北师大版必修五 2.1　一元二次不等式的解法 学案.doc

2.1一元二次不等式的解法学习目标1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.4.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法知识点一一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式表达式ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，其中a0，a，b，c均为常数解集ax2bxc0(a0)解集是使f(x)ax2bxc的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2bxc0(a0)解集是使f(x)ax2bxc的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2bxc0(a0)解集是使f(x)ax2bxc的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2bxc0(a0)解集是使f(x)ax2bxc的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合思考下列不等式是一元二次不等式的有_x20；3x2x5；x35x60；ax25y0(a为常数)；ax2bxc0.答案解析是，符合定义；不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；不是，当a0时，它是一元一次不等式，当a0时，它含有两个变量x，y；不是，当a0时，不符合一元二次不等式的定义知识点二“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系b24ac000yax2bxc(a0)的图像ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2思考一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根_(填“相同”或“不相同”)答案相同知识点三一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集知识点四一元二次不等式的恒成立问题1一元二次不等式ax2bxc0的解集是r的等价条件是a0且0.2一元二次不等式ax2bxc0的解集是r的等价条件是a0且0(a0)或ax2bxc0)的解集，先求出一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，再根据函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用跟踪训练3已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x2，求关于x的不等式bx2ax10的解集解x2axb0的解集为x|1x2，1,2是方程x2axb0的两根由根与系数的关系得得代入所求不等式，得2x23x10.解得x或x1.bx2ax10的解集为x|x或x1题型四不等式恒成立问题例4对任意的xr，函数f(x)x2(a4)x(52a)的值恒大于0，则a的取值范围为_答案2a2解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)0恒成立，只需0即可，即(a4)24(52a)0，解得2a2.反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图像建立关于参数的不等式求解跟踪训练4对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是()a1x3bx1或x3c1x2dx1或x2答案b解析f(x)0，x2(a4)x42a0，即(x2)a(x244x)0，设g(a)(x2)a(x24x4)由题意知，即x1或x3.不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误例5若一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x3或x5，则ax2bxc0的解集为_错解由根与系数的关系得：代入得ax22ax15a0，x22x150，(x3)(x5)0，5x3.答案x|5x3错因分析式化为式，忽略了二次项系数a的符号，并非同解变形正解由根与系数的关系得：ax22ax15a0，又由解集的形式知a0，上式化为x22x150，(x3)(x5)0，x3或x5.误区警示1注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论2注意“三个二次”的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点1下面所给关于x的几个不等式：3x40；x2mx10；ax24x70；x20.其中一定为一元二次不等式的有()a1个b2个c3个d4个答案b解析一定是一元二次不等式2若不等式ax25xc0的解集为，则a，c的值为()aa6，c1ba6，c1ca1，c6da1，c6答案b解析易知a0，且3已知x1是不等式 2x26 x80的解，则 的取值范围是_答案 2或 4解析x1是不等式 2x26 x80的解，把x1代入不等式得 26 80，解得 4或 2.4不等式x23x40的解集为_答案(4,1)解析易得方程x23x40的两根为4,1，所以不等式x23x40的解集为(4,1)5已知关于x的不等式mx2(2m1)xm10的解集为空集，求实数m的取值范围解(1)当m0时，原不等式化为x10，x1，解集非空(2)当m0时，m，综上，m.1.解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图像的简图；由图像得