意义是 复复平平面面上上以以 0 z对应点为对应点为圆圆心 心 r为为半径半径的的圆圆 举例 举例 若4 2 0 zziz表示的动点的轨迹是椭圆 则 0 z的取值范围是 分析 分析 首先要理解数学符号的意义 4 2 0 zziz表示复数z对应的动点到复数i 2 与 0 z对应的两定点之间的距离之和等于 4 而根据椭圆的定义知 两定点之间的距离要小于 定值 4 所以有4 2 0 a且公差且公差0 d 前 前 n 项和存在最大值项和存在最大值 当首项当首项0 1 d 前 前 n 项和存在最小值项和存在最小值 求等差数列前求等差数列前n项和的最值可以利用不等式组项和的最值可以利用不等式组 0 0 0 0 1n n a a 来确定来确定n的值 也可以利用等差数列的前的值 也可以利用等差数列的前n项的和是项的和是n的二次函数 常数项为的二次函数 常数项为 0 转化成函 转化成函 数问题来求解数问题来求解 举例 举例 1 若 n a是等差数列 首项0 0 0 20072006200720061 aaaaa 则 1 使 前n项和 n S最大的自然数n是 2 使前n项和0 n S的最大自然数 n 分析 分析 由条件可以看出0 0 20072006 aa 可知 2006 S最大 则使 n S最大的自然数为 2006 由0 20072006 aa知0 40121 aa 0 2 4012 40121 4012 aa S 20074013 4013 aS 所以0 4013 n S的最大自然数为 4012 举例 举例 2 在等差数列 n a中 满足 74 73aa 且 n Sa 0 1 是数列前n项的和 若 n S取得最 大值 则 n 分析 分析 首项 公差 比 是解决等差 比 数列的最基本出发点 等差 比 数列的运算多 可以通过首项与公差 比 来解决 由 74 73aa 知 111 33 4 6 7 3 3addada 则 1 1 1 33 437 33 1 4 a nan aan 当9 n时0 n a 当10 n时0 n a 所以9 n 39 数 数列列 n a是等是等比比数数列列 其其前前n项项的的和和 n S是是关于关于q的分的分段段函数函数 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 在求和过程中若公比不是具体数值时 则要进行讨论在求和过程中若公比不是具体数值时 则要进行讨论 举例 举例 1 数列 n a是等比数列 前n项和为 n S 且 1 1 lim a Sn n 求 1 a的取值范围 分析 分析 注意到等比数列的公比是不为零的常数 前n项和存在的前提条件是1 q 且 q a Sn n 1 lim 1 知 1 1 1 1aq a 则qa 1 2 1 有 2 1 1 0 2 1 U a 则 2 1 1 0 1 U a 0 1 1 2 UU 举例 举例 2 数列 n a是等比数列 首项1 1 a 公比1 q 求 n n S 1 lim 的值 分析 分析 涉及到等比数列的前n项和的问题不能直接的应用公式 要考虑到公比的取值情况 当1 q时 nnaSn 1 此时0 1 lim 1 lim nS n n n 当1 q时 q q S n n 1 1 则 n n S 1 lim 1 1 1 lim 0 1 1 n n qq q qq 40 等 等差差数数列列 等 等比比数数列列的 的 基基本本元 是元 是首首项项 公差公差 比比 当当觉觉得得不不知如知如何用何用性质性质求求解解时 时 可可以以把把问题转问题转化化成成 基基本本元 元 解决解决 学学会会用任意两用任意两项项关系关系 若 若 n a 是等是等差差数数列列 则 则对于对于任任 意意自然自然数数nm 有有dmnaa mn 若 若 n a 是等是等比比数数列列 则 则对于对于任意的任意的自然自然数数nm 有有 mn mn qaa 在在这这两两关系关系式中若式中若取取1m 这这就就是等是等差差 比比 数 数列列的的通项通项公公式式 举例 举例 1 已知数列 n a是等差数列 首项0 1 a 且053 75 aa 若此数列的前n项和 为 n S 问 n S是否存在最值 若存在 n为何值 若不存在 说明理由 分析 分析 对于本题来说 等差数列的基本性质用不上 可以化归为首项与公差来解决 设此数 列的公差为d 则0 6 5 4 3 11 dada 