【导与练】高考数学 试题汇编 第四节 直线、平面垂直的判定与性质 文（含解析）.doc

第四节直线、平面垂直的判定与性质 与垂直相关的命题的判定考向聚焦高考的常考内容,常将定义、判定和性质结合起来,与线面平行相关知识命制试题,有时结合命题的真假判定或充要条件综合命题,考查学生对线面平行与垂直的判定定理及性质的理解,一般以选择题、填空题形式出现,难度中档以下,所占分值45分1.(2011年大纲全国卷,文8)已知直二面角l,点a,acl,c为垂足,点b,bdl,d为垂足,若ab=2,ac=bd=1,则cd等于()(a)2(b)3(c)2(d)1解析:如图,acl,ad2=ac2+cd2.又bdl,=l,bd,bdad,ab2=ad2+bd2.ab2=ac2+cd2+bd2,22=12+cd2+12,cd2=2,cd=2.故选c.答案:c.2.(2010年山东卷,文4)在空间,下列命题正确的是()(a)平行直线的平行投影重合(b)平行于同一直线的两个平面平行(c)垂直于同一平面的两个平面平行(d)垂直于同一平面的两条直线平行解析:a选项中平行直线的平行投影也可能是平行的;b选项中的两个平面也可以相交;c选项中的两个平面也可以相交.故选d.答案:d.3.(2012年全国大纲卷,文19,12分)如图,四棱锥pabcd中,底面abcd为菱形,pa底面abcd,ac=22,pa=2,e是pc上的一点,pe=2ec.(1)证明:pc平面bed;(2)设二面角apbc为90,求pd与平面pbc所成角的大小.解:(1)因为底面abcd为菱形,所以bdac,又pa底面abcd,所以pcbd.设acbd=f,连结ef.因为ac=22,pa=2,pe=2ec,故pc=23,ec=233,fc=2,从而pcfc=6,acec=6.因为pcfc=acec,fce=pca,所以fcepca,fec=pac=90,由此知pcef.pc与平面bed内两条相交直线bd,ef都垂直,所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb,g为垂足.因为二面角apbc为90,所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbc=pb,故ag平面pbc,agbc.bc与平面pab内两条相交直线pa,ag都垂直,故bc平面pab,于是bcab,所以底面abcd为正方形,ad=2,pd=pa2+ad2=22.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc,且ad平面pbc,bc平面pbc,故ad平面pbc,故a、d两点到平面pbc的距离相等,即d=ag=2.设pd与平面pbc所成的角为,则sin =dpd=12.所以pd与平面pbc所成的角为30.4.(2012年湖南卷,文19,12分)如图,在四棱锥pabcd中,pa平面abcd,底面abcd是等腰梯形,adbc,acbd.(1)证明:bdpc;(2)若ad=4,bc=2,直线pd与平面pac所成的角为30,求四棱锥pabcd的体积.解:(1)因为pa平面abcd,bd平面abcd,所以pabd.又acbd,pa,ac是平面pac内的两条相交直线,所以bd平面pac.而pc平面pac,所以bdpc.(2)设ac和bd相交于点o,连结po,由(1)知,bd平面pac,所以dpo是直线pd和平面pac所成的角.从而dpo=30.由bd平面pac,po平面pac知,bdpo.在rtpod中,由dpo=30,得pd=2od.因为四边形abcd为等腰梯形,acbd,所以aod,boc均为等腰直角三角形.从而梯形abcd的高为12ad+12bc=12(4+2)=3.于是梯形abcd的面积s=12(4+2)3=9.在等腰直角三角形aod中,od=22ad=22,所以pd=2od=42,pa=pd2-ad2=4.故四棱锥pabcd的体积为v=13spa=1394=12.5.(2012年安徽卷,文19,12分)如图,长方体abcda1b1c1d1中,底面a1b1c1d1是正方形,o是bd的中点,e是棱aa1上任意一点.(1)证明:bdec1;(2)如果ab=2,ae=2,oeec1,求aa1的长.(1)证明:连接ac,a1c1.由底面是正方形知,bdac.因为aa1平面abcd,bc平面abcd,所以aa1bd.又由aa1ac=a,所以bd平面aa1c1c.再由ec1平面aa1c1c知,bdec1.(2)解:设aa1的长为h,连接oc1.在rtoae中,ae=2,ao=2,故oe2=(2)2+(2)2=4.在rtea1c1中,a1e=h-2,a1c1=22,故ec12=(h-2)2+(22)2.在rtocc1中,oc=2,cc1=h,oc12=h2+(2)2.因为oeec1,所以oe2+ec12=oc12,即4+(h-2)2+(22)2=h2+(2)2,解得h=32,所以aa1的长为32.