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第二章习题课 扬州大学数学科学学院 线性代数 初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换 三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 反身性 传递性 对称性 矩阵的等价 三种初等变换对应着三种初等矩阵 初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 换法变换 对调两行 列 得初等矩阵 倍法变换 以数 非零 乘某行 列 得初等矩阵 消法变换 以数乘某行 列 加到另一行 列 上去 得初等矩阵 经过初等行变换 可把矩阵化为行阶梯形矩阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全为0 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线 每段竖线的长度为一行 后面的第一个元素为非零元 也就是非零行的第一个非零元 例如 行阶梯形矩阵 经过初等行变换 行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵 其特点是 非零行的第一个非零元为1 且这些非零元所在列的其它元素都为0 例如 行最简形矩阵 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换 可得到矩阵的标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素都为0 例如 矩阵的标准形 所有与A等价的矩阵组成的一个集合 称为一个等价类 标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵 定义 矩阵的秩 定义 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 矩阵秩的性质及定理 定理 9初等矩阵与初等变换的关系 定理 推论 一 求矩阵的秩 二 求逆矩阵的初等变换法 三 解矩阵方程的初等变换法 典型例题 求矩阵的秩有下列基本方法 计算矩阵的各阶子式 从阶数最高的子式开始 找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式 则这个子式的阶数就是矩阵的秩 一 求矩阵的秩 用初等变换 即用矩阵的初等行 或列 变换 把所给矩阵化为阶梯形矩阵 由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行 或列 的个数 而初等变换不改变矩阵的秩 所以化得的阶梯形矩阵中非零行 或列 的个数就是原矩阵的秩 第一种方法当矩阵的行数与列数较高时 计算量很大 第二种方法则较为简单实用 例 求下列矩阵的秩 解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵 注意在求矩阵的秩时 初等行 列变换可以同时兼用 但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形 二 求逆矩阵的初等变换法 例 求下述矩阵的逆矩阵 解 注意用初等行变换求逆矩阵时 必须始终用行变换 其间不能作任何列变换 同样地 用初等列变换求逆矩阵时 必须始终用列变换 其间不能作任何行变换 Takecare 三 解矩阵方程的初等变换法 或者 例 解 第二章测试题 一 填空题 每小题4分 共32分 四 8分 解下列矩阵方程 五 每小题5分 共20分 求下列矩阵 六 6分 设求 七
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