【培优练习】 《正方形的性质和判定》 （数学北师大九上）.docx

正方形的性质培优练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共3小题）1如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（1，2）、（1，0）、（3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（）A（6，2）B（0，2）C（2，0）D（2，2）2如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分ACD交BD于点E，则DE长（）A2-1B22C1D1223如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE=9，那么DG的长为（）A3B33C4D43二填空题（共3小题）4以正方形ABCD的边AD作等边ADE，则BEC的度数是 5如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 6如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置，BC与CD相交于点M，则点M的坐标为 三解答题（共4小题）7如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：ABEBCF8如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O（1）求证：DAFABE；（2）求AOD的度数9已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点（1）求证：BGFFHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积10在正方形ABCD中，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF=BE，连接AE，AF（1）如图1，求证：AE=AF；（2）如图2，连接EF分别交AB，AD于M，N两点，直接写出图中所有等腰直角三角形参考答案一选择题（共3小题）1【解答】解：在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（1，2）、（1，0）、（3，0），D（3，2），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），故选：B2【解答】解：过E作EFDC于F，四边形ABCD是正方形，ACBD，CE平分ACD交BD于点E，EO=EF，正方形ABCD的边长为1，AC=2，CO=12AC=22，CF=CO=22，EF=DF=DCCF=122，DE=EF2+DF2=21，故选：A3【解答】解：四边形ABCD为正方形，AD=CD=6，ADC=C=90，四边形DEFG为矩形，EDG=G=90，ADG+ADE=90，ADE+EDC=90，ADG=EDC，ADGCDE，ADDE=DGDC，即69=DG6，DG=4故选：C二填空题（共3小题）4【解答】解：如图1，四边形ABCD为正方形，ADE为等边三角形，AB=BC=CD=AD=AE=DE，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AED=ADE=DAE=60，BAE=CDE=150，又AB=AE，DC=DE，AEB=CED=15，则BEC=AEDAEBCED=30如图2，ADE是等边三角形，AD=DE，四边形ABCD是正方形，AD=DC，DE=DC，CED=ECD，CDE=ADCADE=9060=30，CED=ECD=12（18030）=75，BEC=36075260=150故答案为：30或1505【解答】解：四边形ABCD为正方形，BAE=D=90，AB=AD，在ABE和DAF中，&AB=AD&BAE=D&AE=DF，ABEDAF（SAS），ABE=DAF，ABE+BEA=90，DAF+BEA=90，AGE=BGF=90，点H为BF的中点，GH=12BF，BC=5、CF=CDDF=52=3，BF=BC2+CF2=34，GH=12BF=342，故答案为：3426【解答】解：如图，连接AM，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到正方形ABCD，AD=AB=1，BAB=30，BAD=60，在RtADM和RtABM中，&AD=AB&AM=AM，RtADMRtABM（HL），DAM=BAM=12BAD=30，DM=ADtanDAM=133=33，点M的坐标为（1，33），故答案为：（1，33）三解答题（共4小题）7【解答】证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，在ABE和BCF中，&AB=BC&ABE=BCF&BE=CF，ABEBCF8【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，DAB=ABC=90，AD=AB，在DAF和ABE中，&AD=AB&DAF=ABE=90&AF=BE，DAFABE（SAS），（2）由（1）知，DAFABE，ADF=BAE，ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90，AOD=180（ADF+DAO）=909【解答】解：（1）点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，FHBE，FH=12BE，FH=BG，CFH=CBG，BF=CF，BGFFHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EFGH且EF=GH，在BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，GH=12BC=12AD=12a，且GHBC，EFBC，ADBC，ABBC，AB=EF=GH=12a，矩形ABCD的面积=ABAD=12aa=12a210【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形，AB=CD，ABC=ADC，在AEB和AFD中&AB=AD&ABE=ADF&BE=DF，AEBAFD（SAS），AE=AF；（2）解：图中等腰直角三角形有：EBM，AMN，FND，ECF正方形的判定 