即 1 21 4 ad 由0 1 a知0 n a 当7 n时 0a 且1 5 7 3 5 aa 若此数列的前n项积为 n T 问 n T是否存在最值 说明理由 分析 分析 与举例 1 联系起来 这是数列中的 类比 问题 其解决的思想方法是一样的 对于单 调正项数列 前n项积 n T最大 小 则应满足 1 1 1 1 11 a知 6 n时 7 1 nan时 1 mmab nmn 则数列 n b是等差数列 反之若数列 n a是等差数列 记 0 n a n bmm 则数列 n b是等比数列 41 已已知知数数列列的的前前n项项和和 n S 求求数数列列的的通项通项公公式时 要注意分式时 要注意分段段 2 1 1 1 nSS nS a nn n 当当 1 a满足满足 2 1 nSSa nnn 时 时 才才能能用一个用一个公公式表式表示示 举例 举例 已知数列 n a的前n项和annaSn 2 2 若 n a是等差数列 求 n a的 通项公式 分析 分析 证明一个数列是等差数列或是等比数列 要从等差 等比数列的定义出发 等差 等 比数列的性质不能作为证明的理由 由annaSn 2 2 知 1 n时 12 11 aSa 当2 n时 1nnn SSa 3 2 2ana 当2 n时 2 2 1 aaa nn 而4 12 aaa 若数列 n a是 等差数列 则4 2 2 aa 所以0 a 则34 nan 42 形 形如如 nn aa 1 nf的的递递推推数数列列 求通项求通项用用叠叠加加 消消项项 法法 形 形如如 1 ng a a n n 的的 递递推推数数列列 求通项求通项用用连连乘乘 约约项项 法法 举例 举例 数列 n a满足 2 3 1 1 1 1 naaa n n n 求数列 n a的通项公式 分析 分析 解决这种递推数列的思想方法实质上是等差 等比数列求通项公式的思想方法 等差 数列的基本递推关系 daa nn 1 等比数列的递推关系 q a a n n 1 由题知 2 3 3 3 3 1 12 3 32 2 21 1 1 n aa aa aa aa n nn n nn n nn LLL 相加得 2 31 3 333 1 21 1 n nn n aaL 又1 1 a 所以 2 2 13 na n n 而 1 a满足此式 则 2 13 Nna n n 43 一 一次次线性线性递递推推关系关系 数 数列列 n a满足满足 cbacabaaa nn 11 是是常常数 是数 是最最重重 要的要的递递推推关系关系式 可式 可以以看看出出当当1 b时 时 此此数数列列是等是等差差数数列列 当当0 c 0 b时 时 此此数数列列 是等是等比比数数列列 解决此解决此递递推推的方的方法法是是通过通过代换 代换 令令 kab nn 化化成成等等比比数数列列求求解解 举例 举例 已知数列 n a满足 12 1 11 Nnaaa nn 求此数列的通项公式 分析分析 由12 1 nn aa得 1 21 1 nn aa知数列 1 n a是等比数列 首项为 2 公 比为 2 所以 n n a21 知12 n n a 44 在 在解以解以数数列列为为模型模型的数的数学学应应用题时 要用题时 要选择好选择好研究对象研究对象 即 即选择好选择好以以 哪一个 哪一个量量 作作 为为数数列列的 的 项项 并并确确定定好好以以哪一时哪一时刻刻的的量为量为第一第一项项 对对较较简简单单的问题可的问题可直直接接寻寻找找 项项 与 与 项项数 的数 的关系关系 对对较复较复杂杂的问题可的问题可先先研究研究前后前后项项之间之间的的关系关系 即数 即数列列的的递递推推公公式 式 然然后后 再再求通项求通项 举例 举例 某企业去年底有资金积累a万元 根据预测 从今年开始以后每年的资金积累会在 原有的基础上增长 20 但每年底要留出b万元作为奖励金奖给职工 企业计划用 5 年时间 使资金积累翻一番 求b的最大值 分析 分析 与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系 在设数列时就要指 明 特别注意年底 年初的不同 设从今年开始每年底该企业的资金积累为 n a万元 则babaa 4 5 201 1 万 元 babaa nnn 4 5 201 1 则 4 4 5 4 1 baba nn 所以数列 4 ban 是 以baba5 