九年级上学期期中复习重点题型练习.doc

一选择题（共9小题）1如图，正方形ABCD的对角线相交于O，点F在AD上，AD=3AF，AOF的外接圆交AB于E，则的值为（）AB3CD22如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：b1且b2，b24ac4a2，a1，其中正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个3如图，O为正五边形ABCDE的外接圆，O的半径为2，则的长为（）ABCD4如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD5已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）Ax1B2x4Cx1Dx26小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：c0；abc0；ab+c0；2a3b=0；c4b0，你认为其中正确信息的个数有（）A2个B3个C4个D5个7抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到抛物线y=x22x+1，则（）Ab=6，c=12Bb=8，c=14Cb=6，c=12Db=8，c=148二次函数y=mx2+2mx（3m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm0D0m39如图，MON=20，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A3B3C2D2二填空题（共7小题）10如图，等边ABC中，AB=4，D是BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE，那么线段DE的长为11如图，AB为O的直径，AB=30，正方形DEFG的四个顶点分别在半径OA、OC及O上，且AOC=45，则正方形DEFG的面积为12如图，平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），对AOB按图示的方式连续作旋转变换，这样得到的第2014个三角形中，A点的对应点的坐标为；连OA，则线段OA的最大值为13如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=ABCAE=15且AE=AC，连接GE将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则CAF的度数为14如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a0）和一次函数y2=mx+n（m0）的图象，当y2y1，x的取值范围是15如图，在RtABC中，AB=AC，点D为BC的中点，MDN=90，MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点下列结论：（BE+CF）=BC；SAEFSABC；S四边形AEDF=ADEF；ADEF；AD与EF可能互相平分其中，正确的结论是（填序号）16如图，O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，ACB的平分线交O于D，则CD长是cm三解答题（共14小题）17已知a、b是方程x2+x2015=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值18已知，抛物线的顶点为P（3，2），且在x轴上截得的线段AB=4（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q在抛物线上，且QAB的面积为12，求Q点的坐标19AB为O的直径，CD为弦，AMCD于M，BNCD于N（1）求证：CM=DN；（2）若AB=10，CD=8，求BN+AM的值20已知某隧道截面拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部宽20米（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y轴为抛物线的对称轴，求这条抛物线的解析式； （2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架ABBCCD（其中B、C两点在抛物线上，A、D两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？（3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）21如图1，四边形ABCD、EFGH为两个全等的矩形，且矩形ABCD的对角线交于点E，点A在EG上，ACB=30将矩形EFGH绕点E顺时针旋转角（060），如图2，GE、FE与AD分别相交于N、M（1）求证：AN+DMMN；（2）若MN2+DM2=AN2，求旋转角的大小22如图1，抛物线y=mx22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，且OC=OB（1）求抛物线的解析式；（2）过C、O两点作H交x轴于另一点D，交直线BC于另一点E，已知F（1.5，1.5）（F与H不重合）求：的值；（3）如图2，若抛物线上有一点P，连PC交线段BM于Q点，且SBPQ=SCMQ，求P点的坐标23若x=1是关于x的一元二次方程x24mx+2m2=0的根，求代数式2（m1）2+3的值24将线段AB绕点A逆时针旋转60得到线段AC，继续旋转（0120）得到线段AD，连接CD（1）连接BD，如图1，若=80，则BDC的度数为；在第二次旋转过程中，请探究BDC的大小是否改变若不变，求出BDC的度数；若改变，请说明理由（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得B=ACD，连接CE，DE若CED=90，求的值25如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交P于点B（m，n），其中m0（1