与垂直相关的问题的证明考向聚焦高考的必考内容,常以棱柱、棱锥为载体,考查学生对线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用,主要题型有(1)线线垂直的证明;(2)线面垂直的证明;(3)面面垂直的证明.常以解答题形式出现,难度中档,所占分值48分备考指津注意线线垂直线面垂直面面垂直的转化思想的训练,及推理论证能力的培养6.(2012年北京卷,文16,14分)如图(1),在rtabc中,c=90,d、e分别为ac、ab的中点,点f为线段cd上的一点,将ade沿de折起到a1de的位置,使a1fcd,如图(2).(1)求证:de平面a1cb;(2)求证:a1fbe;(3)线段a1b上是否存在点q,使a1c平面deq?说明理由.证明:(1)在图(1)中,d,e分别为ac,ab的中点,debc.折起后在图(2)中,debc不变,又bc平面a1cb,de平面a1cb,de平面a1cb.(2)在图(1)中,debc,acbc,deac,即dead,dedc.折起后在图(2)中,dea1d,dedc不变.又a1ddc=d,且a1d,dc平面a1cd,de平面a1cd.又a1f平面a1cd,dea1f.又a1fcd,cdde=d,cd,de平面bcde,a1f平面bcde.be平面bcde,a1fbe.(3)线段a1b上存在点q,使a1c平面deq.证明:如图,分别取a1c,a1b的中点p,q,则pqbc.又debc,depq,平面deq即为平面dep.由(2)知,de平面a1dc,dea1c.又p是等腰三角形da1c底边a1c的中点,a1cpd,a1c平面dep.a1c平面deq.线段a1b上存在点q,使a1c平面deq.7.(2012年江西卷,文19,12分)如图,在梯形abcd中,abcd,e,f是线段ab上的两点,且deab,cfab,ab=12,ad=5,bc=42,de=4.现将ade,cfb分别沿de,cf折起,使a,b两点重合于点g,得到多面体cdefg.(1)求证:平面deg平面cfg;(2)求多面体cdefg的体积.(1)证明:因为cdef,deef,cfef,所以四边形cdef为矩形,由gd=5,de=4,得ge=gd2-de2=3,由gc=42,cf=4,得fg=gc2-cf2=4,所以ef=5,在efg中,有ef2=ge2+fg2,所以eggf,又因为cfef,cffg,effg=f,所以cf平面efg,所以cfeg,而gfcf=f,所以eg平面cfg,而eg平面deg,即平面deg平面cfg;(2)解:在平面egf中,过点g作ghef于点h,则gh=eggfef=125.因为平面cdef平面efg,得gh平面cdef,vcdefg=13scdefgh=16.8.(2012年广东卷,文18,13分)如图所示,在四棱锥pabcd中,ab平面pad,abcd,pd=ad,e是pb的中点,f是dc上的点且df=12ab,ph为pad中ad边上的高.(1)证明:ph平面abcd;(2)若ph=1,ad=2,fc=1,求三棱锥ebcf的体积;(3)证明:ef平面pab.(1)证明:ab平面pad,ab平面abcd,平面pad平面abcd,又平面pad平面abcd=ad,ph平面pad,phad,ph平面abcd.(2)解:由(1)知ph=1即为点p到平面abcd的距离,由e为pb中点知点e到平面bcf的距离为12,根据题意,四边形abcd为直角梯形.sbcf=12fcad=1212=22,vebcf=13sbcf12=132212=212.(3)证明:由图所示取pa中点g,连接eg、gd,易知ge12ab,已知df12ab,gedf,故四边形efdg为平行四边形,efgd.由ab平面pad,dg平面pad,得abgd.由g为pa中点,dp=ad知gdpa,又abpa=a,gd平面pab.又efgd,故ef平面pab.9.(2012年浙江卷,文20,15分)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱abcda1b1c1d1中,adbc,adab,ab=2,ad=2,bc=4,aa1=2,e是dd1的中点,f是平面b1c1e与直线aa1的交点.(1)证明:efa1d1;ba1平面b1c1ef;(2)求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值.解:(1)因为c1b1a1d1,c1b1平面add1a1,所以c1b1平面a1d1da.又因为平面b1c1ef平面a1d1da=ef,所以c1b1ef,所以a1d1ef.因为bb1平面a1b1c1d1,所以bb1b1c1.又因为b1c1b1a1,所以b1c1平面abb1a所以b1c1ba1.在矩形abb1a1中,f是aa1的中点,tan a1b1f=tan aa1b=22,即a1b1f=aa1b,故ba1b1f.所以ba1平面b1c1ef.(2)设ba1与b1f交点为h,连结c1h.