数列的实际应用

2015年 8月 5日星期三 10时 34分 14秒 知识网络 数列的实际应用 等值增减利率增长率复习导引 1、解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列类型 (如等差数列、等比数列，或与等差、等比数列有关的数列 )，或准确定义问题中的数列 复习导引 2、求出数列的通项公式或建立递推公式： 如果问题所涉及的数列是特殊数列 (如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等 )应用首先建立数列的通项公式 如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推判断 (即 an与an1的关系 复习导引 3、解决数列的应用问题必须准确计算项数 (年数 )，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义 an是表示“第 n年”还是“ n年后” 考点练习 1、某种细菌在培养过程中，每 20分钟分裂一次 (一个分裂为两个 )，经过 3小时，这种细菌由 1个可繁殖成 ( ) A、 511个 B、 512个 C、 1023个 D、 1024个 考点练习 2、一弹性球从 100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的一半再落下，则第 10次着地时所经过的路程和为 ( ) A、 199.8米 B、 299.6米 C、 166.9米 D、 266.9米 考点练习 3、 1980年我国工农业总产值为 a千亿元，到 2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少应达到 ( ) A、 B、 C、 D、 12041 12021 12141 12121考点练习 4、设数列 an是首项为 50，公差为 2的等差数列， bn是首项为 10，公差为 4的等差数列，以 ak， bk为相邻两边的矩形内最大圆的面积记为 Sk，若 k21，那么Sk=( ) A、 (2k+1)2 B、 (2k+3)2 C、 (k+12)2 D、 (k+24)2 考点练习 5、根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n个月内累积的需求量Sn(万件 )近似地满足 Sn=(21nn2-5) (n=1， 2， ， 12)，按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5万件的月份是( ) A、 5月， 6月 B、 6月， 7月 C、 7月， 8月 D、 8月， 9月 考点练习 6、 1992年底世界人口达到 54.8亿，若人口的年平均增长率为 x， 2000年底世界人口数为 y(亿 )，那么 y与 x的函数关系式是 _ 典型题选讲 【 例 1】 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10万元，第一年便可获利 1万元，以后每年比前一年增加 30的利润；乙方案：每年贷款 1万元，第一年可获利 1万元，以后每年比前一年增加 5千元；两种方案的使用期都是 10年，到期一次性归还本息，若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ (取1.0510=1.629， 1.310=13.786，1.510=57.665) 典型题选讲 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列。 甲方案获得 :1+(1+30%)2+ （ 1+30%)9 = 42.63（万元） 银行贷款本息： 10(1+5%)1016.29（万元） 故甲方案纯利： 42.63-16.29=26.34（万元） 3.013.1 10 典型题选讲 解析： 乙方案获得： 1+（ 1+0.5） +（ 1+2 0.5）+ （ 1+9 0.5） =10 1+45 0.5=32.50（万元） 银行本息和： 1.05 1+(1+5%)+(1+5%)2+ （ 1+5%)9=1.05 13.21（万元） 故乙方案纯利： 32.50-13.21=19.29（万元）； 综上，甲方案更好。 05.0105.1 10 点评： 例 1是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只是建立通项公式并运用所学过的公式求解。 典型题选讲 【 例 2】 某地现在耕地 10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加 22，人均粮食占有量比现在提高 10，如果人口年增长率为 1，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？ (精确到 1公顷 ) (粮食单产 = 人均粮食占有量 = ) 耕地面积总产量总人口数总产量典型题选讲 解：在问题中，人口增长为等比数列，而土地减少成等差数列，设耕地每年至多只能减少 x公顷，且该地区现在人口 p，粮食单产为 M吨 /公顷。 10年后粮食单产 M（ 1+22%），耕地为 104-10x 人口为 p (1+10%)10据题意得 %)101(10%)101()1010(%221 4104pMpxM 1044 1 0 1 .1 1 0 .0 11 0 1 01 .2 2x 10 10331 . 1 1 0 . 0 1 551 0 1 1 0 1 1 0 . 0 11 . 2 2 6 1x 典型题选讲 1 0 1 2 21 0 1 0( 1 0. 01 ) 1 0. 01 0. 01 1. 10 455510 00 11 04 .5 4. 1 461CCxx Q得故每年至多只能减少耕地 4公顷。 点评 ：例 2是等差数列与等比数列的混合问题，只需要根据公式直接建立关系求解。 典型题选讲 【 例 3】 某鱼场 2000年初养的鱼，到第二年初重量增长率为 200，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的一半，由于某种原因，每年损失预计重量的 10，那么，到哪一年的年初鱼的重量开始减少？ 典型题选讲 解：鱼的重量是一个较复杂的数列，应建立相邻两年鱼重的递推关系。设从 2000年初开始计算 n年后的年初的鱼重为 an,2000年初养的鱼重为 a0，由条件知 : 219( 1 2 ) *10nnna a n N 21119( 1 2 ) 11091 ( 1 2 )10nnnnnnnaaaaa 设 最大，则典型题选讲 211129 1611298nn 24132222nn 4 6 5nn 2413nn 故到 2005年年初鱼的重量开始减少。 点评： 建立数列的递推关系是解决数列应用问题的重要方法，注意在例 3中，由于设了 2000年初养的鱼为 a0，则定义 an为 n年后的鱼的重量比较好。 典型题选讲 【 例 4】 某地区森林原有木材存量为 a，且每年增长率为 25，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 b，设为年后该地区森林木材的存量 an， （ 1）求 an的表达式； （ 2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每 年的森林木材存量不少于 ，如果 ，那 么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据： ） lg 2 0 .379a 1972ba典型题选讲 解：（ 1）设第一年的森林的木材存量为 a1，第 n年后的森林的木材存量为 an，则 115(1 )44a a b a b 2215 5 5( ) ( 1 )4 4 4a a b a b 32325 5 5 5( ) ( ) 1 4 4 4 4a a b a b LL12*5 5 5( ) ( ) ( ) 1 4 4 455( ) 4 ( ) 1 ( )44n n nnnnaaa b n N L典型题选讲 （ 2）当 时，有