培优练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共3小题）1如图所示，两个含有30角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A四边形ACDF是平行四边形B当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D四边形ACDF不可能是正方形2从中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）ABCD3在四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是（）AOA=OC，OB=OCBOA=OB=OC=ODCOA=OC，OB=OD，AC=BDDOA=OB=OC=OD，ACBD二填空题（共3小题）4如图在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，请你添加一个条件 ，使四边形BECF是正方形5李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买但她拿起来看时感觉丝巾不太方商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐（如图所示）李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验李燕终于买下这块纱巾你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？ （填是或否）6如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E，DFAB，交BC于点F，当ABC满足条件 时，四边形BEDF是正方形三解答题（共4小题）7如图，在ABC中，BAC=90，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于F，连接CF（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论8如图，四边形ABCD是平行四边形，AEBD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F（1）求证：BC=BE；（2）连结CF，若ADF=BCF且AD=2AF，求证：四边形ABCD是正方形9如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（2，0）、B（0，2）、C（2，0）、D（0，2），求证：四边形ABCD是正方形10如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）若AED=2EAD，求证：四边形ABCD是正方形参考答案一选择题（共3小题）1【解答】解：A、正确ACB=EFD=30，ACDF，AC=DF，四边形AFDC是平行四边形故正确B、错误当E是BC中点时，无法证明ACD=90，故错误C、正确B、E重合时，易证FA=FD，四边形AFDC是平行四边形，四边形AFDC是菱形，D、正确当四边相等时，AFD=60，FAC=120，四边形AFDC不可能是正方形故选：B2【解答】解：与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为，故选：C3【解答】解：A、不能，只能判定为平行四边形，故此选项错误；B、不能，因为对角线相等且互相平分只能得到是矩形，故此选项错误；C、不能，只能判定为矩形，故此选项错误；D、能，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确故选：D二填空题（共3小题）4【解答】解：添加条件：AC=BC理由如下：EF垂直平分BC，BE=EC，BF=CF，BF=BE，BE=EC=CF=BF，四边形BECF是菱形；当BC=AC时，ACB=90，则A=45时，菱形BECF是正方形A=45，ACB=90，EBC=45EBF=2EBC=245=90菱形BECF是正方形故答案为AC=BC5【解答】解：根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合（图）若另一组对边不能重合，那么此纱布不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱布一定是正方形故答案为：否6【解答】解：当ABC满足条件ABC=90，四边形DEBF是正方形理由：DEBC，DFAB，四边形DEBF是平行四边形BD是ABC的平分线，EBD=FBD，又DEBC，FBD=EDB，则EBD=EDB，BE=DE故平行四边形DEBF是菱形，当ABC=90时，菱形DEBF是正方形故答案为：ABC=90三解答题（共4小题）7【解答】（1）证明：AFBC，EAF=EDB，E是AD的中点，AE=DE，在AEF和DEB中，&EAF=EDB&AE=DE&AEF=DEB，AEFDEB（ASA），AF=BD，在ABC中，BAC=90，AD是中线，AD=BD=DC=12BC，AD=AF；（2）解：四边形ADCF是正方形AF=BD=DC，AFBC，四边形ADCF是平行四边形，AB=AC，AD是中线，ADBC，AD=AF，四边形ADCF是正方形8【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，AEBD，四边形AEBD是平行四边形，AD=EB，BC=BE；（2）由（1）知：四边形AEBD是平行四边形，AF=BF=12AB，EF=FD，AD=2AF，AB=AD，ADEC，ADF=BCF，FEC=BCF，EF=FC=FD，FDC=FCD，ADF+FDC=FCD+BCF，即ADC=BCD，ADBC，ADC+BCD=180，BCD=90，四边形ABCD是正方形9【解答】解：四边形ABCD的顶点坐标分别是A（2，0）、B（0，2）、C（2，0）、D（0，2），OA=OB=OC=OD=2，即OA=OC，OB=OD且AC=BD=4，又ACBD，四边形ABCD是正方形10【解答】证明：（1）ABCD，AO=OC，ACE是等边三角形，EOAC （三线合一）即 