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第九章直线 平面 简单几何体 空间直线 第讲 2 第二课时 1 设p为正三角形abc所在平面外一点pa pb pc apb bpc cpa 90 m n分别是ab和pc的中点 求异面直线pm与bn所成的角 题型3求异面直线所成的角 解 连结mc 取其中点d 连结nd 则所以 bnd为所求的角 连结bd 设正三角形abc的边长为a 由已知 apb bpc apc都是等腰直角三角形 所以pm 易知 dn 又cm 所以dm 在rt bmd中 在 bnd中 故异面直线pm与bn所成的角为 点评 求异面直线所成的角的关键是作辅助线来平移直线 化为同一平面内两直线所成的角 一般根据中点可作中位线平移直线 或由平行四边形的性质平移直线 然后利用解三角形的有关知识求得夹角 2 已知正三棱柱abc a1b1c1的底边长为8 异面直线ab1和bc1所成的角为arccos 求这个正三棱柱的侧棱长 题型4异面直线夹角条件的转化 解 连结b1c交bc1于d点 则d为b1c的中点 取ac的中点e 连结de 则所以 bde为异面直线ab1和bc1所成的角或其补角 设正三棱柱的侧棱长为x 因为正三棱柱的底边长为8 则be 8sin60 所以在 bde中 be2 bd2 de2 2bd decos bde 若cos bde 则解得 x 6 若cos bde 则x 故这个正三棱柱的侧棱长为6或 点评 已知角度求边长问题 一般是结合方程思想来解决 即先设边长为参数 然后根据题中条件转化为参数方程 组 再解方程 组 即可求得边长的值 注意方程的解与边长的值的实际意义 如图 正方形abcd的边长为3 e f分别是ab cd上的点 且be 1 将四边形aefd沿ef折起到a efd 的位置 使异面直线eb和d f所成的角为60 求证 点a 在平面abcd内的射影o恰好在bc边上 证明 因为a e d f 所以 a eb为异面直线eb和d f所成的角 知 a eb 60 因为be 1 a e ae 2 连结a b 则在 a eb中 a b2 a e2 be2 2a e becos60 3 所以a b2 be2 a e2 所以a b eb 又eb bc 所以eb 平面a bc 所以平面a bc 平面abcd 据两平面垂直的性质 知点a 在平面abcd内的射影o在bc边上 1 求异面直线所成的角大致可分四个步骤进行 找出或作出异面直线所成的角 或其补角 构造三角形 解三角形 即求角的某个三角函数值 小结 2 作异面直线所成的角要用连线的办法 先定位再定性 一般不要直接作平行线 添加的辅助线要尽可能位于背景图形 内部 并在解题过程中加以说明 3 用余弦定理解三角形 若出现所求角的余弦值为负值 则异面直线所成的角要取其补角转化为
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