高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第七章第7课时 立体几何中的向量方法课件.ppt

第7课时立体几何中的向量方法 基础梳理1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一 向量作为它的方向向量 非零 2 平面的法向量可利用方程组求出 设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 思考探究直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗 提示 不唯一 凡是在直线l上的非零向量或与l平行的非零向量都可以作为直线的方向向量 凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量 2 空间向量与空间角的关系 1 两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a b的方向向量分别为a b 其夹角为 则cos cos 其中 为异面直线a b所成的角 2 直线和平面所成角的求法如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos b 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 课前热身1 已知平面 内有一点m 1 1 2 平面 的一个法向量为n 6 3 6 则下列点p中 在平面 内的是 a p 2 3 3 b p 2 0 1 c p 4 4 0 d p 3 3 4 2 若直线l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120 则直线l与平面 所成的角等于 a 120 b 60 c 30 d 60 或30 解析 选c 由题意得直线l与平面 的法向量所在直线的夹角为60 直线l与平面 所成的角为90 60 30 3 从空间一点p向二面角 l 的两个面 分别作垂线pe pf 垂足分别为e f 若二面角 l 的大小为60 则 epf的大小为 解析 epf实质就是二面角的两个面的法向量的夹角 它与二面角的平面角相等或互补 答案 60 或120 4 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的中点 e f分别是cc1 ad的中点 那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于 解析 以d为原点 分别以da dc dd1为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd成30 的角 求证 1 cm 平面pad 2 平面pab 平面pad 证明 以c为坐标原点 cb所在直线为x轴 cd所在直线为y轴 cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系c xyz pc 平面abcd pbc为pb与平面abcd所成的角 pbc 30 题后感悟 1 用向量证明线面平行的方法有 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 2 用向量法证垂直问题 证明线线垂直 只需证明两直线的方向向量数量积为0 证明线面垂直 只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直 证明面面垂直 只需证明两平面的法向量的数量积为0 或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 备选例题 教师用书独具 如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 证明 平面pad 平面abcd且abcd为正方形 ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 变式训练1 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 求证 1 ae cd 2 pd 平面abe 证明 ab ad ap两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 设pa ab bc 1 则p 0 0 1 1 abc 60 abc为正三角形 2011 高考北京卷 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 ab 2 bad 60 1 求证 bd 平面pac 2 若pa ab 求pb与ac所成角的余弦值 3 当平面pbc与平面pdc垂直时 求pa的长 解 1 证明 因为四边形abcd是菱形 所以ac bd 又因为pa 平面abcd 所以pa bd 又pa ac a 所以bd 平面pac 备选例题 教师用书独具 如图 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 点e是正方形bcc1b1的中心 点f g分别是棱c1d1 aa1的中点 设点e1 g1分别是点e g在平面dcc1d1内的正投影 1 证明 直线fg1 平面fee1 2 求异面直线e1g1与ea所成角的正弦值 变式训练2 如图所示 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为a1d1和cc1的中点 1 求证 ef 平面acd1 2 求异面直线ef与ab所成角的余弦值 解 1 证明 如图所示 分别以da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系d xyz 由已知得d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 b1 2 2 2 d1 0 0 2 e 1 0 2 f 0 2 1 2011 高考大纲全国卷 如图 四棱锥s abcd中 ab cd bc cd 侧面sab为等边三角形 ab bc 2 cd sd 1 1 证明 sd 平面sab 2 求ab与平面sbc所成角的正弦值 解 以c为坐标原点 射线cd为x轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系c xyz 设d 1 0 0 则a 2 2 0 b 0 2 0 又设s x y z 则x 0 y 0 z 0 题后感悟 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 备选例题 教师用书独具 如图 已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形 ab cd ac bd 垂足为h ph是四棱锥的高 e为ad中点 1 证明 pe bc 2 若 apb adb 60 求直线pa与平面peh所成角的正弦值 解 以h为原点 ha hb hp所在直线分别为x y z轴 线段ha的长为单位长度 建立空间直角坐标系 如图 则a 1 0 0 b 0 1 0 2011 高考湖南卷 如图 在圆锥po中 已知po o的直径ab 2 c是a的中点 d为ac的中点 1 证明 平面pod 平面pac 2 求二面角b pa c的余弦值 题后感悟 求二面角最常用的方法 1 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 2 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 以上两种方法各有利弊 要善于结合题目的特点选择适当的方法解题 备选例题 教师用书独具 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 1 证明 pa bd 2 若pd ad 求二面角a pb c的余弦值 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 已知dc dd1 2ad 2ab ad 1 ad dc ab dc 1 设e是dc的中点 求证 d1e 平面a1bd 2 求二面角a1 bd c1的余弦值 3 求点c1到平面a1bd的距离 解 1 证明 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ad 1 由题意知 d 0 0 0 a 1 0 0 b 1 1 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 a1 1 0 2 d1 0 0 2 e 0 1 0 方法小结 求点到平面的距离的常用方法 1 等体积法 选择适当的三棱锥 用等体积法求高即可 2 向量法 用向量法求点到平面的距离简便易行 互动探究3 本例中 求直线d1e到平面a1bd的距离 备选例题 教师用书独具 解 1 证明 设正四棱柱的高为h 连接ao1 如图 aa1 底面a1b1c1d1于a1 ab1与底面a1b1c1d1所成的角为 ab1a1 即 ab1a1 ab1 ad1 o1为b1d1的中点 ao1 b1d1 方法技巧若利用向量求角 各类角都可以转化为向量的夹角来运算 1 求两异面直线a b的夹角 须求出它们的方向向量a b的夹角 则cos cos a b 2 求直线l与平面 所成的角 可先求出平面 的法向量n与直线l的方向向量a的夹角 则sin cos n a 3 求二面角 l 的大小 可先求出两个平面的法向量n1 n2所成的角 则 n1 n2 或 n1 n2 失误防范利用向量求角 一定要注意将向量夹角转化为各空间角 因为向量夹角与各空间角的定义 范围不同 命题预测从近几年的高考试题来看 利用空间向量证明平行与垂直 以及求空间角是高考的热点 题型主要为解答题 难度属于中等偏高 主要考查向量的坐标运算 以及向量的平行与垂直的充要条件 如何用向量法解决空间角问题等 同时注重考查学生的空间想象以及运算能力 预测2013年高考仍将以用向量证明平行与垂直 以及利用向量求空间角为主要考点 重点考查向量的数量积及学生的空间想象