高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.1.2 映射与函数课件 新人教B版必修1.ppt

第2课时映射与函数 一 二 一 映射 问题思考 1 图中的对应是从集合a到b的函数吗 提示 不是 因为函数是建立在两个数集基础上的 一 二 2 如图所示的对应有什么共同特点 提示 上述3种对应虽然形式不同 但都满足集合a中的任意一个元素 在b中都有唯一元素与之对应 一 二 3 填写下表 一 二 4 做一做 已知集合a 1 2 3 4 b 5 6 7 下列a到b的四种对应法则中 能够构成映射的有 a 1个b 2个c 3个d 4个答案 b 一 二 二 映射与函数的关系 问题思考 1 函数与映射有何区别和联系 提示 1 区别 对于映射f a b来说 集合a b可以是数集以外的其他非空集合 而函数定义中的两个集合必须是非空数集 2 联系 映射是函数概念的一种扩展 即将数集扩展到任意非空集合 函数是一种特殊的映射 所以映射不一定都是函数 而函数都是映射 2 填空 1 映射是函数概念的推广 2 函数是数集到数集的特殊映射 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 映射f a b与映射f b a是同一个映射 2 映射f a b中 a中的元素可以没有象与之对应 3 映射f a b中 b中的任一元素均有原象与之对应 4 一一映射f a b中 b中的任一元素均有原象与之对应 5 映射是函数 函数也是映射 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 映射与一一映射的概念 例1 1 如图 下列对应法则 其中是映射的个数为 a 3b 4c 5d 6 2 判断下列对应法则是否是从a到b的映射 若是映射 是否是一一映射 a r b x x 0 f x y x a x x 0 b y y 0 f x y a x x 2 x z b y y 0 y n f x y x2 2x 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析 1 所谓映射 是指多对一的对应 一对一的对应 且a中的元素无剩余 以此来判断既准确又迅速 2 判断某一映射是否是一一映射 应抓住两点 原象不同 象不同 每个象都必须有原象 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 解析 这三个图所示的对应法则都符合映射的定义 即a中每一个元素在对应法则下 在b中都有唯一的元素与之对应 对于 a的每一个元素在b中有2个元素与之对应 所以不是a到b的映射 对于 a中的元素a3 a4在b中没有元素与之对应 所以不是a到b的映射 综上可知 能构成映射的个数为3 答案 a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 解 因为0 a 在f作用下0 0 0 b 所以不是映射 更不是一一映射 对于任意x a 都有 故是映射 又因为对b中任一元素 在a中有且仅有一个原象 所以为一一映射 对任意的x a 依对应法则f有x y x2 2x 2 x 1 2 1 因为x 2 x z 所以y 2 y n 即y b 所以是映射 因为0 b 且 x 1 2 1 0无解 所以集合b中的元素0在a中无原象 所以不是一一映射 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 判断一个对应法则是a到b的映射 应从两个角度去分析 1 存在性 集合a中的每一个元素在集合b中都有对应元素 2 唯一性 集合a中的每一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应 这两个条件缺一不可 2 若判断不是a到b的映射 只要举出一个反例 即说明集合a中的某一元素 在b中无对应元素或有多个对应元素即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 判断下列对应是不是从集合a到集合b的映射 其中哪些是一一映射 哪些是函数 为什么 1 a 1 3 5 7 b 2 4 6 8 对应关系f x y x 1 2 a n b n 对应关系f x x 1 3 a x 0 x 6 b y 0 y 2 对应关系f x 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 集合a中的每一个元素在对应关系f的作用下 在集合b中都有唯一的一个元素与之对应 所以此对应是从a到b的映射 又b中每一个元素在a中都有唯一的原象与之对应 故该对应是一一映射 又a b是非空数集 因此该对应也是从集合a到集合b的函数 2 集合a n中元素1在对应关系f的作用下为0 而0 n 即a中元素1在b中没有元素与之对应 故该对应不是从a到b的映射 更不是函数 也不是一一映射 3 集合a中元素6在对应关系f的作用下为3 而3 b 故该对应不是从a到b的映射 更不是函数 也不是一一映射 