4 5 4 1 为首项 4 5 为公比的等比数列 所以 1 4 5 5 4 5 4 n n baba 1 4 5 5 4 5 4 n n baba 由题知aa2 5 则abab2 2 1 52 1 4 4 求得 aab08 0 9950 763 即b的最大值大约为 8 a 45 常见的极限要记牢 常见的极限要记牢 11 1 0 1 1 lim qq q q qn n 或不存在 注意 注意 n n q lim存在与存在与 0lim n n q是不相同的 是不相同的 e n n n 1 1 lim 特别特别注意注意此此式的式的结结构构形式 若形式 若 ngnf是是关关 于于n的的多多项项式函数 要式函数 要会会求求 lim ng nf n 举例 举例 1 求下列各式的值 1 4 2 2 lim 2 a a a nn nn n 2 n n n n 2 1 1 lim 分析 分析 对于指数型的分式型极限 一般是分子 分母同除以幂底数绝对值较大的幂 这样可 以求出极限 1 当2 a时 原式1 1 2 2 1 lim n n n a a 2 与e相关的极限问题要注意其结构形式 注意到括号内是 号相连 且分子为 1 幂 的指数与括号内的分母相同 当形式不同时 要向此转化 n n n n nn n 1 2 1 lim 1 1 lim 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim e nn n nn n n n 举例 举例 2 若1 43 2 lim 2 n bnan n 则 a b 分析 分析 对于分子分母是关于n的整式的分式型极限 若分子的最高的幂指数大于分母的最高 的幂指数 则此式极限不存在 当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时 极限 是分子 分母的最高次幂的系数比 当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时 极 限是零 注意到此式极限为 1 是存在的 由上分析知1 3 0 b a 所以3 0 ba 46 理理解解极极限限是 是 无无限限运运动动的的归归宿宿 举例 举例 已知 ABC 的顶点分别是 0 2 4 2 0 2 0 Nn n C n B n A 记 ABC 的外 接圆面积为 n S 则 n n Slim 分析 分析 本题若要先求出三角形 ABC 的面积后再求极限则是 漫长 的工作 注意到当 n 时 A B C 点的变化 不难看出 ABC 被 压扁 成一条长为 4 的线段 而此线段就是此 三角形外接圆的直径 从而有 4lim n n S 第第六六部分部分 排排列列 组组合与合与概率概率 47 解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么 其次要分清完成该事件是分 解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么 其次要分清完成该事件是分 类还是分步 另外要有逐一列举思想 先选后排思想 正难则反 即淘汰法 思想类还是分步 另外要有逐一列举思想 先选后排思想 正难则反 即淘汰法 思想 简单地简单地 说 解排列 组合问题要搞清 做什么 怎么做 分步做时要考虑到每一步的可行性与 步 说 解排列 组合问题要搞清 做什么 怎么做 分步做时要考虑到每一步的可行性与 步 与 步 之间的连续性与 步 之间的连续性 尤其是排列问题 更要注意 特殊元素 特殊位置 之间的关系 尤其是排列问题 更要注意 特殊元素 特殊位置 之间的关系 一般地讲 从正面入手解决时 特殊元素特殊照顾 特殊位置特殊考虑一般地讲 从正面入手解决时 特殊元素特殊照顾 特殊位置特殊考虑 相邻问题则用 捆 相邻问题则用 捆 绑 不邻问题则用 插空 绑 不邻问题则用 插空 特别提醒 解排列 组合问题时防止记数重复与遗漏特别提醒 解排列 组合问题时防止记数重复与遗漏 举例 举例 对于问题 从 3 位男同学 5 位女同学这 8 位同学中选出 3 人参加学校一项活动 求至少有 2 位女同学的选法种数 一位同学是这样解的 先从 5 位女同学中选出 2 名有 2 5 C种 选法 再在剩下的 6 位同学中任选一位有 1 6 C种选法 所以共有 1 6 2 5 CC 种不同的选法 