高考数学一轮复习 空间几何体的三视图、表面积及体积专题训练(1).doc

专题四立 体 几 何 第一讲空间几何体的三视图、表面积及体积空间几何体的三视图一、基础知识要记牢一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”二、经典例题领悟好例1(1)(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2013全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析(1)由俯视图是圆环可排除a，b，c，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项d.(2)根据已知条件作出图形：四面体c1a1db，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示答案(1)d(2)a分析空间几何体的三视图的要点(1)根据俯视图确定几何体的底面，(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，(3)确定几何体的形状，即可得到结果三、预测押题不能少1(1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()解析：选b依题意，左视图中棱的方向是从左上角到右下角(2)如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；存在圆锥，其正视图、侧视图如图其中真命题的个数是()a3b2c1 d0解析：选a对于，存在斜高与底边长相等的正四棱锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形；对于，存在如图所示的三棱锥sabc，底面为等腰三角形，其底边ab的中点为d，bc的中点为e，侧面sab上的斜高为sd，且cbabsdse，顶点s在底面上的射影为ac的中点，则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形；对于，存在底面直径与母线长相等的圆锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形.空间几何体的表面积与体积一、基础知识要记牢常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：圆柱的表面积公式：s2r22rl2r(rl)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)；圆锥的表面积公式：sr2rlr(rl)(其中r为底面半径，l为母线长)；圆台的表面积公式：s(r2r2rlrl)(其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长)；柱体的体积公式：vsh(s为底面面积，h为高)；锥体的体积公式：vsh(s为底面面积，h为高)；台体的体积公式：v(ss)h(s、s分别为上、下底面面积，h为高)；球的表面积和体积公式：s4r2，vr3(r为球的半径)二、经典例题领悟好例2(1)(2013全国卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()a. cm3b. cm3c. cm3d. cm3(2)(2013浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm3.解析(1)如图，作出球的一个截面，则mc862(cm)，bmab84(cm)设球的半径为r cm，则r2om2mb2(r2)242，r5，v球53(cm3)(2)由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积v134530(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积v23436(cm3)，所以所求几何体的体积为30624(cm3)答案(1)a(2)24(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.三、预测押题不能少2(1)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为_解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的全面积s192(3612)26.答案：26(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：作出三视图所对应的几何体(如图)，底面abcd是边长为2的正方形，sd平面abcd，ec平面abcd，sd2，ec1，连接sc，则该几何体的体积为vsdabcevsabcdvsbce42212.答案：球与多面体一、基础知识要记牢(1)若球面上四点p、a、b、c构成的三条线段pa、pb、pc两两互相垂直，可采用“补形法”成为一个球内接长方体(2)正四面体的内切球与外接球半径之比为13.二、经典例题领悟好例3(2013辽宁高考)已知直三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上若ab3，ac4，abac，aa112，则球o的半径为()a. b2c. d3解析因为直三棱柱中ab3，ac4，aa112，abac，所以bc5，且bc为过底面abc的截面圆的直径取bc中点d，则od底面abc，则o在侧面bcc1b1内，矩形bcc1b1的对角线长即为球直径，所以2r13，即r.答案c处理球与棱柱、棱锥切、接问题的思路(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化空间问题为平面问题(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间关系，确定球心位置(3)建立几何量间关系求半径r.三、预测押题不能少3已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sa平面abc，sa2，ab1，ac2，bac60，则球o的表面积为()a4 b12c16 d64解析：选c取sc的中点e，连接ae、be，依题意，bc2ab2ac22abaccos 603，ac2ab2bc2，即abbc.又sa平面abc，sabc，又saaba，bc平面sab，bcsb，aescbe，点e是三棱锥sabc的外接球的球心，即点e与点o重合，oasc 2，故球o的表面积为4oa216.