高中数学 课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用 新人教版必修5.docVIP

【高考调研】2015年高中数学 课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用 新人教版必修51已知方程x2sina2xsinbsinc0有重根，则abc的三边a、b、c满足关系式()abacbb2accabc dcab答案b解析由0，得4sin2b4sinasinc0，结合正弦定理得b2ac.2在abc中，已知a30，且3ab12，则c的值为()a4 b8c4或8 d无解答案c解析由3ab12，得a4，b4，利用正弦定理可得b为60或120，从而解出c的值3在abc中，a60，ab2，且abc的面积sabc，则边bc的长为()a. b3c. d7答案a解析由sabc，得abacsina.即2ac，ac1，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosa22122213.bc.4在abc中，2acosbc，则abc是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等边三角形答案a解析方法一由余弦定理，得2ac.所以a2c2b2c2.则ab.则abc是等腰三角形方法二由正弦定理，得22rsinacosb2rsinc，即2sinacosbsinc.又sin(ab)sin(ab)2sinacosb，所以sin(ab)sin(ab)sinc.又abc，所以sin(ab)sinc.所以sin(ab)0.又0a，0b，则ab.所以有ab，则abc是等腰三角形讲评方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系方法二中，如果没有想到等式sin(ab)sin(ab)2sinacosb，那么就会陷入困境由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状5(2013安徽)设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sina5sinb，则角c()a. b.c. d.答案b解析3sina5sinb，3a5b.又bc2a，由可得，ab，cb.cosc.c.6已知锐角三角形的边长分别是3,5，x，则x的取值范围是()a1x b4xc1x4 d4x0，得x4.若x最大，则3252x20，得0x.又2x8，则4x.7在abc中，已知sinasinb1，c2b2bc，则三内角a、b、c的度数依次是_答案45、30、105解析ab，a2b2c22bccosa.2b2b2c22bccosa，又c2b2bc，cosa，a45，sinb，b30，c105.8在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c.若(bc)cosaacosc，则cosa_.答案解析由正弦定理，得(sinbsinc)cosasinacosc.化简得sinbcosasin(ac)0sinb1，cosa.9设锐角三角形abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，a2bsina.(1)求b的大小；(2)若a3，c5，求b.解析(1)由a2bsina，得sina2sinbsina，所以sinb.由abc为锐角三角形，得b.(2)根据余弦定理，得b2a2c22acosb2725457，所以b.10在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且2asina(2bc)sinb(2cb)sinc.(1)求a的大小；(2)若sinbsinc1，试判断abc的形状解析(1)由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosa.故cosa，又a(0，)，故a120.(2)由(1)得sin2asin2bsin2csinbsinc.又sinbsinc1，得sinbsinc.因为0b90，0c90，故bc.所以abc是等腰的钝角三角形11在abc中，已知b45，d是bc边上的一点，ad10，ac14，dc6，求ab的长解析在adc中，ad10，ac14，dc6，由余弦定理，得cosadc.adc120，adb60.在abd中，ad10，b45，adb60，由正弦定理，得.ab5.12在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，设s为abc的面积，满足s(a2b2c2)(1)求角c的大小；(2)求sinasinb的最大值解析(1)由题意可知absinc2abcosc，所以tanc.因为0c，所以c.(2)由已知sinasinbsinasin(ca)sinasin(a)sinacosasinasin(a).当abc为正三角形时取等号，所以sinasinb的最大值是.13在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且2asina(2bc)sinb(2cb)sinc.(1)求a的大小；(2)求sinbsinc的最大值解析(1)由已知，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosa.故cosa，a120.(2)由(1)，得sinbsincsinbsin(60b)cosbsinbsin(60b)故当b30时，sinbsinc取得最大值1.重点班选作题14在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知cos2c.(1)求sinc的值；(2)当a2,2sinasinc时，求b及c的长解析(1)因为cos2c12sin2c，及0c，所以sinc.(2)当a2,2sinasinc时，由正弦定理，得c4.由cos2c2cos2c1，及0cb，则b()a.b.c. d.答案a解析根据正弦定理，得asinbcosccsinbcosab等价于sinacoscsinccosa，即sin(ac).又ab，ac，b.故选a项2(2012北京)在abc中，若a2，bc7，cosb，则b_.答案4解析由余弦定理，得cosb，解得b4.3(2011湖北)设abc的内角，a，b，c所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角c_.答案解析由(abc)(abc)ab，整理，可得a2b2c2ab.cosc，c.4(2013北京)在abc中，a3，b2，b2a.(1)求cosa的值；(2)若c的值解析(1)因为a3，b2，b2a，所以在abc中，由正弦定理，得.所以.故cosa.(2)由(1)知，cosa，所以sina.又因为b2a，所以cosb2cos2a1.所以sinb.在abc中，sincsin(ab)sinacosbcosasinb.所以c5.5(2013江西)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知cosc(cosasina)cosb0.