试验二 迭代与分形.doc

试验二 迭代与分形一、 实验目的与要求1 了解分形几何的基本情况；2 了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3 了解matlab软件中简单的程序结构；4 掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；二、 问题描述几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。如何描述这些复杂的自然形态？如何分析其内在的机理？这些就是分形几何学所面对和解决的问题。三、 问题分析在我们的世界上，存在着许多极不规则的复杂现象，比如：弯弯曲曲的海岸线、变化的云朵、宇宙中星系的分布、金融市场上价格的起伏图等，为了获得解释这些极端复杂现象的数学模型，我们需要认识其中蕴涵的特性，构造出相应的数学规则。曼德尔布罗特（Mandelbrot）在研究英国的海岸线形状等问题时，总结出自然界中很多现象从标度变换角度表现出对称性，他将这类集合称作自相似集，他发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。Mandelbrot将这类几何形体称为分形(fractal)，意思就是不规则的、分数的、支离破碎的，并对它们进行了系统的研究，创立了分形几何这一新的数学分支。Mandelbrot认为海岸、山峦、云彩和其他很多自然现象都具有分形的特性，因此可以说：分形是大自然的几何学。分形几何体一般来说都具有无限精细的自相似的层次结构，即局部与整体的相似性，图形的每一个局部都可以被看作是整体图形的一个缩小的复本。早在19世纪就已经出现了一些具有自相似特性的分形图形，比如：瑞典数学家科赫（von Koch）设计的类似雪花和岛屿边缘的一类曲线，即Koch曲线；英国植物学家布朗通过观察悬浮在水中的花粉的运动轨迹，提出来的布朗运动轨迹。分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套的层次结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是，简单的迭代过程，就是描述复杂的自然形态的有效方法。（Koch曲线）（布朗运动轨迹）四、 背景知识介绍1 分形几何的形成。分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（Mandelbrot）于1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托尔（Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的康托尔三分集。1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。2 分形几何体的维数。通常的几何体具有整数维，比如：一维的线段、二维的正方形、三维的立方体，维数就是几何体在“尺度”上的特征。对于分形中的几何对象，通常意义下的维数已经没有意义，比如Koch曲线（长度是无穷大，面积是零），用一维的“线段”去量，得数无穷大，“尺子”太小；用二维的“正方形”去量，得数为零，“尺子”又太大，因此需要定义分形自己的维数(分数维)。分形的维数目前有多种定义，我们这里介绍相似维数。设分形F是自相似的，即F由m个子集构成，每个子集放大c倍后同F一样，则定义F的维数为：,即。对于通常的几何对象，采用这种方式计算出来的维数，与传统的维数是一致的，比如对正方形，将它边长m等份，则相似形个数m2，每边长放大m倍后与原长相同，即c=m，显然d=2。人类肺的构造，从气管尖端成倍地反复分叉，是一种典型的分形，其分维数大约是2.17。3 什么是迭代。迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它可以产生非常复杂的行为。我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式。(1)图形迭代。给定初始图形F0，以及一个替换规则R,将R反复作用在初始图形F0上,产生一个图形序列：R（F0）F1，R（F1）F2，R（F2）F3，(2)函数迭代。给定初始值x0，以及一个函数f(x),将f(x)反复作用在初始值x0上，产生一个数列：f（x0）x1，f（x1）x2，f（x2）x3，4 plot函数介绍。plot是最重要最基本的二维曲线绘图指令，基本功能是画折线和曲线。基本调用格式如下：(1) plot(Y, LineSpec)。其中，Y一般是数组；而LineSpec是用来指定线型、色彩等的选项字符串，可省略。本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组元素的下标为横坐标，画出一条折线。当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。(2) plot(X,Y,s)。其中，X、Y一般是相同长度的数组。本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组X为横坐标，画出一条折线。当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。例1 x=-pi:pi/10:pi; y=tan(sin(x)-sin(tan(x); plot(x,y)5 Fill函数介绍。Fill的作用是颜色填满一个多边形区域，基本调用格式如下：fill(X,Y, ColorSpec)，其中X是围成多边形区域的横坐标，Y是竖坐标，通过ColorSpec指定颜色。在使用时注意：要保证绘图数据首尾重合，使得多边形封闭。另外，可以依靠图柄设置其它属性。例2 t=(1/16:1/8:1)*2*pi; x = sin(t); y = cos(t); fill(x,y,r)五、 实验过程本试验以迭代的方式，来体验生成分形图形的基本方法，并感受美丽的分形图案，从而对分形几何有一个直观的了解。1 科赫（Koch）曲线。Koch曲线是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则是：对一条线段，首先将它分成三等份，然后将中间的一份替换成以此为底边的等边三角形的另外两条边。无限次迭代下去，最终形成的曲线就是Koch曲线。具体的实现如下：图1 迭代1次 图2 迭代2次 图3 迭代5次下面计算Koch曲线的长度。初始线段长：1；迭代一次后共有4段，每段长：，增加的长：，总长：；以后每次迭代，总长度增加，即总长度是原来的倍；故经过n次迭代后，总长：。因此，Koch曲线的总长度是：无穷大。下面计算Koch曲线的维数。根据迭代的规律得到：相似形个数：m=4，边长放大倍数：c=3，故维数d=1.2619。因此，Koch曲线的维数介于1与2之间。具体计算如下：在Matlab中，可以编制一段代码来绘制Koch曲线的图形。