探求空间几何体中体积最值的创新问题求空间几何体的体积一直是考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查一、经典例题领悟好例如图1，acb45，bc3，过动点a作adbc，垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab，沿ad将abd折起，使bdc90(如图2所示)当bd的长为多少时，三棱锥abcd的体积最大？adbcad平面bcdcdad3xsbcd的式子vabcd的式子f(x)vabcd的最大值解如图1所示的abc中，设bdx(0x3)，则cd3x.由adbc，acb45知adc为等腰直角三角形，所以adcd3x.由折起前adbc知，折起后(如图2)，addc，adbd，且bddcd，所以ad平面bdc.又因为bdc90，所以sbcdbdcdx(3x)于是vabcdadsbcd(3x)x(3x)vabcd(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x0；当x(1,3)时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得最大值，即bd1时，三棱锥abcd的体积最大解答此题的关键是恰当引入变量x，即令bdx，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题.二、预测押题不能少球o的球面上有四点s，a，b，c，其中o，a，b，c四点共面，abc是边长为2的正三角形，平面sab平面abc，则三棱锥sabc的体积的最大值为_解析：记球o的半径为r，作sdab于d，连接od，os，易求r.又sd平面abc，注意到sd，因此要使sd最大，则需od最小，而od的最小值为，因此高sd的最大值是 1.又三棱锥sabc的体积为sabcsd22sdsd，因此三棱锥sabc的体积的最大值是1.答案：1.一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选c注意到在三视图中，俯视图的宽度应与左视图的宽度相等，而在选项c中，其宽度为，与题中所给的左视图的宽度1不相等，因此选c.2(2013山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()a4，8b4，c4(1)，d8,8解析：选b由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为，所以s侧44，v222.3(2013合肥市质量检测)某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示，则该几何体的表面积为()a9214b8214c9224d8224解析：选a观察三视图可知，该几何体是长方体与一个半圆柱的组合体，根据所标注的尺寸可以计算出表面积为(454544)24522259214.4(2013江西九校联考)如图，三棱锥vabc的底面为正三角形，侧面vac与底面垂直且vavc，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为()a.b.c. d.解析：选b由题意知，该三棱锥的正视图为vac，作voac于o，连接ob，设底面边长为2a，高voh，则vac的面积为2ahah.又三棱锥的侧视图为rtvob，在正三角形abc中，高oba，所以侧视图的面积为obvoahah.5(2013辽宁省五校联合体)已知三边长分别为4、5、6的abc的外接圆恰好是球o的一个大圆，p为球面上一点，若点p到abc的三个顶点的距离相等，则三棱锥pabc的体积为()a5 b10c20 d30解析：选b设边长为4的边所对的角为，外接圆半径为r，则2r，显然当且仅当op平面abc时，点p到三个顶点的距离相等，故所求的体积为vr10.6(2013湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为v1，v2，v3，v4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()av1v2v4v3 bv1v3v2v4cv2v1v3v4 dv2v3v1v4解析：选c由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积v1(122212)1；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积v21222；从上到下的第三个简单几何体是棱长为2的正方体，其体积v3238；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积v4(222442)1，比较大小可知答案选c.7已知abc的斜二测直观图是边长为2的等边a1b1c1，那么原abc的面积为_解析：斜二测直观图面积s22，故原abc的面积为s2.答案：28(2013福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2r，则2r2，所以该几何体的表面积为4r24()212.答案：129(2013江苏高考)如图，在三棱柱a1b1c1abc中，d，e，f分别是ab，ac，aa1的中点，设三棱锥fade的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，则v1v2_.解析：设三棱柱a1b1c1abc的高为h，底面三角形abc的面积为s，则v1shshv2，即v1v2124.答案：12410如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧(左)视图与俯视图已知cf2ad，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示求该几何体的体积解：取cf中点p，过p作pqcb交be于q，连接pd，qd，则adcp，且adcp.所以四边形acpd为平行四边形，所以acpd.所以平面pdq平面abc.该几何体可分割成三棱柱pdqcab和四棱锥dpqef，所以vvpdqcabvdpqef22sin 6023.11.右图为一简单组合体，其底面abcd为正方形，pd平面abcd，ecpd，且pdad2ec2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥bcepd的体积解：(1)该组合体的三视图如图所示(2)pd平面abcd，pd平面pdce，平面pdce平面abcd.四边形abcd为正方形，bccd，且bcdcad2.又平面pdce平面abcdcd，bc平面abcd.bc平面pdce.pd平面abcd，dc平面abcd，pddc.又ecpd，pd2，ec1，四边形pdce为一个直角梯形，其面积：s梯形pdce(pdec)dc323，四棱锥bcepd的体积vbcepds梯形pdcebc322.12如图，aa1，bb1为圆柱oo1的母线，bc是底面圆o的直径，d，e分别是aa1，cb1的中点，de面cbb1.(1)证明：d