BDAC，ABCD是菱形；（2）ACE是等边三角形，EAC=60由（1）知，EOAC，AO=OCAEO=OEO=30，AOE是直角三角形EAO=60，AED=2EAD，EAD=15，DAO=EAOEAD=45，ABCD是菱形，BAD=2DAO=90，菱形ABCD是正方形正方形的性质与判定培优练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共3小题）1下列说法中，正确的是（）A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B对角线互相平分的四边形是菱形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形D对角线相等的平行四边形是矩形2如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，得到下面四个结论：OA=OD；ADEF；当BAC=90时，四边形AEDF是正方形；AE2+DF2=AF2+DE2其中正确的是（）ABCD3如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A30B34C36D40二填空题（共3小题）4已知如图，ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且DAC=45，BD=1，CB=4，则AC长为 5如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，EDF是直角，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是 6如图，四边形ABCD中，已知AB=10，CD=12，对角线BD平分ABC，ADB=45，BCD=90，则边BC的长度为 三解答题（共4小题）7如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PMAD，PNAB，垂足分别为点M和N，PEPB交AD于点E（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM=BN8四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30时，直接写出EFC的度数9如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BEAC，CEDB求证：四边形OBEC是正方形10如果P是正方形ABCD内的一点，且满足APB+DPC=180，那么称点P是正方形ABCD的“对补点”（1）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，求证：点M是正方形ABCD的对补点；（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（1，1），C（3，3）除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明 参考答案一选择题（共3小题）1【解答】解：A、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误；B、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；故选：D2【解答】解：根据已知条件不能推出OA=OD，错误；AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，DE=DF，AED=AFD=90，在RtAED和RtAFD中，&AD=AD&DE=DF，RtAEDRtAFD（HL），AE=AF，AD平分BAC，ADEF，正确；BAC=90，AED=AFD=90，四边形AEDF是矩形，AE=AF，四边形AEDF是正方形，正确；AE=AF，DE=DF，AE2+DF2=AF2+DE2，正确；正确，故选：C3【解答】解：四边形ABCD是正方形，A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG在AEH、BFE、CGF和DHG中，&AE=BF=CG=DH&A=B=C=D&AH=BE=CF=DG，AEHBFECGFDHG（SAS），EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，四边形EFGH是菱形，BEF+BFE=90，BEF+AEH=90，HEF=90，四边形EFGH是正方形，AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，EH=FE=GF=GH=52+32=34，四边形EFGH的面积是：3434=34，故选：B二填空题（共3小题）4【解答】解：过A作AEDC于E，将AEC沿AC翻折得AFC，将ADE沿AD翻折得ADH，延长FC、HD交于G，则EAC=CAF，EAD=HAD，H=F=90，EAC+EAD=CAF+HAD，DAC=45，即EAC+EAD=45，HAF=90，四边形AHGF是矩形，AH=AE，AE=AF，AH=AF，四边形AHGF是正方形，AF=GH=GF，AB=AC，AEBC，BE=EC=2，由折叠得：FC=EC=2，HD=DE=3，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x1，在RtDGC中，DC2=DG2+GC2，52=（x1）2+x2，解得：x1=4，x2=3（舍），AF=x+2=4+2=6，RtACF中，AC=62+22=210故答案为：2105【解答】解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：大正方形的边长为12+8=20，小正方形的边长ED+DF=13，多边形ABCFDE的面积=14（大正方形的面积小正方形面积）=14（202132）=57.75故答案为：57.756【解答】解：如图，过点D作DEAB于点E；在ED上截取EF=EB，EG=EA；连接AG，BF；则BFE=AGE=45，BFD=DGA=135；BD平分ABC，且BCD=90，DE=DC=12，BE=BC；FBD+BDF=BDF+ADG=45，FBD=GDA；FBDGDA，BFDG=DFAG，即DGDF=BFAG；设BE=x，则DF=12x，EG=EA=10x；BF=2x，AG=2EG=2（10x），（x+2）（12x）=2（10x）2x，整理得：x210x+24=0，解得：x=4或6，即边BC的长度为4或6故答案为：4或6三解答题（共4小题）7【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，DAB=90，AC平分DAB，（1分）PMAD，PNAB，PMA=PNA=90，四边形MANP是矩形，（2分）AC平分D