）若b=5，则点A坐标是；（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；（3）若点P在函数y=x2（x0）的图象上，且BQP是等腰三角形直接写出实数a的取值范围：；在，这三个数中，线段PQ的长度可以为，并求出此时点B的坐标26如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，2），若ACB=90，试求：（1）A、B两点的坐标；（2）二次函数的表达式27某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=10x+500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价销售量）28如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设AP=x，PBE的面积为y求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值29矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得SPAG=SPEH？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由30如图，在ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=12cm，动点P从点B出发，沿BA向A运动，运动速度为1cm/s，动点Q从点C出发，沿CA向A运动，运动速度为2cm/sP，Q两个动点同时出发，t表示运动时间，在0t4时（1）求t为何值，APQ是等腰三角形（2）求t为何值，以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似；（3）线段BC上是否存在一点，使四边形APDQ是平行四边形？若存在，请直接写出CD的长度（不必写具体求解过程）；若不存在，请说明理由2016年11月03初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1（2014秋武昌区期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于O，点F在AD上，AD=3AF，AOF的外接圆交AB于E，则的值为（）AB3CD2【解答】解：连结OE、OF，作OHAD于H，OPAB于E，如图，设AF=x，则AD=3x，正方形ABCD的对角线相交于O，OAF=OAE=45，四边形APOH为正方形，OF=OE，AP=OP=OH=AH=x，FH=AHAF=xx=x，在RtOFH和RtOEP中，RtOFHRtOEP（HL），FH=PE=x，AE=AP+PE=x+x=2x，=2故选D2（2014秋武汉校级期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC，下列结论：b1且b2，b24ac4a2，a1，其中正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个【解答】解：OB=OC，C（0，c），B（c，0）把B（c，0）代入y=ax2+bx+c得0=ac2bc+c，即0=ac2+c（1b），a0，1b0，即b1，如果b=2，由0=ac2bc+c，可得ac=1，此是=b24ac=0，故b1且b2正确，a0，b0，c0，设C（0，c），B（c，0）AB=|x1x2|2，（x1+x2）24x1x24，（）244，即4，b24ac4a2；故本项正确把B（c，0）代入y=ax2+bx+c可得ac+1=b，代入y=ax2+bx+c得y=ax2+（ac+1）x+c=ax2+acx+x+c=ax2+x+acx+c=x（ax+1）+c（ax+1）=（x+c）（ax+1），解得x1=c，x2=，由图可得x22，即2，a0，a1/2；错误所以正确的个数是2个故选C3（2014秋陇西县期末）如图，O为正五边形ABCDE的外接圆，O的半径为2，则的长为（）ABCD【解答】解：如图所示：O为正五边形ABCDE的外接圆，O的半径为2，AOB=72，的长为：=故选：D4（2014秋海淀区期中）如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD【解答】解：根据题意结合图形，分情况讨论：如图，当点C在半径OA上时，连接AD、BD；AB为半圆O的直径，ADB=90，而DCAB，DC2=ACBC，而AC=x，BC=10x，DC=，而OC=5x，y=（5x）；当点C在半径OB上，即点C的位置时，同理可求：y=（x5），综上所述，y与x的函数关系式为：y=所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示故选：A5（2014秋锦江区校级期中）已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）Ax1B2x4Cx1Dx2【解答】解：a=0，抛物线开口向上，对称轴x=1，当x1时，y随x的增大而减小故选C6（2008鄂州）小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：c0；abc0；ab+c0；2a3b=0；c4b0，你认为其中正确信息的个数有（）A2个B3个C4个D5个【解答】解：抛物线开口方向向上，a0，与y轴交点在x轴的下方，c0，a0，b0，2a3b0，abc0，是正确的，对称轴x=，3b=2a，2a+3b=0，是错误的；当x=1，y=ab+c，而点（1，ab+c）在第二象限，ab+c0是正确的；当x=2时，y=4a+2b+c=2（3b）+2b+c=c4b，而点（2，c4b）在第一象限，c4b0故选C7（2014秋锦江区校级期中）抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到抛物线y=x22x+1，则（）Ab=6，c=12Bb=8，c=14Cb=6，c=12Db=8，c=14【解答】解：y=x22x+1=（x1）2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