高考数学 课后作业 86 抛物线 新人教A版.docVIP

2013高考数学人教a版课后作业1.动点p到直线xy40的距离等于它到点m(2,2)的距离，则点p的轨迹是()a直线b抛物线c椭圆 d双曲线答案a解析m(2,2)在直线xy40上，而|pm|即为p到直线xy40的距离动点p的轨迹为过点m垂直于直线xy40的直线故选a.2(文)(2011温州模拟)已知d为抛物线y2px2(p0)的焦点到准线的距离，则pd等于()a.p2 bp2c. d. 答案d解析抛物线方程可化为x2y，d，则pd，故选d.(理)(2011湖南湘西联考)设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是()a4b6c8d12答案b解析抛物线y28x的焦点为f(2,0)，准线方程为x2.由已知得点p到准线的距离为6，所以点p到焦点的距离是6.3(文)(2011陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()ay28x by24xcy28x dy24x答案c解析由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，抛物线方程为y28x.故选c.(理)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a2 b3c. d. 答案a解析直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，p到l1的距离等于p到抛物线的焦点f(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点p，使得p到点f(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为f(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2，故选a.4(2010福建福州)若抛物线y24x的焦点是f，准线是l，则经过点f、m(4,4)且与l相切的圆共有()a0个 b1个c2个 d3个答案c解析经过f、m的圆的圆心在线段fm的垂直平分线上，设圆心为c，则|cf|cm|，又圆c与l相切，所以c到l距离等于|cf|，从而c在抛物线y24x上故圆心为fm的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆5(2011石家庄模拟)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为a、b、c、d，则的值为()a16 b.c4 d.答案b解析由得x23x40，xa1，xd4，ya，yd4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点f(0,1)|af|ya1，|df|yd15，.故选b.6(2011茂名一模)直线yx3与抛物线y24x交于a、b两点，过a、b两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为p、q，则梯形apqb的面积为()a48 b56c64 d72答案a解析由题意不妨设a在第一象限，联立yx3和y24x可得a(9,6)，b(1，2)，而抛物线的准线方程是x1，所以|ap|10，|qb|2，|pq|8，故s梯形apqb(|ap|qb|)|pq|48，故选a.7(2011烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是_米答案4解析建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为a，由题意可知a(4，2)，故可求得抛物线的方程为yx2，设水面上升后交点为b，则点b的纵坐标为，代入抛物线方程yx2可求出b点的横坐标为2，所以水面宽为4米8(文)(2010延边州质检)抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_答案y24x解析由c2945得f(，0)，抛物线方程为y24x.(理)若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.答案2解析设弦两端点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则，两式相减得，2，y1y22，p2.1.(文)抛物线y28x上的点(x0，y0)到抛物线焦点的距离为3，则|y0|()a. b2c2 d4答案b解析设点a(x0，y0)，过点a作aa1l(l为准线)，则|af|aa1|x023即x01，代入抛物线方程得|y0|2，故选b.(理)(2010福州市质检)已知p为抛物线y24x上一个动点，q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点p到点q的距离与点p到抛物线的准线距离之和的最小值是()a5 b8c.1 d.2答案c解析抛物线y24x的焦点为f(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为c(0,4)，设点p到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|pf|，|pq|d|pq|pf|(|pc|1)|pf|cf|11.2(文)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a.若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()ay24x by28xcy24x dy28x答案b解析由抛物线方程知焦点f，直线l方程为y2，与y轴交点a.soaf|oa|of|4.a264，a8.故y28x.故选b.(理)(2011山东文，9)设m(x0，y0)为抛物线c：x28y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是()a(0,2) b0,2c(2，) d2，)答案c解析设圆的半径为r，因为f(0,2)是圆心，抛物线c的准线方程y2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r4.又因为点m(x0，y0)为抛物线x28y上一点，所以有x8y0.又点m(x0，y0)在圆x2(y2)2r2上所以x(y02)2r216，所以8y0(y02)216，即有y4y0120，解得y02或y02.故选c.3(2011山东济宁一模)已知抛物线y22px(p0)上一点m(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为a，若双曲线的一条渐近线与直线am平行，则实数a的值是()a. b.c. d.答案b解析根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x4，则抛物线方程为y216x.