请分 析这位同学的错误原因 并给出正确的解法 分析 分析 这位同学的解法中犯了计数重复的错误 不妨设女同学的编号为 A B C D E 如 先选的 2 5 C为 A B 再选的 1 6 C为 C 和先选的为 A C 再选的为 B 是同一种选法 本解法 中作为两种不同的结果计数 所以重复 正确解法有两种 方法一 分类讨论 选出的 3 人中至少有 2 名女同学 则为 2 女 1 男有 1 3 2 5 CC 种不同选法 3 位都为女同学有 3 5 C种不同选法 两种结果都能完成这件事 所以 有40 3 5 1 3 2 5 CCC种不同的选法 方法二 去杂法 8 位同学中选出 3 人不满足条件和选 法为 3 男与 2 男 1 女 所有选法为 3 8 C 则满足题义的选法为 1 5 2 3 3 3 3 8 CCCC 48 简单地说 事件 简单地说 事件 A 的概率是含有事件的概率是含有事件 A 的 个体数 与满足条件的事件的 总体数 的 个体数 与满足条件的事件的 总体数 的比值的比值 现行高考中的概率问题实际上是排列 组合问题的简单应用现行高考中的概率问题实际上是排列 组合问题的简单应用 举例 举例 定义非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的 孙集 集合 9 7 5 3 1 A的真子集 可以作为 A 的 孙集 的概率是 分析 分析 本例是 即时性 学习问题 要正确理解 孙集 的定义 真子集的真子集 元 素为n个的集合的真子集有12 n 个 其真子集的元素最多有1 n个 有1 n个元素的集合 的真子集最多有2 n个元素 所以有n个元素的集合的 孙集 实际上是原集合中的小于等 于2 n个元素的真子集 故其概率 31 26 125 3 5 2 5 1 5 0 5 CCCC 第第七七部分部分 向向量量 49 向向量量加法加法的的几几何意义 何意义 起起点相点相同时同时适适用用平行平行四四边边形形法法则 则 对对角角线线 首尾首尾相相接接适适用 用 蛇蛇 形形法法则 则 2 1 ACAB表表示 示 ABC 的的边边 BC 的中的中线线向向量量 向向量减量减法法的的几几何意义 何意义 起起点相点相同同 适用三角形法则 终点连结而成的向量 指向被减向量 适用三角形法则 终点连结而成的向量 指向被减向量 AB表示表示 A B 两点间的距离 两点间的距离 以以a b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a b ba 或 或ab 举例 举例 已知非零向量ba 满足 baba 则向量ba 的关系是 A 平行 B 垂直 C 同向 D 反向 分析 分析 注意到向量运算的几何意义 ba 与 ba 表示以a和b为一组邻边的平行四边 形的两对角线的长 我们知道 对角线相等的平行四边形是矩形 从而有ba 选 B 另一方面 本例也可以利用向量的运算来进行求解 22 babababa 化简得 0 ba 有ba 50 理解单位向量 平行向量 垂直向量的意义 理解单位向量 平行向量 垂直向量的意义 与非零向量与非零向量a同向的单位向量同向的单位向量 0 a a a 反反向向的的单单位向位向量量 0 a a a 举例 举例 已知 ABC 点 P 满足 R AC AC AB AB AP 则点 P 的轨迹是 A BC 边上的高所在直线 B BC 边上的中线所在直线 C A 平分线所在直线 D BC 边上中垂线所在直线 分析 分析 这是一道很 漂亮 的与向量相关的问题 R AC AC AB AB AP 它涵盖 了单位向量 向量加法的意义 数与向量乘积的概念等 注意到 AC AC AB AB 分别是ACAB 上的单位向量 则 AC AC AB AB 是以ACAB 上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向 量 所以 ABAC AP ABAC uuu ruuur uuu r uuu ruuur所在直线是A 平分线所在直线 则 P 点的轨迹是A 平 分线所在直线 选 C 51 两 两向向量量所成所成的的角角指指的是两的是两向向量量方方向向所成所成的的角角 两两向向量量数数量量积积 bab cos 可可视视为为向向量量b在在向向量量a上上的的射影射影 举例 举例 1 已知 ABC 是等腰直