得抛物线y=（x12）2+3=（x3）2+3=x26x+12，所以b=6，c=12故选A8（2014秋锦江区校级期中）二次函数y=mx2+2mx（3m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm0D0m3【解答】解：抛物线的开口向上，m0，二次函数与y轴交于负半轴，m30，抛物线与x轴有两个交点（b24ac0），（2m）24m（m3）0，联立解之得：0m3m的取值范围是0m3故选D9（2015秋江岸区期中）如图，MON=20，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A3B3C2D2【解答】解：作A关于ON的对称点A，点B关于OM的对称点B，连接AB，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA，OB，则PB=PB，AQ=AQ，OA=OA=2，OB=OB=4，MOB=NOA=MON=20，AQ+PQ+PB=AQ+PQ+PB=AB，AOB=60，cos60=，=，OAB=90，AB=2，线段AQ+PQ+PB的最小值是：2故选D二填空题（共7小题）10（2014秋武昌区期中）如图，等边ABC中，AB=4，D是BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE，那么线段DE的长为2【解答】解：等边ABC中，AB=4，BC=AB=4，D是BC的中点，BD=CD=BC=2，ADBC，AD=2，将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE，AD=AE，DAE=60，ADE是等边三角形，DE=AD=2故答案为：211（2015得荣县三模）如图，AB为O的直径，AB=30，正方形DEFG的四个顶点分别在半径OA、OC及O上，且AOC=45，则正方形DEFG的面积为45【解答】解：连接OG，AB为O的直径，AB=30，OG15AOC=45，四边形DEFG是正方形，OEF是等腰直角三角形，EF=OE，设GD=x，则OD=2x，在RtODG中，DG2+OD2=OG2，即x2+（2x）2=152，解得x2=45正方形DEFG的面积为45故答案为：4512（2014秋武汉校级期中）如图，平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），对AOB按图示的方式连续作旋转变换，这样得到的第2014个三角形中，A点的对应点的坐标为（8052，3）；连OA，则线段OA的最大值为3【解答】解：A（3，0），B（0，4），OA=3，OB=4，由勾股定理得，AB=5，每3个三角形为一个循环组依次循环，每一个循环组的长度为3+4+5=12，20143=671余1，第2014个三角形是第672组的第一个三角形，与第一个三角形的形状相同，点A的横坐标为67112=8052，纵坐标为3，A点的对应点的坐标为（8052，3），由勾股定理得，OA的最大长度=3故答案为：（8052，3）；313（2014秋梁子湖区期末）如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=ABCAE=15且AE=AC，连接GE将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则CAF的度数为30或60【解答】解：线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，AE=AF，四边形ABCD是正方形，AB=AD，AG=AB，AD=AG，在AGE和ADF中，AGEADF（SSS），DAF=CAE=15，AC为正方形ABCD的对角线，CAD=45，点F在AD的下方时，CAF=CADDAF=4515=30，点F在AD的上方时，CAF=CAD+DAF=45+15=60，综上所述，CAF的度数为30或60故答案为：30或6014（2011河池）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a0）和一次函数y2=mx+n（m0）的图象，当y2y1，x的取值范围是2x1【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（2，0），（1，3），当有y2y1时，有2x1，故答案为：2x115（2014秋锦江区校级期中）如图，在RtABC中，AB=AC，点D为BC的中点，MDN=90，MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点下列结论：（BE+CF）=BC；SAEFSABC；S四边形AEDF=ADEF；ADEF；AD与EF可能互相平分其中，正确的结论是（填序号）【解答】解：RtABC中，AB=AC，点D为BC中点，C=BAD=45，AD=BD=CD，MDN=90，ADE+ADF=ADF+CDF=90，ADE=CDF在AED与CFD中，AEDCFD（ASA），AE=CF，在RtABD中，BE+CF=BE+AE=AB=BD=BC故正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=axSAEF=AEAF=x（ax）=（xa）2+a2，当x=a时，SAEF有最大值a2，又SABC=a2=a2，SAEFSABC故正确；EF2=AE2+AF2=x2+（ax）2=2（xa）2+a2，当x=a时，EF2取得最小值a2，EFa（等号当且仅当x=a时成立），而AD=a，EFAD故错误；由的证明知AEDCFD，S四边形AEDF=SAED+SADF=SCFD+SADF=SADC=AD2，EFAD，ADEFAD2，ADEFS四边形AEDF故错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分故正确综上所述，正确的有：故答案为：16（2015秋江岸区期中）如图，O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，ACB的平分线交O于D，则CD长是cm【解答】解：作DFCA，垂足F在CA的延长线上，作DGCB于点G，连接DA，DBCD平分ACB，ACD=BCDDF=