高中数学 第二章 函数 2_4_1 函数的零点课件 新人教b版必修11

2 4 1函数的零点 第二章 2 4函数与方程 学习目标1 理解函数零点的概念 2 会求一次函数 二次函数的零点 3 初步了解函数的零点 方程的根 函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点函数零点的概念 函数的 零点 是一个点吗 答案 答案不是 函数的 零点 是一个数 一个使f x 0的实数x 实际上是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 思考2 函数一定都有零点吗 答案 答案不是 只有函数的图象与x轴有公共点时 才有零点 1 函数的零点如果函数y f x 在实数 处的值 即 则 叫做这个函数的零点 2 方程 函数 图象之间的关系方程f x 0 函数y f x 的图象 函数y f x 梳理 等于零 f 0 有实数根 与x轴有交点 有零点 3 二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系 题型探究 例1判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x 8x2 7x 1 解答 类型一求函数的零点 解存在 因为f x 8x2 7x 1 8x 1 x 1 所以方程 8x2 7x 1 0有两个实根 和1 即函数f x 8x2 7x 1的零点是 和1 解方程得x 6 x 2舍去 解答 求函数零点的两种方法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不易求根的方程f x 0 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 反思与感悟 x 0 令f x 0 即x3 1 0 x 1 解答 解 当a 0时 令y 0得x 2 解答 2 y ax 1 x 2 例2已知函数f x x2 2x 3 a 求实数a取何值时函数f x x2 2x 3 a 有两个零点 有三个零点 类型二函数零点个数的判断 解答 解令h x x2 2x 3 和g x a 分别作出这两个函数的图象如图所示 它们交点的个数即函数f x x2 2x 3 a的零点个数 若函数有两个零点 则a 0或a 4 若函数有三个零点 则a 4 引申探究若f x x2 2 x a 1有四个不同的零点 求a的取值范围 解令f x 0 得a 1 2 x x2 令y1 a 1 y2 2 x x2 f x x2 2 x a 1有四个不同的零点 y1 a 1 y2 2 x x2的图象有四个不同的交点 画出函数y 2 x x2的图象 如图所示 观察图象可知 0 a 1 1 所以1 a 2 解答 判断函数零点个数的三种方法 1 利用方程根 转化为解方程 有几个不同的实数根就有几个零点 2 利用函数的图象 画出y f x 的图象 判断它与x轴交点的个数 从而判断零点的个数 3 转化为两个函数图象交点问题 例如 函数F x f x g x 的零点个数就是方程f x g x 的实数根的个数 也就是函数y f x 的图象与y g x 的图象交点的个数 反思与感悟 跟踪训练2已知a R 讨论关于x的方程 x2 6x 8 a的实数解的个数 解令f x x2 6x 8 g x a 在同一坐标系中画出f x 与g x 的图象 如图所示 f x x 3 2 1 下面对a进行分类讨论 由图象得 当a1或a 0时 原方程实数解的个数为2 解答 例3已知关于x的二次方程ax2 2 a 1 x a 1 0有两个根 且一个根大于2 另一个根小于2 试求实数a的取值范围 类型三函数零点性质的应用 解答 解令f x ax2 2 a 1 x a 1 依题意知 函数f x 有两个零点 且一个零点大于2 一个零点小于2 f x 的大致图象如图所示 解得0 a 5 a的取值范围为 0 5 解决此类问题可设出方程对应的函数 根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号 建立不等式 使问题得解 当函数解析式中含有参数时 要注意分类讨论 反思与感悟 跟踪训练3已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的取值范围 解答 解由已知抛物线f x x2 2mx 2m 1的图象与x轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 画出示意图 得 当堂训练 1 下列各图象表示的函数中没有零点的是 答案 2 3 4 5 1 2 函数y x2 4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是A 0 2 2B 2 0 2C 0 2 2D 2 0 2 答案 2 3 4 5 1 解析 解析令x2 4 0 得x 2 故交点坐标为 2 0 所以函数的零点为 2 3 如果二次函数y x2 mx m 3有两个不同的零点 则m的取值范围是A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由题意 得 m2 4 m 3 0 即m2 4m 12 0 由二次函数的图象知m 6或m 2 4 若函数f x x2 ax b的零点是2和 4 则a b 答案 2 3 4 5 1 解析 解析 2 4是函数f x 的零点 f 2 0 f 4 0 2 8 5 若f x ax b b 0 有一个零点是3 则函数g x bx2 3ax的零点是 答案 解析 解析 3是f x ax b的一个零点 3a b 0 即b 3a g x bx2 3ax 3ax2 3ax 3ax x 1 g x 的零点是0 1 2 3 4 5 1 0 1 规律与方法 1 函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标 方程f x