(1)求角b的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解析(1)由已知得cos(ab)cosacosbsinacosb0，即有sinasinbsinacosb0.因为sina0，所以sinbcosb0.又cosb0，所以tanb，又0b，所以b.(2)由余弦定理，有b2a2c22accosb.因为ac1，cosb，所以b23(a)2.又0a1，于是有b21，即b1.6(2013四川)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2cos2cosbsin(ab)sinbcos(ac)，(1)求cosa的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解析(1)由2cos2cosbsin(ab)sinbcos(ac)，得cos(ab)1cosbsin(ab)sinbcosb，即cos(ab)cosbsin(ab)sinb.则cos(abb)，即cosa.(2)由cosa，0ab，则ab，故b.根据余弦定理，有(4)252c225c()，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cosb.7(2013重庆)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求a；(2)设a，s为abc的面积，求s3cosbcosc的最大值，并指出此时b的值解析(1)由余弦定理，得cosa.又因0a，所以a.(2)由(1)得sina，又由正弦定理及a，得sbcsinaasinc3sinbsinc.因此，s3cosbcosc3(sinbsinccosbcosc)3cos(bc)所以，当bc，即b时，s3cosbcosc取最大值3.8(2012新课标全国)已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，acoscasincbc0.(1)求a；(2)若a2，abc的面积为，求b，c.解析(1)由acoscasincbc0及正弦定理，得sinacoscsinasincsinbsinc0.因为bac，所以sinasinccosasincsinc0.由于sinc0，所以sin(a).又0a，故a.(2)abc的面积sbcsina，故bc4.而a2b2c22bcosa，故b2c28.解得bc2.9(2012辽宁)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.角a，b，c成等差数列(1)求cosb的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinasinc的值解析(1)由已知2bac，abc180，解得b60，所以cosb.(2)方法一由已知b2ac，及cosb，根据正弦定理，得sin2bsinasinc.所以sinasinc1cos2b.方法二由已知b2ac，及cosb，根据余弦定理，得cosb，解得ac.所以acb60，故sinasinc.1已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边若a1，b，ac2b，则sinc_.答案1解析由ac2b，且abc得b，ac.由正弦定理，可得sina.又因为ab，所以a，故ca，sinc1.2(2009四川)在abc中，a、b为锐角，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且sina，sinb.(1)求ab的值；(2)若ab1，求a、b、c的值解析(1)a、b为锐角，sina，sinb，cosa，cosb.cos(ab)cosacosbsinasinb.0ab，ab.(2)由(1)知c，sinc.由正弦定理，得abc，即ab，cb.ab1，bb1，b1.a，c.3.如图所示，已知圆o的半径为1，点c在直径ab的延长线上，bc1，点p是圆o上半圆上的一个动点，以pc为边作等边三角形pcd，且点d与圆心分别在pc的两侧(1)若pob，试将四边形opdc的面积y表示成的函数；(2)求四边形opdc面积的最大值解析(1)在poc中，由余弦定理，得pc2op2oc22opoccos1222212cos54cos.ysopcspcd12sin(54cos)sincos2sin().(2)当，即时，ymax2.4已知周长l18，s6，c60，求a、b边解析周长l18，s6，c60，(方程思想的应用)整理(从解这个方程组的过程中掌握方法)将代入，得c2a2b224.、联立：消去c，整理得ab11.由、得a3，b8或a8，b3.5(2009浙江)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求abc的面积；(2)若c1，求a的值解析(1)因为cos，所以cosa2cos21，sina.又由3，得bccosa3，所以bc5.因此sabcbcsina2.(2)由(1)知，bc5.又c1，所以b5.由余弦定理，得a2b2c22bccosa20.所以a2.6(2012江苏)在abc中，已知3.(1)求证：tanb3tana；(2)若cosc，求a的值解析(1)证明：因为3，所以abaccosa3babccosb.即accosa3bccosb，由正弦定理知，从而sinbcosa3sinacosb.又因为0ab0，cosb0.所以tanb3tana.(2)因为cosc，0c0，故tana1，所以a.7在abc中，已知内角a，边bc2.设内角bx，周长为y.(1)求函数yf(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值解析(1)abc的内角和abc.由a，b0，c0，得0b应用正弦定理，知acsinbsinx4sinx，absinc4sin(x)因为yabbcac，所以y4sinx4sin(x)2(0x)(2)因为y4(sinxcosxsinx)24sin(x)2(x)，所以，当x，即x时，y取得最大值6.8(2010安徽)设abc是锐角三角形，a，b，c分别是内角a，b，c所对边长，并且sin2asin(b)sin(b)sin2b.(1)求角a的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bc)解析(1)因为sin2a(cosbsinb)(cosbsinb)sin2bcos2bsin2bsin2b，所以sina.又a为锐角，所以a.(2)由12，可得cbcosa12.由(1)知a，所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcosa，将a2及代入，得c2b252.由2，得(cb)2100，所以cb10.因此，c，b是一元二次方程t210t240的两个根解此方程并由cb知c6，b4.9(2010大纲全国)已知abc的内角a，b及其对边a，b满足abacotabcotb，求内角c.解析由abacotabcotb及正弦定理，得sinasinbcosacosb，sinacosacosbsinb.从而sinacoscosasincosbsinsin