高考数学二轮专题复习 直线、平面平行的判定与性质提分训练 文 新人教版.doc

直线、平面平行的判定与性质高考试题考点一 直线与直线平行1.(2012年浙江卷,文20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱abcda1b1c1d1中,adbc,adab,ab=,ad=2,bc=4,aa1=2,e是dd1的中点,f是平面b1c1e与直线aa1的交点.(1)证明:efa1d1;ba1平面b1c1ef.(2)求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值.(1)证明:因为c1b1a1d1,c1b1平面add1a1,所以c1b1平面a1d1da.又因为平面b1c1ef平面a1d1da=ef,所以c1b1ef,所以a1d1ef.因为bb1平面a1b1c1d1,所以bb1b1c1.又因为b1c1b1a1,所以b1c1平面abb1a1,所以b1c1ba1.在矩形abb1a1中,f是aa1的中点,tana1b1f=tanaa1b=,即a1b1f=aa1b,故ba1b1f.所以ba1平面b1c1ef.(2)解:设ba1与b1f交点为h,连接c1h.由(1)知ba1平面b1c1ef,所以bc1h是bc1与平面b1c1ef所成的角.在矩形aa1b1b中,ab=,aa1=2,得bh=.在rtbhc1中,bc1=2,bh=,得sinbc1h=.所以bc1与平面b1c1ef所成角的正弦值是.2.(2011年安徽卷,文19)如图,abedfc为多面体,平面abed与平面acfd垂直,点o在线段ad上,oa=1,od=2,oab,oac,ode,odf都是正三角形.(1)证明直线bcef;(2)求棱锥fobed的体积.(1)证明:如图所示,设g是线段da延长线与线段eb延长线的交点.由于oab与ode都是正三角形,且od=2,所以obde,og=od=2.同理,设g是线段da延长线与线段fc延长线的交点,有ocdf,og=od=2.又由于g和g都在线段da的延长线上,所以g与g重合.在ged和gfd中,由obde和ocdf,可知b、c分别是ge和gf的中点,所以bc是gef的中位线,故bcef.(2)解:由ob=1,oe=2,eob=60,知sobe=,而oed是边长为2的正三角形,故soed=.所以s四边形obed=sobe+soed=.过点f作fqad,交ad于点q,由平面abed平面acfd知,fq就是四棱锥fobed的高,且fq=,所以=fqs四边形obed=.考点二 直线与平面平行1.(2013年福建卷,文18)如图,在四棱锥pabcd中,pd平面abcd,abdc,abad,bc=5,dc=3,ad=4,pad=60.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥pabcd的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若m为pa的中点,求证:dm平面pbc;(3)求三棱锥dpbc的体积.解:(1)在梯形abcd中,过点c作ceab,垂足为e.由已知得,四边形adce为矩形,ae=cd=3,在rtbec中,由bc=5,ce=4,依勾股定理得be=3,从而ab=6.又由pd平面abcd,得pdad,从而在rtpda中,由ad=4,pad=60,得pd=4.正视图如图所示.(2)取pb中点n,连接mn,cn.在pab中,m是pa中点,mnab,mn=ab=3,又cdab,cd=3,mncd,mn=cd,四边形mncd为平行四边形,dmcn.又dm平面pbc,cn平面pbc,dm平面pbc.(3) =sdbcpd,又sdbc=6,pd=4,所以=8.2.(2013年山东卷,文19)如图,四棱锥pabcd中,abac,abpa,abcd,ab=2cd,e,f,g,m,n分别为pb,ab,bc,pd,pc的中点(1)求证:ce平面pad;(2)求证:平面efg平面emn.证明:(1)取pa的中点h,连接eh,dh.因为e为pb的中点,所以ehab,eh=ab.又abcd,cd=ab,所以ehcd,eh=cd.因此四边形dceh是平行四边形.所以cedh.又dh平面pad,ce平面pad,因此ce平面pad.(2)因为e,f分别为pb,ab的中点,所以efpa.又abpa,所以abef,同理可证abfg.又effg=f,ef平面efg,fg平面efg,因此ab平面efg.又m,n分别为pd,pc的中点,所以mncd,又abcd,所以mnab,因此mn平面efg,又mn平面emn,所以平面efg平面emn.3.