由(1)知ba1平面b1c1ef,所以bc1h是bc1与平面b1c1ef所成的角.在矩形aa1b1b中,ab=2,aa1=2,得bh=46,在rtbh1c中,bc1=25.bh=46,得sin bc1h=bhbc1=3015.所以bc1与平面b1c1ef所成角的正弦值是3015. 本题在证明线线平行的过程中应用了线面平行的性质定理,考法新颖,独特;题目简单,但是考查了学生的逆向思维能力.10.(2012年陕西卷,文18,12分)直三棱柱abca1b1c1中,ab=aa1,cab=2.(1)证明:cb1ba1;(2)已知ab=2,bc=5,求三棱锥c1aba1的体积.(1)证明:如图,连接ab1,ac1,bc1,由直三棱柱可知cab=90,ac平面abb1a1,acba1,又ab=aa1,四边形abb1a1为正方形,ba1ab1,caab1=a,ba1平面cab1,cb1ba1.(2)解:ab=aa1=2,bc=5,ac=a1c1=1,又a1c1平面aba1,vc1aba1=13saba1a1c1=1321=23.11.(2012年湖北卷,文19,12分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台a1b1c1d1abcd,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱abcda2b2c2d2.(1)证明:直线b1d1平面acc2a2;(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知ab=10,a1b1=20,aa2=30,aa1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元.需加工处理费多少元?解:(1)因为四棱柱abcda2b2c2d2的侧面是全等的矩形,所以aa2ab,aa2ad.又因为abad=a,所以aa2平面abcd.连接bd,因为bd平面abcd,所以aa2bd.因为底面abcd是正方形,所以acbd.根据棱台的定义可知,bd与b1d1共面.又已知平面abcd平面a1b1c1d1,且平面bb1d1d平面abcd=bd,平面bb1d1d平面a1b1c1d1=b1d1,所以b1d1bd.于是由aa2bd,acbd,b1d1bd,可得aa2b1d1,acb1d1.又因为aa2ac=a,所以b1d1平面acc2a2.(2)因为四棱柱abcda2b2c2d2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以s1=s四棱柱上底面+s四棱柱侧面=(a2b2)2+4abaa2=102+41030=1300(cm2).又因为四棱台a1b1c1d1abcd的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,设侧面高为h,所以s2=s四棱台下底面+s四棱台侧面=(a1b1)2+412(ab+a1b1)h=202+412(10+20)132-12(20-10)2=1120(cm2).于是该实心零部件的表面积为s=s1+s2=1300+1120=2420(cm2),故所需加工处理费为0.2s=0.22420=484(元).12.(2012年新课标全国卷,文19,12分)如图,三棱柱abca1b1c1中,侧棱垂直底面,acb=90,ac=bc=12aa1,d是棱aa1的中点.(1)证明:平面bdc1平面bdc;(2)平面bdc1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题意bccc1,bcac,cc1ac=c,所以bc平面acc1a1,又dc1平面acc1a1,所以dc1bc.由a1dc1=adc=45,所以cdc1=90,即dc1dc.又bcdc=c,所以dc1平面bdc.又dc1平面bdc1,故平面bdc1平面bdc.(2)解:设棱锥bdacc1的体积为v1,ac=1,则bc=1,aa1=2.由题意得v1=131+2211=12.又三棱柱abca1b1c1的体积v=12112=1,所以(v-v1)v1=11.故平面bdc1分此棱柱所得两部分体积的比为11.13.(2011年全国新课标卷,文18)如图,四棱锥pabcd中,底面abcd为平行四边形,dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.(1)证明:pabd;(2)设pd=ad=1,求棱锥dpbc的高.(1)证明:dab=60,ab=2ad.由余弦定理得bd=3ad,bd2+ad2=ab2,故bdad.又pd底面abcd,可得bdpd.又adpd=d,所以bd平面pad,pa平面pad,pabd.(2)解:作depb,垂足为e.已知pd底面abcd,则pdbc.由(1)知bdad,又bcad,所以bcbd.故bc平面pbd,bcde,则de平面pbc,由题设知pd=1,则bd=3,pb=2.由depb=pdbd得de=32.