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求映射中的象或原象 例2 已知映射f a b中 a b x y x r y r f x y 3x 2y 1 4x 3y 1 1 求a中元素 1 2 的象 2 求b中元素 1 2 的原象 分析 1 根据映射的定义 把 1 2 代入对应法则即可得象 2 根据映射的定义 利用解方程组的方法求其原象 解 1 当x 1 y 2时 3x 2y 1 0 4x 3y 1 9 故a中元素 1 2 的象为 0 9 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟解决象与原象问题的关键是紧扣定义 具体地说 就是若已知a中的元素a 即原象a 求b中与之对应的元素b 即象b 这时只要将元素a代入对应法则f求解即可 若已知b中的元素b 即象b 求a中与之对应的元素a 即原象a 这时构造方程 组 进行求解即可 需注意解得的结果可能有多个 在求解过程中 要注意象和原象的区别和联系 探究一 探究二 探究三 思维辨析 构成映射个数问题 例3 1 集合a a b c b d e 则从a到b可以建立不同的映射个数为 a 5b 6c 8d 9 2 已知集合a a b b 1 0 1 从a到b的映射f a b满足f a f b 0 则这样的映射f a b的个数为 a 2b 3c 5d 8解析 1 用树状图写出所有的映射为 2 满足条件f a f b 0的情形有 1 1 0 1 1 0 0 0 0 共3个 即满足条件的映射有3个 答案 1 c 2 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 一般地 若a中有m个元素 b中有n个元素 则a b共有nm个不同的映射 2 含条件的映射个数的确定 解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件 要采用分类讨论的思想 利用列举法来解决 探究一 探究二 探究三 思维辨析 已知集合a 1 2 3 b 4 5 6 映射f a b满足1是4的一个原象 则符合条件的映射的个数为 a 27b 9c 8d 6解析 要完成题设条件所给的映射 主要是给集合a中的元素2 3找象 可分以下几类 1 4 2和3分别对应5 6中的一个 构成一一映射 有2个 1 4 2 3都对应4 有1个 1 2都对应4 3对应5 6中的一个 有2个 1 3都对应4 2对应5 6中的一个 有2个 1 4 2 3都对应5 有1个 1 4 2 3都对应6 有1个 综上所述 共有2 1 2 2 1 1 9个 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因对函数与映射的概念理解不清而致误 典例 下列对应f是从集合a到集合b的函数的是 1 a 1 2 3 b 7 8 9 f 1 f 2 7 f 3 8 2 a z b 1 1 n为奇数时 f n 1 n为偶数时 f n 1 3 a b 1 2 3 f x 2x 1 错解 1 2 3 均为集合a到b的函数 以上出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 错解中没有弄清a中的任意元素在b中都有唯一的元素与之对应 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 对于 1 集合a中的任何一个元素在b中都有唯一确定的象 同时集合a和b都是数集 可知对应关系f是集合a到集合b的函数 对于 2 对应关系f也是集合a到集合b的函数 对于 3 由于f 3 2 3 1 5 b 即集合a中的元素3在集合b中没有象 因此对应关系f不是集合a到集合b的函数 答案 1 2 防范措施对于判断能否构成映射或函数的问题 一定要紧扣定义 抓住 任意 唯一 这两个关键词 1 下列各图中表示的对应法则 其中是映射的个数为 a 4b 3c 2d 1答案 d 2 下列集合a b及其对应法则不能构成函数的是 a a b r f x x 1 b a b r f x c a 1 2 3 b 4 5 6 7 f x x 3d a x x 0 b 1 f x x0答案 b3 已知集合a和集合b的元素都属于n 映射f a b 若把集合a中的元素n映射到集合b中为元素n2 n 则在映射f下 象20的原象是 a 4b 5c 4或 5d 4或5解析 由题意知n2 n 20 解得n 4或n 5 舍去 答案 a4 已知a a b b c d e 则集合a到集合b的不同的映射f的个数为 答案 9 5 判断下列对应是不是从集合a到集合b的映射 其中哪些是一一映射 哪些是函数 为什么 1 a 1 2 3 4 b 3 4 5 6 7 8 9 对应关系f x 2x 1 2 a 平面内的圆 b 平面内的矩形 对应关系f 作圆的内接矩形 解 1 是映射 也是函数 但不是一一映射 因为数集a中的元素x按照对应关系f x 2x 1和数集b中的元素2x 1对应 所以这个对应是数集a到数集b的映射 也是函数