高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、解三角形 5.3 解三角形课件 理 新人教B版.ppt

5 3解三角形 高考理数 1 正弦定理 余弦定理 1 正弦定理在 abc中 2r r为 abc的外接圆半径 2 余弦定理a2 b2 c2 2bccosa b2 a2 c2 2accosb c2 a2 b2 2abcosc 推论 cosa cosb cosc 2 解三角形的类型 1 已知两角一边 用正弦定理 有解时 只有一解 知识清单 2 已知两边及其一边的对角 用正弦定理 有解的情况可分为以下几种 在 abc中 已知a b和角a 上表中 若a为锐角 当a bsina时 无解 若a为钝角 当a b a b时均无解 3 已知三边 用余弦定理 有解时 只有一解 4 已知两边及夹角 用余弦定理 必有一解 3 三角形的面积设 abc的三边为a b c 所对的三个角分别为a b c 其面积为s 1 s ah h为bc边上的高 2 s absinc acsinb bcsina 3 s 2r2sinasinbsinc r为 abc的外接圆半径 4 s r为 abc的外接圆半径 5 s 4 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角 目标视线在水平线上方的角叫仰角 目标视线在水平线下方的角叫俯角 如图a 2 方位角从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角 如点b的方位角为 如图b 知识拓展 判断三角形形状的基本思想 利用正 余弦定理进行边角的统一 即将条件化为只含角的关系式 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式 或将条件化为只含有边的关系式 然后利用常见的化简变形得出三边的关系 结论一般为特殊的三角形 如等边三角形 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形等 另外 在变形过程中要注意a b c的范围对三角函数值的影响 应熟练掌握正 余弦定理及其推论 解三角形时 可用正弦定理 也可用余弦定理 应注意用哪一个定理更方便 简捷 例1 2015东北三省四市教研联合体第一次模拟 17 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 且bsina acosb 1 求角b的大小 2 若b 3 sinc 2sina 求a c的值 解析 1 由bsina acosb及正弦定理 得sinb cosb 所以tanb 所以b 2 由sinc 2sina及 得c 2a 由b 3及b2 a2 c2 2accosb 突破方法 方法1正 余弦定理的应用 得9 a2 c2 ac 联立 可得a c 2 1 1 2015贵州六盘水第一次联考 17 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c asinasinb bcos2a a 1 求 2 若c2 b2 a2 求b 解析 1 由正弦定理得 sin2asinb sinbcos2a sina 即sinb sin2a cos2a sina 故sinb sina 所以 2 由余弦定理和c2 b2 a2 得cosb 由 1 知b2 2a2 故c2 2 a2 可得cos2b 又易知cosb 0 故cosb 所以b 45 1 灵活运用正 余弦定理实现边角转化 2 合理运用三角函数公式 如同角三角函数的基本关系 二倍角公式等 3 三角形的面积公式形式多样 选择合适的形式入手是顺利解题的关键 例2 2016皖南八校联考 8 5分 在 abc中 3 s abc 则b的取值范围是 a b c d 解题思路由已知及三角形面积公式得s abc tanb由s abc的范围得tanb b 解析由题意知ac cosb 3 方法2有关三角形面积问题的求解方法 所以ac s abc ac sinb sinb tanb 因为s abc 所以tanb 所以b 答案c2 1 2016北京丰台期末 已知在 abc中 ab bc 1 sinc cosc 则 abc的面积为 答案解析由sinc cosc得tanc 又c 0 所以c 根据正弦定理可得 2 所以sina 因为ab bc 所以a c 所以a 所以b 所以 abc为直角三角形 所以s abc 1 例3 2016安徽合肥三检 14 5分 如图 一栋建筑物ab的高为 30 10 m 在该建筑物的正东方向有一个通信塔cd 在它们之间的地面点m b m d三点共线 处测得楼顶a 塔顶c的仰角分别是15 和60 在楼顶a处测得塔顶c的仰角为30 则通信塔cd的高为m 解析如图 在rt abm中 am 20 m 又易知 man amb 15 所以 mac 30 15 45 又 amc 180 15 60 105 从而 方法3实际应用问题中的解三角形 acm 30 在 amc中 由正弦定理得 解得mc 40 m 在rt cmd中 cd 40 sin60 60 m 故通信塔cd的高为60m 答案603 1 2016东北三校联考 二 一艘船向正北方向航行 看见它的正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上 船继续航行半小时后 看见这两个灯塔中 一个灯塔在船的南偏西60 方向上 另一个灯塔在船的南偏西75 方向上 则这艘船的速度是每小时 a 5海里b 5海里c 10海里d 10海里 如图