(2013年江苏卷,16)如图,在三棱锥sabc中,平面sab平面sbc,abbc,as=ab.过a作afsb,垂足为f,点e,g分别是棱sa,sc的中点.求证:(1)平面efg平面abc;(2)bcsa.证明:(1)因为as=ab,afsb,垂足为f,所以f是sb的中点.又因为e是sa的中点,所以efab.因为ef平面abc,ab平面abc,所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efeg=e,所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc,且交线为sb,又af平面sab,afsb,所以af平面sbc.因为bc平面sbc,所以afbc.又因为abbc,afab=a,af平面sab,ab平面sab,所以bc平面sab.因为sa平面sab,所以bcsa.4.(2012年浙江卷,理20)如图,在四棱锥pabcd中,底面是边长为2的菱形,bad=120,且pa平面abcd,pa=2,m、n分别为pb、pd的中点.(1)证明:mn平面abcd;(2)过点a作aqpc,垂足为点q,求二面角amnq的平面角的余弦值.(1)证明:连接bd,因为m、n分别是pb、pd的中点,所以mn是pbd的中位线,所以mnbd.又因为mn平面abcd,bd平面abcd,所以mn平面abcd.(2)解: 如图所示,在菱形abcd中,bad=120,得ac=ab=bc=cd=da,bd=ab.又因为pa平面abcd,所以paab,paac,paad.所以pb=pc=pd.所以pbcpdc.而m、n分别是pb、pd的中点,所以mq=nq,且am=pb=pd=an.取线段mn的中点e,连接ae,eq,则aemn,qemn,所以aeq为二面角amnq的平面角.由ab=2,pa=2,故在amn中,am=an=3,mn=bd=3,得ae=.在直角pac中,aqpc,得aq=2,qc=2,pq=4,在pbc中,cosbpc= =,得mq=.在等腰mqn中,mq=nq=,mn=3,得qe=.在aeq中,ae=,qe=,aq=2,得cosaeq=.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.5.(2012年辽宁卷,文18)如图,直三棱柱abcabc,bac=90,ab=ac=,aa=1,点m,n分别为ab和bc的中点.(1)证明:mn平面aacc;(2)求三棱锥amnc的体积.(锥体体积公式v=sh,其中s为底面面积,h为高)(1)证明:法一连接ab,ac,如图所示,由已知bac=90,ab=ac,三棱柱abcabc为直三棱柱,所以m为ab的中点.又因为n为bc的中点,所以mnac.又mn平面aacc,ac平面aacc,所以mn平面aacc.法二取ab的中点p,连接mp,np,ab,如图所示,因为m,n分别为ab与bc的中点,所以mpaa,pnac.所以mp平面aacc,pn平面aacc.又mpnp=p,所以平面mpn平面aacc.而mn平面mpn,所以mn平面aacc.(2)解:连接bn,如图所示,由题意知anbc,平面abc平面bbcc=bc,所以an平面nbc.又an=bc=1,故=.6.(2012年山东卷,文19)如图,几何体eabcd是四棱锥,abd为正三角形,cb=cd,ecbd.(1)求证:be=de;(2)若bcd=120,m为线段ae的中点,求证:dm平面bec.证明:(1)如图所示,取bd的中点o,连接co,eo.由于cb=cd,所以cobd.又ecbd,ecco=c,co,ec平面eoc,所以bd平面eoc,因此bdeo.又o为bd的中点,所以be=de.(2)法一如图所示,取ab的中点n,连接dm,dn,mn.因为m是ae的中点,所以mnbe.又mn平面bec,be平面bec,所以mn平面bec.又因为abd为正三角形,所以bdn=30.又cb=cd,bcd=120,因此cbd=30.所以dnbc.又dn平面bec,bc平面bec,所以dn平面bec.又mndn=n,所以平面dmn平面bec.又dm平面dmn,所以dm平面bec.法二如图所示,延长ad,bc交于点f,连接ef.因为cb=cd,bcd=120,所以cbd=30.因为abd为正三角形,所以bad=60,abc=90,因此afb=30,所以ab=af.又ab=ad,所以d为线段af的中点,连接dm,由点m是线段ae的中点,得dmef.又dm平面bec,ef平面bec,所以dm平面bec.7.