高中数学 22第2课时等差数列的性质精品课件同步导学 新人教A版必修5.ppt

第2课时等差数列的性质 1 进一步了解等差数列的项与序号之间的规律 2 理解等差数列的性质 3 掌握等差数列的性质及其应用 1 对等差数列性质的考查是本课的热点 2 本课时内容常与解析几何 不等式结合命题 3 多以选择题 解答题的形式命题 1 等差数列的定义如果一个数列从第项起 每一项减去它的前一项所得的差都等于常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母表示 2 等差中项如果 那么a叫做a与b的等差中项 3 等差数列的通项公式an a1 n 1 d n n 2 同一 公差 d a a b成等差数列 等差数列的常用性质 n m d md 1 在等差数列 an 中 a1 a9 10 则a5的值为 a 5b 6c 8d 10解析 a1 a9 2a5 a5 5答案 a 解析 由题意知a4 a5 a2 a7 a2 15 12 3 故选a 答案 a 3 设数列 an bn 都是等差数列 且a1 25 b1 75 a2 b2 100 则a37 b37等于 解析 设cn an bn 则数列 cn 为等差数列 c1 a1 b1 100 c2 a2 b2 100 cn 100 c37 a37 b37 100 答案 100 4 已知等差数列 an 中 a2 a6 a10 1 求a3 a9 由题目可获取以下主要信息 3 7 4 6 2 5 2 8 a3 a7 a4 a6 2a5 a2 a8 解答本题可用等差数列的性质 对于 2 也可以用等差数列的通项公式 解题过程 1 因为a3 a7 a4 a6 2a5 所以a3 a7 a4 a6 a5 5a5 所以5a5 450 所以a5 90 又因为a2 a8 2a5 所以a2 a8 180 2 方法一 因为 an 为等差数列 所以a15 a30 a45 a60 a75也成等差数列 其公差为d a15为首项 则a60为其第四项 所以a60 a15 3d 得d 4 所以a75 a60 d a75 24 题后感悟 等差数列的 子数列 的性质若数列 an 是公差为d的等差数列 则 1 an 去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列 2 奇数项数列 a2n 1 是公差为2d的等差数列 偶数项数列 a2n 是公差为2d的等差数列 3 若 kn 成等差数列 则 akn 也是等差数列 1 已知等差数列 an 中 1 a2 a8 a14 1 求a3 a13 2 已知a2 a3 a23 a24 48 求a13 3 已知a2 a3 a4 a5 34 a2 a5 52 求公差d 1 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 2 四个数成递增等差数列 中间两数的和为2 首末两项的积为 8 求这四个数 由题目可获取以下主要信息 根据三个数的和为6 成等差数列 可设这三个数为a d a a d d为公差 四个数成递增等差数列 且中间两数的和已知 可设为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差 建立基本量的方程组求解 规范作答 1 方法一 设等差数列的等差中项为a 公差为d 则这三个数分别为a d a a d 2分依题意 3a 6且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 4分故这三个数为 2 2 6或6 2 2 6分 方法二 设首项为a 公差为d 这三个数分别为a a d a 2d 2分依题意 3a 3d 6且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4 4分这三个数为 2 2 6或6 2 2 6分 2 方法一 设这四个数为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 8分依题意 2a 2 且 a 3d a 3d 8 即a 1 a2 9d2 8 d2 1 d 1或d 1 10分又四个数成递增等差数列 所以d 0 d 1 故所求的四个数为 2 0 2 4 12分 又四个数成递增等差数列 所以d 0 所以d 2 故所求的四个数为 2 0 2 4 12分 题后感悟 利用等差数列的定义巧设未知量 从而简化计算 一般地有如下规律 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间一项为a 再用公差为d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数为偶数项时 可设中间两项为a d a d 再以公差为2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 这样可减少计算量 2 已知成等差数列的四个数之和为26 第二个数与第三个数之积为40 求这个等差数列 某公司经销一种数码产品 第1年可获利200万元 从第2年起 由于市场竞争等方面的原因 其利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律 如果公司不开发新产品 也不调整经营策略 从第几年起 该公司经销这一产品将会出现亏损 由题设可知第1年获利200万元 第2年获利180万元 第3年获利160万元 每年获利构成等差数列 an 且当an 0时 该公司将会出现亏损 解题过程 设第n年的利润为an万元 则a1 200 an an 1 20 n 2 n n 所以每年的利润an可构成一个首项为200 公差为 20的等差数列 an 从而an 220 20n 若an11 又n n 所以n 12 故从第12年起 该公司经销此产品将会出现亏损 题后感悟 本例中由于公差小于零 所以该数列是一个递减数列 想一想 如果规定当该产品的利润降到50万元以下时就放弃经销此产品 那么该公司应从第几年起放弃经销此产品 1 在实际问题中 若涉及到一组与顺序有关的数的问题 可考虑利用数列方法解决 若这组数依次成直线上升或下降 则可考虑利用等差数列方法解决 2 在利用数列方法解决实际问题时 一定要分清首项 项数等关键问题 3 有一批影碟机原销售价为每台800元 在甲 乙两家商场均有销售 甲商场用如下方法促销 买一台单价为780元 买两台单价为760元 依次类推 每多买一台则所买各台单价均减少20元 但每台最低价不能低于440元 乙商场一律都按原价的75 销售 某单位需购买一批此类影碟机 问去哪一家商场购买花费较少 解析 设某单位需购买影碟机n台 在甲商场购买每台售价不低于440元时 售价与台数n成等差数列 设该数列为 an an 780 n 1 20 800 20n 解不等式an 440 即800 20n 440 得n 18 当购买台数小于18时 每台售价为 800 20n 元 当台数大于或等于18时 每台售价为440元 到乙商场购买 每台售价为800 75 600元 作差 800 20n n 600n 20n 10 n 所以 当n 10时 600n 800 20n n 当n 10时 600n 800 20n n 当10 n 18时 800 20n n 600n 当n 18时 440n 600n 所以当购买台数少于10台时 到乙商场购买花费较少 当购买10台时 到两商场购买花费相同 当购买多于10台时 到甲商场购买花费较少 1 等差数列通项公式的推广由等差数列 an 的通项公式an a1 n 1 d 容易得到an am n m d 这可以看作等差数列通项公式的推广公式 事实上 am n m d a1 m 1 d n m d a1 n 1 d an 2 等差数列的 子数列 1 在公差为d的等差数列 an 中 可以有规律的选择出某些项 使它们组成新的等差数列 如数列 a2n a2n 1 an an 1 an an 1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 等都是等差数列 公差分别为2d 2d 2d 0 9d 2 若 an bn 为等差数列 则 an k kan k 0 an bn 仍为等差数列 公差分别为d kd d1 d2 已知两个等差数列 an 和 bn 且 an 为2 5 8 bn 为1 5 9 它们的项数均为40项 则它们有多少个彼此具有相同