高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课件2 新人教A版选修11.ppt

3 4生活中的优化问题举例 一 如何判断函数的单调性 f x 为增函数 f x 为减函数 设函数y f x 在某个区间内可导 二 如何求函数的极值与最值 求函数极值的一般步骤 3 求f x 0的根 4 列表 5 判断 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求函数f x 在区间 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 从而确定函数的最值 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习 知道 导数是求函数最大 小 值的有力工具 本节我们运用导数 解决一些生活中的优化问题 1 了解导数在实际问题中的应用 2 对给出的实际问题 如使利润最大 效率最高 用料最省等问题 体会导数在解决实际问题中的作用 3 利用导数知识解决实际中的最优化问题 重点 4 将实际问题转化为数学问题 建立函数模型 难点 探究点1海报版面尺寸的设计 例1 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 因此 x 16是函数s x 的极小值点 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 解法二 由解法一得 2 在实际应用题目中 若函数f x 在定义域内只有一个极值点x0 则不需与端点比较 f x0 即是所求的最大值或最小值 1 设出变量找出函数关系式 确定出定义域 所得结果符合问题的实际意义 所说区间的也适用于开区间或无穷区间 提升总结 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四个角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转90 再焊接而成 如图 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 即时训练 解答 设容器的高为xcm 容器的容积为v x cm3 则v x x 90 2x 48 2x 4x3 276x2 4320 x 0 x 24 v x 12x2 552x 4320 12 x2 46x 360 12 x 10 x 36 0 x 24 令v x 0 得x1 10 x2 36 舍去 解题关键 直接列出体积关于高的函数解析式 再利用导数求解 当00 v x 是增函数 当10 x 24时 v x 0 v x 是减函数 因此 在定义域 0 24 内 只有当x 10时函数v x 取得最大值 其最大值为v 10 10 90 20 48 20 19600 cm3 故当容器的高为10cm时 容器的容积最大 最大容积是19600cm3 规律总结 与面积 容 体 积有关最值问题的解决策略解决面积 容积 体积 的最值问题 要正确引入变量 将面积或容积 体积 表示为变量的函数 结合实际问题的定义域 利用导数求解函数的最值 探究点2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品 若它们的价格如下表所示 则 1 对消费者而言 选择哪一种更合算呢 2 对制造商而言 哪一种的利润更大 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位 cm 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 问题 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润为 减函数 增函数 1 07p 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为2cm时 利润最小 这时f 2 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 2 半径为6cm时 利润最大 因此 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 从图中 你还能看出什么吗 当0 r 3时 利润为负值 当r 3时 利润为零 当r 3时 利润为正值 并随着瓶子半径的增大利润也相应增大 规律总结 求解利润最大问题的两个注意点 1 注意定义域 在求解利润最大问题时 一定要注意所列函数的定义域 并且能够正确列出函数的解析式 这是求解利润最大问题的前提 2 实际联系 在求解利润最大问题时 一定要注意所得的结果是否和现实情况相符合 因此 在求得结果之后 要进行检验 已知某厂每天生产x件产品的总成本为 若受到产能影响 该厂每天至多只能生产800件产品 则要使平均成本最低 每天应生产多少件产品呢 解析 设平均成本为y元 每天生产x件产品 则 即时训练 因为函数在 0 1000 上是减函数又因为0 x 1000有意义 即当x 800时 y取最小值 例3 磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上 磁盘是带有磁性介质的圆盘 并有操作系统将其格式化成磁道和扇区 磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道 扇区是指被圆心角分割所成的扇形区域 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元 根据其磁化与否可分别记录数据0或1 这个基本单元通常被称为比特 bit 为了保障磁盘的分辨率 磁道之间的宽度必须大于m 每比特所占用的磁道长度不得小于n 为了数据检索便利 磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数 问题 现有一张半径为r的磁盘 它的存储区是半径介于r与r之间的环形区域 是不是r越小 磁盘的存储量越大 r为多少时 磁盘具有最大存储量 最外面的磁道不存储任何信息 解 由题意知 存储量 磁道数 每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与r之间 由于磁道之间的宽度必须大于m 且最外面的磁道不存储任何信息 故磁道数最多可达 由于每条磁道上的比特数相同 为获得最大存储量 最内一条磁道必须装满 即每条磁道上的比特数可达 所以磁盘总存储量 1 它是一个关于r的二次函数 从函数解析式上可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大 2 为求的最大值 计算令 解得当时 当时 因此时 磁盘具有最大存储量 此时最大存储量为 已知某厂生产x件产品的成本为c 5000 200 x x2 元 若产品以每件500元售出 要使利润最大 应生产产品件 即时训练 解题关键 根据题意 直接列出利润的函数关系式 再求利润函数的导数 利用导数求解 自主解答 利润f x 500 x 5000 200 x x2 x2 300 x 5000 f x x 300 0 解得x 6000 当x0 当x 6000时 f x 0 所以 当x 6000时 利润最大 答案 6000 解决优化问题的方法之一 通过搜集大量的统计数据 建立与其相应的数学模型 再通过研究相应函数的性质 提出优化方案 使问题得到解决 在这个过程中 导数往往是一个有利的工具 其基本思路如以下流程图所示 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 1 函数f x x3 3bx 3b在 0 1 内有极小值 则 a 00d b a 2 已知圆柱的表面积为定值s 求当圆柱的容积v最大时圆柱的高h的值 解析 设圆柱的底面半径为r 高为h 则s圆柱底 2 r2 s圆柱侧 2 rh d 答 每月生产200吨产品时利润达到最大 最大利润为315万元 点评 建立数学模型后 注意找准函数的定义域 这是此类题解答过程中极易出错的地方 5 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 解 设箱高为xcm 则箱底边长为 60 2x cm 则得箱子容积v是x的函数 v x 60 2x 2 x 00 当10 x 30时 v x 0 所以当x 10时 v x 取极大值 这个极大值就是v x 的最大值v 10 16000 cm3 答 当箱子的高为10cm 底面边长为40cm时 箱子的体积最大 最大容积为16000cm3 点评 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值 不必再与端点的函数值进行比较 1 解决优化问题的基本思路 优化问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2 导数在实际生活中的应用方向 主要是解决有关函数最大值 最小值的实际问题 主要有以下几个方面 1 与几何有关的最值问题 2 与物理学有关的最值问题 3 与利