即棱锥dpbc的高为32.14.(2011年陕西卷,文16)如图,在abc中,abc=45,bac=90,ad是bc上的高,沿ad把abd折起,使bdc=90.(1)证明:平面adb平面bdc;(2)若bd=1,求三棱锥dabc的表面积.(1)证明:折起前ad是bc边上的高,当abd折起后,addc,addb,又dbdc=d,ad平面bdc,ad平面abd,平面abd平面bdc.(2)解:由(1)知,dadb,dbdc,dcda,由题得db=da=dc=1,ab=bc=ca=2,从而sdab=sdbc=sdca=1211=12,sabc=1222sin 60=32,所以三棱锥dabc的表面积s=123+32=3+32.15.(2011年福建卷,文20)如图,四棱锥pabcd中,pa底面abcd,abad,点e在线段ad上,且ceab.(1)求证:ce平面pad;(2)若pa=ab=1,ad=3,cd=2,cda=45,求四棱锥pabcd的体积.(1)证明:因为pa平面abcd,ce平面abcd,所以pace.因为abad,ceab,所以cead.又paad=a,所以ce平面pad.(2)解:由(1)可知cead.在rtecd中,de=cdcos 45=1,ce=cdsin 45=1.又因为ab=ce=1,abce,所以四边形abce为矩形.s四边形abcd=s矩形abce+secd=abae+12cede=12+1211=52,又pa平面abcd,pa=1,v四棱锥pabcd=13s四边形abcdpa=13521=56.16.(2011年江西卷,文18)如图,在abc中,b=2,ab=bc=2,p为ab边上一动点,pdbc交ac于点d,现将pda沿pd翻折至pda,使平面pda平面pbcd.(1)当棱锥apbcd的体积最大时,求pa的长;(2)若点p为ab的中点,e为ac的中点,求证:abde.(1)解:令pa=x(0x0,f(x)单调递增,当x(233,2)时,f(x)0,f(x)单调递减.所以当x=233时,f(x)取得最大值,即当vapbcd最大时,pa=233.(2)证明:设f为ab的中点,连接pf、fe,则有ef12bc,pd12bc,efpd,四边形efpd为平行四边形,所以depf,又ap=pb,所以pfab,故deab.17.(2011年广东卷,文18)如图所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的,a,a,b,b分别为cd,cd,de,de的中点,o1,o1,o2,o2分别为cd,cd,de,de的中点.(1)证明:o1,a,o2,b四点共面;(2)设g为aa中点,延长ao1到h,使得o1h=ao1,证明:bo2平面hbg.证明:(1)由平移知o1abo2,又bo2bo2,o1abo2,o1,a,o2,b四点共面.(2)连接ao1并延长到h,则ao1=o1h,连接ho1,hh,bo2,hb,o2o2.hbo1o2,四边形bho1o2为平行四边形,bo2ho1,o1o2bo2,o1o2bb,bbbo2=b,o1o2平面bbo2o2,又o1o2hb,hb平面bbo2o2,hbbo2,又hh=ah=2,四边形ahha为正方形,g为aa中点,o1为ha中点,hho1ahg,hho1=ahg,又ho1h+hho1=90,ho1h+ahg=90,ho1hg,bo2hg,且hghb=h,bo2面hbg.18.(2010年安徽卷,文19)如图,在多面体abcdef中,四边形abcd是正方形,ab=2ef=2,efab,effb,bfc=90,bf=fc,h为bc的中点.(1)求证:fh平面edb;(2)求证:ac平面edb;(3)求四面体bdef的体积.(1)证明:设ac与bd交于点g,则g为ac的中点,连接eg,gh,由于h为bc的中点,故gh12ab.又ef12ab,efgh,四边形efhg为平行四边形,egfh,而eg平面edb,fh平面edb,fh平面edb.(2)证明:由四边形abcd为正方形,得abbc,又efab,efbc.而effb,fbbc=b,ef平面bfc,effh.abfh.又bf=fc,h为bc的中点,fhbc.又abbc=b,fh平面abcd.fhac.又fheg,aceg.又acbd,egbd=g,ac平面edb.(3)解:effb,bfc=90,bf平面cdef.bf为四面体bdef的高,又bc=ab=2,bf=fc=2,def的高cf=2,vbdef=1312122=13. 平行、垂直关系是立体几何的重要内容,考查基础知识的同时也考查空间想象能力与推理论证能力.本题中(3)def的高等于cf的长度,隐含到第(2)问ef平面bfc中;从而effc.空间角考向聚焦高考常考内容,主要考查(1)直线与平面所成的角;(2)二面角;考查学生寻找直线与平面所成的角及二面角的平面角的能力和作图方法及其计算能力、转化能力.一般在解答题中出现,难度中档或偏上,所占分值46分备考指津训练题型:(1)作直线与平面所成的角;(2)求二面角的平面角,注重作图能力及转化思想的训练19.