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常考问题20矩阵与变换 1求使等式m成立的矩阵m.解设m，则m，则即m.2(2011江苏卷)已知矩阵a，向量.求向量，使得a2.解a2，设，由a2得，从而，解得所以.3(2013南京，盐城模拟)已知矩阵m.(1)求矩阵m的逆矩阵；(2)求矩阵m的特征值及特征向量解(1)设m1.则，解得m1.(2)矩阵a的特征多项式为f(x)(2)(4)3265，令f()0，得矩阵m的特征值为1或5，当1时，由二元一次方程得xy0，令x1，则y1，所以特征值1对应的特征向量为1；当5时，由二元一次方程得3xy0，令x1，则y3，所以特征值5对应的特征向量为2.4已知矩阵a，a的一个特征值2，其对应的特征向量是1.设向量，试计算a5的值解由题设条件可得，2，即解得得矩阵a.矩阵a的特征多项式为f()256，令f()0，解得12，23.当12时，得1；当23时，得2，由m1n2，得得m3，n1，a5a5(312)3(a51)a523(1)2325355(2010江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,0)，b(2,0)，c(2,1)设k为非零实数，矩阵m，n，点a、b、c在矩阵mn对应的变换下得到点分别为a1、b1、c1，a1b1c1的面积是abc面积的2倍，求k的值解由题设得，mn，由，可知a1(0,0)、b1(0，2)、c1(k，2)计算得abc的面积是1，a1b1c1的面积是|k|，则由题设知：|k|212.所以k的值为2或2.6设m是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换(1)求矩阵m的特征值及相应的特征向量；(2)求逆矩阵m1以及椭圆1在m1的作用下的新曲线的方程解由题意m，(1)由|me|0得，12，23，当12，y0，取x1；当23，x0，取y1.所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量，特征值3对应的特征向量.(2)由逆矩阵公式得：m1，设p(x0，y0)是椭圆1上任意一点p在
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