把m(1，m)代入y216x得m4，即m(1,4)在双曲线y21中，a(，0)，则kam.解得a.4(文)(2011台州二检)已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，f关于原点的对称点为p，过f作x轴的垂线交抛物线于m、n两点，有下列四个命题：pmn必为直角三角形；pmn不一定为直角三角形；直线pm必与抛物线相切；直线pm不一定与抛物线相切其中正确的命题是()a bc d答案a解析因为|pf|mf|nf|，故fpmfmp，fpnfnp，从而可知mpn90，故正确，错误；令直线pm的方程为yx，代入抛物线方程可得y22pyp20，0，所以直线pm与抛物线相切，故正确，错误(理)(2011湖北文，4)将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()an0 bn1cn2 dn3答案c解析设抛物线上点a(，y1)，b(，y2)，且y1y2，焦点f(，0)，由|af|bf|得(yy) ()0，y1y2，y1y2.a、b关于x轴对称过点f作直线y(x)，y(x)分别与抛物线有2个交点等边三角形有afb和afb，2个，故选c.5(文)已知点a(2,0)、b(4,0)，动点p在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点p的坐标是_答案(0,0)解析设p，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点p的坐标为(0,0)(理)(2010泰安质检)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点a、b、c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则抛物线的方程是_答案y23x解析解法1：过a、b作准线垂线，垂足分别为a1，b1，则|aa1|3，|bb1|bf|，|bc|2|bf|，|bc|2|bb1|，|ac|2|aa1|2|af|6，|cf|3，p|cf|，抛物线方程为y23x.解法2：由抛物线定义，|bf|等于b到准线的距离，由|bc|2|bf|得bcm30，又|af|3，从而a在抛物线上，代入抛物线方程y22px，解得p.6(文)(2011韶关月考)已知动圆过定点f(0,2)，且与定直线l：y2相切(1)求动圆圆心的轨迹c的方程；(2)若ab是轨迹c的动弦，且ab过f(0,2)，分别以a、b为切点作轨迹c的切线，设两切线交点为q，证明：aqbq.解析(1)解：依题意，圆心的轨迹是以f(0,2)为焦点，l：y2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x28y.(2)证明：因为直线ab与x轴不垂直，设ab：ykx2.a(x1，y1)，b(x2，y2)由可得x28kx160，x1x28k，x1x216.抛物线方程为yx2，求导得yx.所以过抛物线上a、b两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.所以aqbq.(理)若椭圆c1：1(0b0)的焦点在椭圆c1的顶点上(1)求抛物线c2的方程；(2)若过m(1,0)的直线l与抛物线c2交于e、f两点，又过e、f作抛物线c2的切线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距c，由离心率e得，b21.椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，p2，抛物线的方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为yk(x1)，e(x1，y1)，f(x2，y2)，yx2，yx，切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，当l1l2时，x1x21，即x1x24，由得：x24kx4k0，由(4k)24(4k)0，解得k0.又x1x24k4，得k1.直线l的方程为yx1.7(文)(2011福建文，18)如图，直线l：yxb与抛物线c：x24y相切于点a.(1)求实数b的值；(2)求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程解析(1)由得x24x4b0(*)直线l与抛物线相切(4)24(4b)0b1(2)由(1)知b1，方程(*)为x24x40解得x2，代入x24y中得，y1，a(2,1)圆a与抛物线准线y1相切r|1(1)|2.所以圆a的方程为(x2)2(y1)24.(理)(2010揭阳市模考)已知点c(1,0)，点a、b是o：x2y29上任意两个不同的点，且满足0，设p为弦ab的中点(1)求点p的轨迹t的方程；(2)试探究在轨迹t上是否存在这样的点：它到直线x1的距离恰好等于到点c的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由解析(1)法一：连结cp，由0知，acbc，|cp|ap|bp|ab|，由垂径定理知|op|2|ap|2|oa|2，即|op|2|cp|29，设点p(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化简得，x2xy24.法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)，根据题意知，xy9，xy9,2xx1x2,2yy1y2，4x2x2x1x2x，4y2y2y1y2y故4x24y2(xy)(2x1x22y1y2)(xy)182(x1x2y1y2) 又0，(1x1，y1)(1x2，y2)0(1x1)(1x2)y1y20，故x1x2y1y2(x1x2)12x1，代入式得，4x24y2182(2x1)，化简得，x2xy24.(2)根据抛物线的定义，到直线x1的距离等于到点c(1,0)的距离的点都在抛物线y22px上，其中1，p2，故抛物线方程为y24x，由方程组得，x23x40，解得x11，x24，由于x0，故取x1，此时y2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2)1(2010黑龙江双鸭山质检)过抛物线yax2(a0)的焦点f作一直线交抛物线于a、b两点，若线段af、bf的长分别为m、n，则等于()a. b.c2a d.答案b解析特例法取通径ab，则mn，故.2设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()a. b2c. d.答案c解析双曲线的渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得x2x10，240b24a2，c2a24a2，c25a2，e，故选c.3已知抛物线y24x的焦点为f，准线与x轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且|nf|mn|，则nmf()a. b.c. d.答案a解析如图，过点n向准线引垂线，垂足为p