(2010年大纲全国卷,文9)正方体abcda1b1c1d1中,bb1与平面acd1所成角的余弦值为()(a)23(b)33(c)23(d)63解析:如图,bb1dd1,bb1与平面acd1所成的角,即为dd1与平面acd1所成的角.连接bd交ac于o,连接od1,则ac平面dd1o,作dgod1,则有dgac,dg平面acd1.dd1o为dd1与平面acd1所成的角.设正方体的棱长为1,则do=22,d1o=1+12=62,cos dd1o=63.故选d.答案:d.20.(2012年天津卷,文17,13分)如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形,adpd,bc=1,pc=23,pd=cd=2.(1)求异面直线pa与bc所成角的正切值;(2)证明平面pdc平面abcd;(3)求直线pb与平面abcd所成角的正弦值.(1)解:如图,在四棱锥pabcd中,因为底面abcd是矩形,所以ad=bc且adbc,又因为adpd,故pad为异面直线pa与bc所成的角,在rtpda中,tanpad=pdad=2.所以,异面直线pa与bc所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面abcd是矩形,故adcd,又由于adpd,cdpd=d,因此ad平面pdc,而ad平面abcd,所以平面pdc平面abcd.(3)解:在平面pdc内,过点p作pecd交直线cd于点e,连接eb.由于平面pdc平面abcd,且直线cd是平面pdc与平面abcd的交线.故pe平面abcd.由此得pbe为直线pb与平面abcd所成的角.在pdc中,由于pd=cd=2,pc=23,可得pcd=30.在rtpec中,pe=pcsin 30=3.由adbc,ad平面pdc,得bc平面pdc,因此bcpc.在rtpcb中,pb=pc2+bc2=13.在rtpeb中,sinpbe=pepb=3913.所以直线pb与平面abcd所成角的正弦值为3913. 本小题考查异面直线所成的角,直线与平面所成的角及面面垂直等知识,对空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力都有较高的要求.21.(2011年天津卷,文17)如图,在四棱锥pabcd中,底面abcd为平行四边形,adc=45,ad=ac=1,o为ac的中点,po平面abcd,po=2,m为pd的中点.(1)证明:pb平面acm;(2)证明:ad平面pac;(3)求直线am与平面abcd所成角的正切值.(1)证明:连接bd,om,m,o分别为pd,bd的中点,ompb,又om平面acmpb平面acm,pb平面acm.(2)证明:po平面abcd,ad平面abcd,poad,又在adc中,ad=ac,adc=45.dac=90,即adac,而acpo=o,ad平面pac.(3)解:过m作mhbd于h,连接ha,po平面abcd,po平面pbd,平面pbd平面abcd,而mhbd,平面pbd平面abcd=bd,mh平面abcd,mah为直线am与平面abcd所成的角,而mh=12po=1,又ad=1,ao=12,do=52.在rtaod中,h为od中点,ah=12do=54,tanmah=mhah=154=455.am与平面abcd所成角的正切值为455.22.(2011年四川卷,文19)如图,在直三棱柱abca1b1c1中,bac=90,ab=ac=aa1=1,延长a1c1至点p,使c1p= a1c1,连接ap交棱cc1于点d.(1)求证:pb1平面bda1;(2)求二面角aa1db的平面角的余弦值.(1)证明:连接ab1,与ba1交于点o,连接od.c1daa1,a1c1=c1p,ad=pd.又ao=b1o,odpb1.又od平面bda1,pb1平面bda1,pb1平面bda1.(2)解:过a作aeda1于点e,连接be.baca,baaa1,且aa1ac=a,ba平面aa1c1c.a1d平面aa1c1c,bada1,baae=a,da1平面abe,beda1,bea为二面角aa1db的平面角.在rta1c1d中,a1d=(12)2+12=52.又saa1d=1211=1252ae,ae=255.在rtbae中,be=12+(255)2=355,cosbea=aebe=23.故二面角aa1db的平面角的余弦值为23.23.(2010年浙江卷,文20)如图,在平行四边形abcd中,ab=2bc,abc=120,e为线段ab的中点,将ade沿直线de翻折成ade,使平面ade平面bcd,f为线段ac的中点.(1)求证:bf平面ade;(2)设m为线段de的中点,求直线fm与平面ade所成角的余弦值.(1)证明:取ad的中点g,连接gf,ge,由条件易知fgcd,fg=12cd.becd,be=12cd.所以fgbe,fg=be.故四边形begf为平