2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 经典微课堂 突破疑难系列2 圆锥曲线教学案 理 北师大版.doc

突破疑难系列2 圆锥曲线解析几何研究的问题是几何问题，研究的方法是代数法(坐标法)因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，突破思维难点途径一“图形”引路，“斜率”搭桥高考示例方法与思维1.(2015全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线c：y与直线l：ykxa(a0)交于m，n两点(1)当k0时，分別求c在点m和n处的切线方程；(2)y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opmopn？(说明理由)解(1)xya0和xya0.(步骤省略)(2)存在符合题意的点证明如下：设p(0，b)为符合题意的点，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直线pm，pn的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入c的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.【关键点1：建立斜率之间的关系】当ba时，有k1k20，则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补，【关键点2：把斜率间的关系转化为倾斜角之间的关系】故opmopn，所以点p(0，a)符合题意【点评】破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出大致图形，把已知条件翻译到图形中，利用直线方程的点斜式或两点式，即可快速表示出直线方程；二是“转化”桥梁，即先把要证的两角相等，根据图形的特征，转化为斜率之间的关系，再把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，以及斜率公式即可证得结论.2.(2019全国卷)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连结qe并延长交c于点g，证明：()pqg是直角三角形；解(1)由题设得，化简得1(|x|2)，【关键点1：指明斜率公式中变量隐含的范围】所以c为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)设直线pq的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.记u，则p(u，uk)，q(u，uk)，e(u,0)于是直线qg的斜率为，方程为y(xu)由 得(2k2)x22uk2xk2u280.设g(xg，yg)，则u和xg是方程的解，故xg，由此得yg.从而直线pg的斜率为.【关键点2：利用斜率之积为1说明线段pq与pg的几何关系】所以pqpg，即pqg是直角三角形【点评】(1)求曲线的轨迹时务必检验几何图形的完备性，谨防增漏点；(2)几何关系的证明问题常转化为代数式的运算问题，此时常借助斜率公式、平面向量等实现数与形的转化.途径二“换元”转化，方便运算高考示例方法与思维(2019全国卷)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连结qe并延长交c于点g，()pqg是直角三角形；()求pqg面积的最大值()由()得|pq|2u，|pg|，所以pqg的面积s|pqpg|.【关键点1：分子分母同除以k2】设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号【关键点2：整体代换，指明范围】因为s在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，s取得最大值，最大值为.【关键点3：用活“对勾”函数及复合函数的单调性】因此，pqg面积的最大值为.【点评】基本不等式求最值的5种典型情况分析(1)s(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)(2)s(基本不等式)(3)s(基本不等式)(4)s(先分离参数，再利用基本不等式)(5)s(上下同时除以k2，令tk换元，再利用基本不等式).途径三性质主导，向量解题高考示例方法与思维(2019全国卷)已知点a，b关于坐标原点o对称，|ab| 4，m过点a，b且与直线x20相切(1)若a在直线xy0上，求m的半径；(2)是否存在定点p，使得当a运动时，mamp为定值？并说明理由.解(1)因为m过点a，b，所以圆心m在ab的垂直平分线上【关键点1：圆的几何性质】由已知a在直线xy0上，且a，b关于坐标原点o对称，【关键点2：圆的几何性质】所以m在直线yx上，故可设m(a，a)因为m与直线x20相切，所以m的半径为r|a2|.【关键点3：直线与圆相切的几何性质】由已知得|ao|2，又，【关键点4：圆的几何性质向量化】故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故m的半径r2或r6.(2)存在定点p(1,0)，使得|ma|mp|为定值理由如下：设m(x，y)，由已知得m的半径为r|x2|，|ao|2.由于，【关键点5：圆的几何性质向量化】故可得x2y24(x2)2，化简得m的轨迹方程为y24x.因为曲线c：y24x是以点p(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|mp|x1.因为|ma|mp|r|mp|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点p.【点评】从本题可以看出，圆的几何性质与数量关系的转化涵盖在整个解题过程中，向量在整个其解过程中起了“穿针引线”的作用，用活圆的几何性质可以达到事半功倍的效果.途径四设而不求，化繁为简高考示例方法与思维(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆c：1交于a，b两点，线段ab的中点为m(1，m)(m0)(1)证明：k0)在椭圆1内，1，解得0m，故k.(2)由题意得f(1,0)设p(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.【关键点2，设出点p，借助向量的建立变量间的关系，达到设而不求的目的】又点p在c上，所以m，从而p，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2|.将m代入得k1.所以l的方程为yx，代入c的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.【关键点3：借用根与系数的关系，达到设而不求的目的】所以该数列的公差为或.【点评】本