DG，DA=DBAFD=BGD=90，在RtADF和RtBDG，RtAFDRtBGD（HL），AF=BG同理：RtCDFRtCDG（HL），CF=CGAB是直径，ACB=90，AC=5cm，AB=13cm，BC=12（cm），5+AF=12AF，AF=，CF=，CD平分ACB，ACD=45，CDF是等腰直角三角形，CD=（cm）故答案为：三解答题（共14小题）17（2014秋武昌区期中）已知a、b是方程x2+x2015=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值【解答】解：a，b是方程x2+x2015=0的两个实数根，a2+a2015=0，a+b=1，a2+a=2015，a2+2a+b=a2+a+a+b=20151=201418（2015秋唐山校级期末）已知，抛物线的顶点为P（3，2），且在x轴上截得的线段AB=4（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q在抛物线上，且QAB的面积为12，求Q点的坐标【解答】解：（1）抛物线的顶点为P（3，2），抛物线的对称轴为直线x=3，而抛物线在x轴上截得的线段AB=4，抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（5，0），设抛物线解析式为y=a（x1）（x5），把P（3，2）代入得a（31）（35）=2，解得a=，抛物线解析式为y=（x1）（x5）=x23x+；（2）设Q（x，y），QAB的面积为12，4|y|=12，解得y=6或y=6，当y=6时，x23x+=6，解得x1=1，x2=7，当y=6时，x23x+=6，无实数解，Q点的坐标为（1，6）、（7，6）19（2014秋武汉校级期中）AB为O的直径，CD为弦，AMCD于M，BNCD于N（1）求证：CM=DN；（2）若AB=10，CD=8，求BN+AM的值【解答】（1）证明：过点O作OEMN于点E，OEMN，CE=DEAMCD于M，BNCD于N，AMOEBN，点O是AB的中点，OE是梯形ABNM的中位线，ME=NE，MECE=NEDE，即CM=DN；（2）连接OC，AB=10，OC=5OEMN，CD=8，CE=4，OE=3，由（1）知OE是梯形ABNM的中位线，BN+AM=2OE=620（2014硚口区二模）已知某隧道截面拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部宽20米（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y轴为抛物线的对称轴，求这条抛物线的解析式； （2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架ABBCCD（其中B、C两点在抛物线上，A、D两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？（3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【解答】解：（1）设y=ax2+c，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则，解得，故抛物线的解析式为y=x2+10；（2）设点C的坐标为（m，n），则所需材料长度=2m+2n=2m+2（）m2+210=m2+2m+20=（m5）2+25，0，当m=5时，所需材料最多，为25米，总长为30米的材料够用；（3）当n=5时，m2+10=5，解得m=5，524，高度不超过5米的车不能并排通过隧道口21（2014秋武昌区期中）如图1，四边形ABCD、EFGH为两个全等的矩形，且矩形ABCD的对角线交于点E，点A在EG上，ACB=30将矩形EFGH绕点E顺时针旋转角（060），如图2，GE、FE与AD分别相交于N、M（1）求证：AN+DMMN；（2）若MN2+DM2=AN2，求旋转角的大小【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AE=DE，ACB=30，AED=180302=120，将AEN绕点E顺时针旋转120得到DPE，连接MP，则EP=NE，DP=AN，DEP=AEN，AED=120，MEN=MEP=60，在MEN和MEP中，MENMEP（SAS），MN=MP，由三角形的三边关系得，DP+DMMP，AN+DMMN；（2）解：MN2+DM2=AN2，DPM是直角三角形，DMP=90，MENMEP，EMN=EMP=45，在MNE中，MNE=1804560=75，在ANE中，AEN=MNECAD=7530=45，旋转角为4522（2014秋武昌区期中）如图1，抛物线y=mx22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，且OC=OB（1）求抛物线的解析式；（2）过C、O两点作H交x轴于另一点D，交直线BC于另一点E，已知F（1.5，1.5）（F与H不重合）求：的值；（3）如图2，若抛物线上有一点P，连PC交线段BM于Q点，且SBPQ=SCMQ，求P点的坐标【解答】解：（1）令y=0，得：mx22mx3m=0，m0，x22x3=0，解得：x1=1，x2=3，A（1，0）、，B（3，0）、OB=3OC=OB=3，点C在y轴的负半轴上，C（0，3），3m=3，m=1，抛物线的解析式为y=x22x3（2）如图1，F（1.5，1.5），B（3，0），C（0，3），点F为BC的中点点H为DC的中点，FH=DBOC=OB，COB=90，OBC=OCB=45根据圆内接四边形的性质可得：DEB=COD=90在RtDEB中，DE=DBsinDBE=DB，=（3）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得：，直线BC的解析式为y=x3SBPQ=SCMQ，SBPQ+SBCQ=SCMQ+SBCQ，SPBC=SMBC，MPBC，直线MP的解析式可设为y=x+n抛物线y=x22x3=（x1）24的顶点M的坐标为（1，4），1+n=4，n=5，直线MP的解析式为y=x5联立，解得：（舍去），或，点P的坐标为（2，3）23（2014秋海淀区期中）若x=1是关于x的一元二次方程x24mx+2m2=0的根，求代数式2（m1）2+3的值【解答】解：依题意，得 