(2010年北京卷,文17)如图,正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直,efac,ab=,ce=ef=1.(1)求证:af平面bde;(2)求证:cf平面bde.证明:(1)设ac与bd交于点g.因为efag,且ef=1,ag=ac=1,所以四边形agef为平行四边形.所以afeg.因为eg平面bde,af平面bde,所以af平面bde.(2)连接fg.因为efcg,ef=cg=1,且ce=1,所以四边形cefg为菱形.所以cfeg.因为四边形abcd为正方形,所以bdac.又因为平面acef平面abcd,且平面acef平面abcd=ac,所以bd平面acef.所以cfbd.又bdeg=g,所以cf平面bde.8.(2010年浙江卷,文20)如图,在平行四边形abcd中,ab=2bc,abc=120,e为线段ab的中点,将ade沿直线de翻折成ade,使平面ade平面bcd,f为线段ac的中点.(1)求证:bf平面ade;(2)设m为线段de的中点,求直线fm与平面ade所成角的余弦值.(1)证明:如图所示,取ad的中点g,连接gf,ge,由条件易知fgcd,fg=cd,becd,be=cd,所以fgbe,fg=be,故四边形begf为平行四边形,所以bfeg.因为eg平面ade,bf平面ade,所以bf平面ade.(2)解:在平行四边形abcd中,设bc=a,则ab=cd=2a,ad=ae=eb=a.连接ce,因为abc=120,在bce中,可得ce=a.在ade中,可得de=a.在cde中,因为cd2=ce2+de2,所以cede.在正三角形ade中,m为de的中点,所以amde.由平面ade平面bcd,可知am平面bcd,所以amce.取ae的中点n,连接nm,nf,则nfce.则nfde,nfam.因为de交am于点m,所以nf平面ade,则fmn为直线fm与平面ade所成的角.在rtfmn中,nf=a,mn=a,fm=a,则cosfmn=,所以直线fm与平面ade所成角的余弦值为.考点三 线面平行中探索性问题的解法1.(2011年北京卷,文17)如图,在四面体pabc中,pcab,pabc,点d,e,f,g分别是棱ap,ac,bc,pb的中点.(1)求证:de平面bcp.(2)求证:四边形defg为矩形.(3)是否存在点q,到四面体pabc六条棱的中点的距离相等?说明理由.证明:(1)因为d,e分别为ap,ac的中点,所以depc.又因为de平面bcp,所以de平面bcp .(2)因为d,e,f,g分别为ap,ac,bc,pb的中点,所以depcfg,dgabef,所以四边形defg为平行四边形.又因为pcab,所以dedg,所以四边形defg为矩形.(3)解:存在点q满足条件,理由如下:连接df,eg,设q为eg的中点.由(2)知,dfeg=q,且qd=qe=qf=qg=eg.分别取pc,ab的中点m,n,连接me,en,ng,mg,mn.与(2)同理,可证四边形meng为矩形,其对角线交点为eg的中点q,且qm=qn=eg,所以q为满足条件的点.2.(2009年海南、宁夏卷,理19)如图,四棱锥sabcd的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,p为侧棱sd上的点.(1)求证:acsd;(2)若sd平面pac,求二面角pacd的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱sc上是否存在一点e,使得be平面pac.若存在,求seec的值;若不存在,试说明理由.(1)证明:连接bd,设ac交bd于o,由题意知soac.在正方形abcd中,acbd,所以ac平面sbd,得acsd.解:(2)设正方形边长为a,则sd=a,又od=a,所以sdo=60,连接op,由(1)知ac平面sbd,所以acop,且acod,所以pod是二面角pacd的平面角.由sd平面pac,知sdop,所以pod=30,即二面角pacd的大小为30.(3)在棱sc上存在一点e,使be平面pac.由(2)可得pd=a,故可在sp上取一点n,使pn=pd.过n作pc的平行线与sc的交点即为e.连接bn,在bdn中,知bnpo.又由于nepc,故平面ben平面pac,得be平面pac.由于snnp=21,故seec=21.模拟试题考点一 直线与平面平行(2013山东潍坊高三上学期期末)如图五面体中,四边形abcd是矩形,da平面abef,abef,ab=ef=2,af=be=2,p、q、m分别为ae、bd、ef的中点.