以下的代码是绘制迭代k次的Koch曲线图形的一个函数，调用方式：plotkoch (2)，图像为图2；调用方式：plotkoch (5)，图像为图3。具体代码如下：function plotkoch(k) %显示迭代k次后的Koch曲线图p=0 0;10 0; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标n=1; %存放线段的数量，初始值为1A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3); %用于计算新的结点for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标 j=0; %以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中 for i=1:n %每条边计算一次 q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标 q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标 d=(q2-q1)/3; % j=j+1;r(j,:)=q1; %原起点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d; %新1点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; %新2点存入r j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; %新3点存入r end %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入r n=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中 p=r;q2; %重新装载本次迭代后的全部结点end%plot(p(:,1),p(:,2) %显示各结点的连线图axis equal %各坐标轴同比例2 谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯。Sierpinski地毯也是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则是：对一个正方形，首先将它分成九个小正方形，然后挖调中间的一个。无限次迭代下去，最终形成的图形就是Sierpinski地毯。具体的实现如下：图4 迭代1次 图5 迭代2次 图6 迭代4次下面计算Sierpinski地毯的面积。初始面积：1；迭代一次后减少的面积：，剩余；以后每次迭代，面积减少，剩余面积是原来的倍；故经过n次迭代后，剩余面积：。故Sierpinski地毯面积是：零。下面计算Sierpinski地毯的维数。根据迭代的规律得到：相似形个数：m=8，边长放大倍数：c=3，故维数d=1.8928。因此，Sierpinski地毯的维数介于1与2之间。具体计算如下：在Matlab中，可以编制一段代码来绘制Sierpinski地毯的图形。以下的代码是绘制迭代n次的Sierpinski地毯图形的一个函数，调用方式：plotSierpinski(2)，图像为图5；调用方式：plotSierpinski(4)，图像为图6。具体代码如下：function plotSierpinski(x,y,d,n); % x 为正方形的顶点的横坐标，可取0 （一个顶点代表一个小正方形）% y 为正方形的顶点的纵坐标，可取0% d 为初始正方形边长，可取1% n为迭代次数，可取4for p=1:n; %实现迭代过程,计算所有的顶点坐标 a1=; %保存迭代后所有顶点的x坐标 b1=; %保存迭代后所有顶点的y坐标%根据小正方形的顶点坐标，%计算迭代后形成的8个新的小正方形的顶点坐标 for q=1:length(x); %每个小正方形计算一次 x1=x(q)+0,d/3,2*d/3,0,2*d/3,0,d/3,2*d/3; %新的x坐标 y1=y(q)+0,0,0,d/3,d/3,2*d/3,2*d/3,2*d/3; %新的y坐标 a1=a1,x1; %所有顶点x坐标存入a1 b1=b1,y1; %所有顶点y坐标存入b1 end d=d/3; %迭代一次，边长缩小 x=a1; %全部的x坐标重新放入x y=b1; %全部的y坐标重新放入yend hold on %在同一个图形窗口显示for q=1:length(x); %用蓝色注满多边形区域 fill(x(q)+0,d,d,0,0,y(q)+0,0,d,d,0,b) %end hold off %axis off %不要坐标轴axis equal %各坐标轴同比例%不显示这些正方形的边界set(findobj(gcf,type,patch),edgecolor,none) 3 分形树木。分形树木是为了模拟自然界中树木花草的形状，其迭代方式与前面两个问题不同，主要原理是设定基本的绘图规则，然后让计算机根据这些规则进行反复跌代，最终生成分形图。下面介绍一种迭代规则：对一条线段，在它顶端左右两侧各画一条小线段。无限次迭代下去，最终形成的图形就象一棵树。具体的实现如下：在Matlab中，可以编制一段代码来绘制这个图形。以下代码可以采用调用方式：plottree(0,pi/2,1)。具体代码如下：function z,A= plottree(z,A,n); N=6; % 迭代次数 s=0.7; % scale Br=pi/10;-pi/10; % 偏转角 if nN % 超出迭代次数returnend k=1; if n=1; % 第1次，画主干 plot(z,z+exp(i*A),linewidth,3/N*(N-n+1); hold on z=z+exp(i*A); z,A= plottree(z,A,n+1); % 第2次，画分支 else while k3 % k1画左支,k=2画又支 A=A+Br(k); leng=s(n-1); plot(z,z+leng*exp(i*A),linewidth,3/N*(N-n+1); z=z+leng*exp(i*A); z,A= plottree(z,A,n+1); % 第n+1次，画分支 A=A+pi; z=z+leng*exp(i*A); A=A+pi-Br(k); k=k+1; end end 六、 结论与应用在以上的试验中，我们体验了通过图形迭代方式产生分形图的过程，迭代的规则非常简单，产生的结果却异常奇妙，并且这些图形很好地反映出了分形所具有的自相似的层次结构。下面再简单介绍其它分形图以及分形的应用。1 函数迭代。针对由函数迭代产生的序列：它的有界性与既C有关，也与初始值Z0有关。固定Z0，考虑使得迭代序列有界的所有C的集合。为了分析C的分布，将此集在复平面上画出来，Mandelbrot发现它是一种分形图，称为Mandelbrot集。再固定C，考虑使得迭代序列有界的所有Z0的集合，其图形也是分形图，称为Julia集。Mandelbrot集） （Julia集）2 L系统。L系统由美国科学家Lin