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通信原理 第三章随机信号分析 本章内容结构 3 1引言 3 2概率论的基本概念复习 3 3随机过程的基本概念 3 4平稳随机过程的概念 3 5平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 3 6高斯过程和高斯白噪声 3 9平稳随机过程通过线性系统 3 1引言 为什么学习随机信号 噪声是一种随机信号 通信中传递的信息 对接收者来说是事先不知道的 也就是随机的 有的时候信道的传输特性也是随机变化的 例如短波 微波传输的衰减受天气的影响很大 3 2概率论的基本概念复习 1 随机变量的概念 1 样本空间的概念 在随机实验中 所有可能的结果的集合 例如抛1次硬币 其样本空间为 正面 反面 2 随机变量的概念 对于一个样本空间 若每一个元素有一个随机的单值与之对应 则称之为随机变量 例如 抛硬币如果是正面我们用 1表示 反面用 1表示 1或 1就是这个实验的随机变量 通常记为 2 随机变量的统计特性 即概率分布 1 离散型随机变量常用分布律来表示 如抛硬币的分布律为 2 连续型随机变量只能用分布函数和概率密度函数来描述 3 随机变量的数字特征 1 数学期望E 即平均值 对于离散随机变量 对于连续随机变量 2 方差D对于离散随机变量 对于连续随机变量 3 随机变量的数字特征 续 3 相关函数无论是离散的还是连续的随机变量 两个随机变量的相关函数统一定义为 请同学们将教材公式3 2 10右面的逗号改为乘号 3 3随机过程的基本概念 3 3 1随机过程 测度论 中给出了随机过程的严格的数学定义 可是非常抽象 不易理解因此我们从一个随机过程的实例 及其样本空间 来描述随即过程 通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程 我们都知道 抛1次硬币作为1次实验 得到的结果可能是正或反 所以其样本空间为 正 反 设想我们连续抛3次硬币作为1次实验 那么 其可能结果为 正 正 正 正 正 反 正 反 正 反 正 正 反 反 反 反 反 正 反 成 反 正 反 反 所以这个实验样本空间为上述8个情况的集合 通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程 我们知道 抛1次硬币 的结果对应的值称作 随机变量 而 连续抛3次硬币 每次实验都会对应3个随机变量 第一次 第二次 第三次 因此不能再称作随机变量了我们称这种实验叫做 随机过程 记为 t 通过热噪声的例子来理解随机过程 这是在一个电阻上测量到的热噪声 它也属于一种 随机过程 图中画出了其3个样本 这种随机过程的样本空间有无穷多个 注意 每一个样本都是一个关于时间的函数 随机变量和随机过程的区别与关系 区别 随机变量与随机过程的样本空间是不同的这种区别体现在样本空间的数量上和性质上关系 随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量 3 3 2随机过程的统计特性 由于随机过程由一系列随机变量组成所以无法用某一随机变量的统计特征来描述整个随机的统计特性于是人们定义了一维概率分布函数和概率密度函数二维概率分布函数和概率密度函数 N维概率分布函数和概率密度函数 一维概率分布函数和密度函数 因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量 二维概率分布函数和密度函数 我国的降雨量分布图就是典型的二维密度函数的例子 3 3 3随机过程的数字特征 1 数学期望 均值函数 由于随机过程是由一系列随机变量组成的 2 随机过程的方差 同理 随机过程的方差也是一个关于时间的函数 可由下式计算 3 随机过程的自相关函数 定义为 例3 1 续 例3 1 续 3 4平稳随机过程的概念 3 4 1平稳随机过程的分类和定义严 狭义 平稳过程任意n维分布与时间起点无关 而只与这n点的时间间隔有关宽 广义 平稳过程不一定是严平稳过程 但具有严平稳过程的某些特征通信中遇到的绝大部分随机过程属于这一类 严 狭义 平稳随机过程 随机过程任意n维联合密度与时间起点无关 只与时间间隔有关1维分布与时间起点无关 则 严 狭义 平稳随机过程 续 随机过程任意n维联合密度与时间起点无关2维联合分布与时间起点无关 则 由严 狭义 平稳引出宽 广义 平稳 如果一个随机过程满足下列条件则称之为 宽 或广义 平稳过程 1 均值函数为常数 2 方差函数均为常数 3 自相关函数只与两个时间点之间的时间差 有关 而与时间起点无关 以后 平稳过程 均指 宽平稳过程 例3 2 若X t 和Y t 为平稳过程 证明Z t X t Y t 也是平稳过程 设X t Y t 相互独立 常数 常数 例3 2 续 常数 常数 即 符合平稳第2条件 例3 2 续 RX RY 3 4 2平稳过程的各态历经性 遍历性 简单地说 一个随机过程如果做1次实验 在时间上的统计特征等于做无数次试验的统计特征 称这种过程具有遍历性用数学表示即 具有遍历性的过程一定是平稳过程 但反之不一定 3 5平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 3 5 1平稳过程自相关函数的性质 3 5 2平稳过程的自相关函数和功率谱密度的关系 同样符合维纳 辛钦定理 即 平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对付立叶变换 同学们可参阅例3 5 1 3 6高斯过程和高斯白噪声 一 高斯过程的定义若一随机过程的任意n维分布都是高斯分布 称为高斯过程 这个条件过于严格 很少使用 二 高斯过程的性质对高斯过程而言 严平稳等价于宽平稳对高斯过程而言 不相关等价于独立高斯过程通过线性系统仍为高斯过程 这些性质在考研试题中经常使用 在本课考试中 也常以填空形式出现 二维高斯分布示意图 3 6高斯过程和高斯白噪声 续 三 与高斯随机变量有关的重要函数 Q函数 3 6高斯过程和高斯白噪声 续 四 高斯白噪声通信中经常遇到这样一类噪声 具有以下性质 1 在时域上 任一时刻 该随机过程对应的随机变量是一个高斯随机变量2 在频域上 其功率谱是一个常数我们称这种噪声为高斯白噪声 3 9平稳过程通过线性系统 重要章节 平稳过程通过线形系统 如R L C 加法器 延时器等组成的电路 时 线性系统 输出随机过程与输入随机过程的关系 关系1 文字描述即 输出随机过程的均值函数等于输入随机过程的均值函数乘以该线性系统的转移函数H 在 0时的值 代入即证毕 关系2和关系3 证明略 关系2 若输入过程平稳 则输出过程也平稳 关系3 最重要 考试常用 例3 3 综合利用维纳 辛钦定理和平稳过程通过线性系统的性质 延时T 例3 3 此题有2种解法 解法一 从时域入手 先求输出过程的自相关函数 例3 3 解法一 续 例3