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第九节直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与圆锥曲线的位置关系将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 代入圆锥曲线c的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得ax2 bx c 0 1 当a 0时 设方程ax2 bx c 0的判别式为 则 0 直线与圆锥曲线c 0 直线与圆锥曲线c 0 直线与圆锥曲线c 2 当a 0 b 0时 即得到一个一次方程 则直线l与圆锥曲线c相交 且只有一个交点 此时 若c为双曲线 则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 若c为抛物线 则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 相交 相切 相离 平行 平行或重合 1 若直线与圆锥曲线只有一个交点 则直线与圆锥曲线一定相切吗 提示 不一定相切 如在抛物线y2 2px p 0 中 过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线 则该直线与抛物线有且只有一个交点 但此时直线与抛物线相交 而非相切 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的最短弦长是多少 提示 当弦垂直于x轴时 弦长最短为2p 答案 b 4 2012 韶关模拟 已知倾斜角为60 的直线l通过抛物线x2 4y的焦点 且与抛物线相交于a b两点 则弦ab的长为 答案 16 已知抛物线的方程为y2 4x 直线l过定点p 2 1 斜率为k k为何值时 直线l与抛物线y2 4x只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 思路点拨 写出直线l的方程 和抛物线方程联立 消去y得到形如ax2 bx c 0的方程 再讨论此方程解的个数 把本例中l的方程换成 y kx 1 且点c为直线与y轴的交点坐标 其余条件不变求 2 规范解答之十五圆锥曲线中定点 定值问题的求解方法 图8 9 1 解题程序 第一步 设出直线l的方程 和椭圆方程联立 所得一元二次方程有两个不等实根 第二步 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2可求 从而点e坐标可知 直线oe的方程可写出来 第三步 根据点d在直线oe上 可知mk 1 从而根据m2 k2 2mk可求m2 k2的最小值 第四步 直线od的方程和椭圆方程联立 求点g的坐标 第五步 写出点e d的坐标 根据两点间距离公式求 og 2 od oe 第六步 根据 og 2 od oe 得t k 代入直线l的方程可求得直线l过定点 1 0 易错提示 1 找不到m k的关系 从而无法求m2 k2的最小值 2 求不出或求错点g的坐标 从而无法表示 og 2 防范措施 1 点d在直线oe上 从而求出点e坐标 写出直线oe的方程是解题的关键
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