2014年强化班讲义一元函数微积分练习参考解答.doc

第一章 函数、极限与连续练习11.解：当时，从而；当时，从而；当时，从而。于是2.因为对任意大的正数，总存在点，使得，故在区间上是无界函数。练习21.解：法1（排除法，特例法）反例1：，排除（A）;反例2：，排除（B）；反例3：，排除（C）。法2（直接法）。练习31.解：原式。2.解：原式。练习41.解：由等价无穷小和重要极限可得原式。2.，原式。练习51.解：有理化可得原式。2.解：利用恒等变形及连续性（在处）可得原式。练习61.解：，由无穷小性质可得，。2.解：，。练习71.解：设，则，由夹挤准则可得：原式。2.解：法1（夹挤准则），当时，而，由夹逼准则可得；当时，而，由夹逼准则可得。综上可得，。法2（有界函数与无穷小积），其中（有界函数），。练习81. 解： 由，知与同号，以此类推，与同号，单调增加。，一般地，有上界。于是，由单调有界准则可得：收敛。设，则在关系式中求极限可得：，解得：。故。练习9解：，不存在。练习101.解：，。2.解：，且，。故。，又因为，解得，。从而，。练习111.解：函数是初等函数，其间断点是其分母为零的点：。，为函数的第一类间断点，且为跳跃间断点。，为函数的第二类间断点，且为无穷间断点。，为函数的第一类间断点，且为可去间断点。2.答案：选（B）。解： 进而可知为跳跃间断点，所以选（B）。练习12证：由题意知在上连续，在上存在最大值与最小值。，即。由介值定理可得：存在，使得。2.证：设，则在内连续，注意到，故由零点定理知：方程在，内各至少存在一个根，即方程至少有两个不同的实根。练习131.解： ，故曲线有垂直渐近线和。 ，曲线有斜渐近线。2.解：，为水平渐近线。第二章 一元函数微分学练习11.解：存在，。2.解：确定不可导点范围，的可能不可导点为和。 判断点处的可导性记，则连续，且，所以在处不可导。判断点处的可导性记，则连续，且，所以在处可导。练习21.解：由导数定义可得。2.解：由导数定义及复合函数求导法则可得，原式。练习3解：，。练习41.解：由取对数得，两边同时对求导，视为的函数，解得，于是。2.解：。练习51.解：，。练习61.解：当时，；当时，；当时， ，故在处不可导，即不存在。于是。评注：左右可导，函数未必可导，但一定连续。练习71.解：，。2.解：，。练习81.解：设切点为，则，解得，因此切点为和，且，进而所求的切线方程为和。2.解：对应于极坐标点的，直角坐标为。由参量函数求导可得，因此所求法线的直角坐标表示为。练习91.解：由微分公式与法则可得。2.解：。练习101.证：作辅助函数。则在上连续，且，由零点定理知：存在，使得。又在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知：存在，使得，即。练习111.解：分母用等价无穷小：；分子展成阶麦克劳林公式：，故原式。2.解：。练习121.解：。2.证：原式 。3.解：，所以。 练习13，。当时，取可得：，故。注：原题中“”改为“”。当时，。练习141.解：，当为偶数时，故，没有极值；当为奇数时，故，有极大值（也是最大值）。2.解：在方程两边对求导：， 令，得。将其代入原方程解得，且。在式两边对再求导： （1）将代入式，得，所以取极小值；（2）将代入式，得，所以取极大值。练习151.答案：选（B）。解：，在中取可得（分和两种情况讨论），为的极小值。2.答案：选（C）。解：，是曲线的拐点。练习161.解：定义域：；连续函数；在处不可导，其余点处均可导。且，。没有最大值与最小值。练习171.证：单调性法。注意到均为奇函数，故只需证明。设，则，故，从而，对任意，均有，即。2.证：最值法。设函数，转化为求在内的最大值。，故，即当时，。3.证：凹凸性法。，曲线在上为凹曲线，进而弦在曲线段的上方。又，故点和在曲线上，因此弦的方程为从而，对任意的，。练习181.解：定义域：。当时，水平渐近线为。在内单增，在内单减，极大值（也是最大值）。在为凸曲线，在内为凹曲线，为拐点。又曲线过点和，故的图形如右图。练习191.解：如图，当时，方程无实根；当及时，方程仅有一个实根；当时，方程有两个实根。2.解：原问题转化为与的交点问题。（1）讨论函数的单调性与极值（最值）：且，。（2）讨论方程根：当或时，原方程在有唯一根。练习201.解：，当时，经讨论，。第三章 一元函数积分学练习11.解：，。又，得，进而，所以为的一个原函数。2.解：两边同时对求导数得，故，解得。练习21.解：。2.解：。练习31.解：，。2.解：。练习41.解：（奇函数在对称区间上的定积分），（奇偶性，连续函数积分性质），。2.解：。练习51.解：定义域，且可导的偶函数，只需考虑上最值。，当时，驻点为。当时，；当时，。又由分部积分法可得：，当时，即；当时，即，比较可知：，。2.解：由，故当时，无穷小与相比是同阶不等价无穷小。练习61.解：由周期函数、奇偶函数积分性质可得：（被积函数是偶函数）（被积函数是周期为的周期函数）。2.解：，所以。练习71.证：令，则在上连续，在内可导，且，由罗尔定理可得：则至少存在一点，使得，即。2.证：换元，则，故。利用奇偶函数积分性质和上述结论可得。3.证：法1（单调性+拉格朗日中值定理）作辅助函数，则对任意的，其中。于是，从而，得证。法2（定积分可加性+中值定理）由定积分可加性可得，故原不等式转化为。由拉格朗日中值定理可得：存在点，使得，由知：。于是，得证。评注：特例就是例34。练习81.解：由广义牛顿莱布尼兹公式可得。 2.解： 3.解： ，收敛，发散。练