14m+2m2=0，2m24m=1，2（m1）2+3=2（m22m+1）+3=2m24m+5=1+5=4即2（m1）2+3=424（2015秋长乐市期中）将线段AB绕点A逆时针旋转60得到线段AC，继续旋转（0120）得到线段AD，连接CD（1）连接BD，如图1，若=80，则BDC的度数为30；在第二次旋转过程中，请探究BDC的大小是否改变若不变，求出BDC的度数；若改变，请说明理由（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得B=ACD，连接CE，DE若CED=90，求的值【解答】解：（1）线段AC，AD由AB旋转而成，AB=AC=AD点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上BDC=BAC=30故答案为：30 不改变，BDC的度数为30方法一：由题意知，AB=AC=AD点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上BDC=BAC=30方法二：由题意知，AB=AC=ADAC=AD，CAD=，ADC=C=90AB=AD，BAD=60+，ADB=B=60BDC=ADCADB=（90）（60）=30（2）过点AMCD于点M，连接EMAMD=90，AMC=90在AEB与AMC中，AEBAMC（AAS） AE=AM，BAE=CAMEAM=EAC+CAM=EAC+BAE=BAC=60AEM是等边三角形EM=AM=AE AC=AD，AMCD，CM=DM又DEC=90，EM=CM=DMAM=CM=DM 点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上=CAD=9025（2014秋海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交P于点B（m，n），其中m0（1）若b=5，则点A坐标是（0，10）；（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；（3）若点P在函数y=x2（x0）的图象上，且BQP是等腰三角形直接写出实数a的取值范围：a1；在，这三个数中，线段PQ的长度可以为，并求出此时点B的坐标【解答】解：（1）过点P作PHOA于点H，OA=2OH，b=5，OH=5，OA=10，点A坐标是（0，10）故答案为：（0，10）（2）连接BP、OPb=5，PHOA，OH=AH=5OQ=8，QH=OQOH=3在RtQHP中，PQ2=QH2+PH2=9+PH2，在RtPHO中，PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，在RtBQP中，BQ2=BP2PQ2=（25+PH2）（9+PH2）=16BQ=4（3）点P在函数y=x2（x0）的图象上，b=a2，a1，故答案为：a1；在，这三个数中，线段PQ的长度可以为，理由如下：BQP是等腰直角三角形，PQ=，半径BP=2又P（a，a2），OP2=a2+a4=（2）2即a4+a220=0解得a=2a0a=2 P（2，4）如图，作BMy轴于点M，则QBMPQHMQ=PH=2，MB=QH=B1（，6+） 若点Q在OH上，由对称性可得B2（，2）综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2）26（2015秋当涂县校级期中）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，2），若ACB=90，试求：（1）A、B两点的坐标；（2）二次函数的表达式【解答】解：（1）在RtOBC中，BC=，OC=2，由勾股定理得OB=1，由AOCCOB，得=，即=，解得AO=4，A（4，0），B（1，0）；（2）抛物线与x轴交于A（4，0），B（1，0）两点，设抛物线解析式y=a（x+4）（x1），将C（0，2）代入解得a=，y=（x+4）（x1），即y=x2x+227（2010青岛）某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=10x+500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价销售量）【解答】解：（1）由题意，得：w=（x20）y，=（x20）（10x+500）=10x2+700x10000，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润（2）由题意，得：10x2+700x10000=2000，解这个方程得：x1=30，x2=40，答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元（3）a=100，抛物线开口向下，当30x40时，w2000，x32，当30x32时，w2000，设成本为P（元），由题意，得：P=20（10x+500）=200x+10000，a=2000，P随x的增大而减小，当x=32时，P最小=3600，答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元28（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设AP=x，PBE的面积为y求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值【解答】（1）证明：过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F如图所示四边形ABCD是正方形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90度又PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS）PE=PD1=21+3=2+3=90度DPE=90度PEPD（2）解：过P作PMAB，可得AMP为等腰直角三角形，四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，AP=