(1)求证:pq平面bce;(2)求证:am平面adf.证明:(1)法一连接ac,四边形abcd是矩形,ac与bd交于点q.在ace中,q为ac中点,p为ae中点,pqce.又pq平面bce,ce平面bce,pq平面bce.法二取ab的中点g,连接pg,qg,如图所示,q、g分别为bd、ba的中点,qgad.又adbc,qgbc,qg平面bce,bc平面bce,qg平面bce.同理可证,pg平面bce.又pgqg=g,平面pqg平面bce,pq平面bce.(2)m为ef中点,em=mf=ef=ab=2,又abef,四边形abem是平行四边形,am=be=2.在afm中,af=am=2,mf=2,amaf.又da平面abef,am平面abef,daam.daaf=a,am平面adf.考点二 线面平行中探索性问题1.(2012北京西城二模)如图所示,四棱锥eabcd中,ea=eb,abcd,abbc,ab=2cd.(1)求证:abed;(2)线段ea上是否存在点f,使df平面bce?若存在,求出;若不存在,说明理由.(1)证明:取ab中点o,连接eo,do,ea=eb,eoab,abcd,ab=2cd,bocd.又因为abbc,所以四边形obcd为矩形,所以abdo.因为eodo=o,所以ab平面eod.所以abed.(2)解:存在满足条件的点f, =,即f为ea中点时,有df平面bce.证明如下:取eb中点g,连接cg,fg.因为f为ea中点,所以fgab,因为abcd,cd=ab,所以fgcd.所以四边形cdfg是平行四边形,所以dfcg.因为df平面bce,cg平面bce,所以df平面bce.2.(2012北京东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中m,n分别是ab,ac的中点,g是df上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:gnac;(3)当fg=gd时,在棱ad上确定一点p,使得gp平面fmc,并给出证明.解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在adf中,addf,df=ad=dc=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a22+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接db,fn,由四边形abcd为正方形,且n为ac的中点知b,n,d三点共线,且acdn.又fdad,fdcd,adcd=d,fd平面abcd.ac平面abcd,fdac.又dnfd=d,ac平面fdn,又gn平面fdn,gnac.(3)点p与点a重合时,gp平面fmc.取fc的中点h,连接gh,ga,mh.g是df的中点,ghcd.又m是ab的中点,amcd.gham且gh=am,四边形ghma是平行四边形.gamh.mh平面fmc,ga平面fmc,ga平面fmc,即当点p与点a重合时,gp平面fmc.综合检测1.(2013山东潍坊高考模拟考试)如图所示,四边形abcd中,abad,adbc,ad=6,bc=4,ab=2,点e、f分别在bc、ad上,efab.现将四边形abef沿ef折起,使平面abef平面efdc,设ad中点为p.(1)当e为bc中点时,求证:cp平面abef;(2)设be=x,问当x为何值时,三棱锥acdf的体积有最大值?并求出这个最大值.(1)证明:取af的中点q,连接qe、qp,则qpdf,又df=4,ec=2,且dfec,所以qpec,即四边形pqec为平行四边形,所以cpeq,又eq平面abef,cp平面abef,故cp平面abef.(2)解:因为平面abef平面efdc,平面abef平面efdc=ef,又afef,所以af平面efdc.由已知be=x,所以af=x(0x4),fd=6-x.故 =2(6-x)x=(6x-x2)=-(x-3)2+9=- (x-3)2+3,当x=3时,有最大值,最大值为3.2.(2013河北石家庄教学质检(二)如图所示,已知三棱柱abca1b1c1,(1)若m、n分别是ab,a1c的中点,求证:mn平面bcc1b1;(2)若三棱柱abca1b1c1的各棱长均为2,b1ba=b1bc=60,p为线段b1b上的动点,当pa+pc最小时,求证:b1b平面apc.证明:(1)连接ac1,bc1,则an=nc1,因为am=mb,所以mnbc1.又bc1平面bcc1b1,mn平面bcc1b1,所以mn平面bcc1b1.(2)