北师大版必修五 第二章 解三角形 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识 络，进一步巩固、深化所学知识.2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形3能解决三角形与三角变形的综合问题及实际问题1正弦定理及其推论设abc的外接圆半径为r，则(1)2r.(2)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.(3)sin a，sin b，sin c.(4)在abc中，ababsin asin b.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos a，b2 c2a22cacos b，c2a2b22abcos c.(2)cos a；cos b；cos c.(3)在abc中，c2a2b2c为直角；c2a2b2c为钝角；c2sin bab.()2在abc中，sin 2asin 2b2a2b.()类型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 如图，在abc中，abac2，bc2，点d在bc边上，adc45，求ad的长度考点 正弦、余弦定理解三角形综合题点 正弦、余弦定理解三角形综合解 在abc中，abac2，bc2，由余弦定理，得cos c，sin c.在adc中，由正弦定理，得，ad.反思与感悟 解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知a，b和c，由abc求c，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和c，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用abc，求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和a，应先用正弦定理求b，由abc求c，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求a，b，c.跟踪训练1 如图，在abc中，b，ab8，点d在bc边上，cd2，cosadc.(1)求sinbad；(2)求bd，ac的长考点 正弦、余弦定理解三角形综合题点 正弦、余弦定理解三角形综合解 (1)在adc中，因为cosadc，所以sinadc，所以sinbadsin(adcb)sinadccos bcosadcsin b.(2)在abd中，由正弦定理，得bd3.在abc中，由余弦定理，得ac2ab2bc22abbccos b825228549，所以ac7.类型二 三角形形状的判断例2 在abc中，若(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，试判断abc的形状考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变形判断三角形形状解 (a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)，2b2sin acos b2a2cos asin b，即a2cos asin bb2sin acos b.方法一 由正弦定理知a2rsin a，b2rsin b，sin2acos asin bsin2bsin acos b，又sin asin b0，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b.在abc中，02a2，02b2，2a2b或2a2b，ab或ab.abc为等腰三角形或直角三角形方法二 由正弦定理、余弦定理，得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20，即ab或a2b2c2，abc为等腰三角形或直角三角形反思与感悟 判断三角形形状的方法(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用abc这个结论跟踪训练2 在abc中，cos ，判断abc的形状考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变形判断三角形形状解 由已知得cos2，2cos21cos b，cos acos b，又0a，0b，ab，abc为等腰三角形类型三 三角形边、角、面积的求解例3 abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；(2)若b2，求abc的面积的最大值考点 面积与周长的最值或取值范围问题题点 面积的最值或取值范围解 (1)由正弦定理知，a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，得2rsin a2rsin bcos c2rsin csin b，即sin asin bcos csin csin b.又a(bc)，sin(bc)sin(bc)sin bcos csin csin b，即sin bcos ccos bsin csin bcos csin csin b，cos bsin csin csin b.sin c0，cos bsin b且b为三角形的内角，b.(2)sabcacsin bac，由正弦定理，得asin a2sin a，同理，得c2sin c，sabc2sin a2sin c2sin asin c2sin asin2sin a2(sin acos asin2a)sin 2a1cos 2asin1，当2a，即a时，sabc有最大值1.反思与感悟 该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，在通过定理进行边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等跟踪训练3 在abc中，a2c2b2ac.(1)求b的大小；(2)求cos acos c的最大值考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合解 (1)由a2c2b2ac，得a2c2b2ac.由余弦定理得cos b.又0b，所以b.(2)acb，所以ca,0a.所以cos acos ccos acoscos acoscos asin sin acos acos asin asin acos asin.因为0a，所以a，故当a，即a时，cos acos c取得最大值1.1在abc中，若b2sin2cc2sin2b2bccos bcos c，则abc的形状一定是( )a等腰直角三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等边三角形考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变形判断三角形形状答案 b解析 由正弦定理及已知条件，得sin2bsin2csin bsin ccos bcos c.sin bsin c0，sin bsin ccos bcos c，即cos(bc)0，即cos a0，0a0，sin a.cos b0，sin b.sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b.由正弦定理知，c.4.如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面墙的夹角为60(即c60且两面墙的长度足够大)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(即ab长为6米)，记abc.当105时，求所建造的三角形露天活动室的面积考点 解三角形求面积题点 先用正弦定理求边或角再求面积解 在abc中，化简得ac4sin (米)，bc4sin(60)(米)当105时，ac4sin 4sin 1054cos 15(米)，bc4sin(60)4sin 1654sin 15(米)所以sabcacbcsin 603(平方米)1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在abc中，ab等价于ab等价于sin asin b.2对所给条件进行变形，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用运用余弦定理时，要注意整体思想的运用一、选择题1在abc中，已知b3，c3，a30，则角c等于( )a30 b60或120c60 d120考点 正弦、余弦定理解三角形综合题点 正弦、余弦定理解三角形综合答案 d解析 由余弦定理可得a3，根据正弦定理有，故sin c，故c60或120.若c60，则b90c，而bc，不满足大边对大角，故c120.2已知a，b，c为abc的三边长，若满足(abc)(abc)ab，则c的大小为( )a60 b90c120 d150考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 c解析 (abc)(abc)ab，a2b2c2ab，即，cos c，c(0，180)，c120.3若abc的周长等于20，面积是10，a60，则角a的对边边长为( )a5 b6 c7 d8考点 面积与周长的最值或取值范围问题题点 面积与周长问题综合答案 c解析 abc20，bc20a，即b2c22bc400a240a，b2c2a240040a2bc，又cos a，b2c2a2bc.又sabcbcsin a10，bc40.由可知a7.4在abc中，b30，ab2，ac2，则abc的面积为( )a2 b.c2 或4 d. 或2考点 解三角形求面积题点 综合利用正弦、余弦定理求面积答案 d解析 方法一 如图，adabsin b0)，cd100，bcd8040120，bd2bc2cd22bccdcosbcd，3x2x210022100x，2x2100x10 0000，x250x5 0000，x100或x50(舍)10海上一观测站a测得南偏西60的方向上有一艘停止待维修的商船d，在商船d的正东方有一艘海盗船b正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船b距观测站10海里，20分钟后测得海盗船b位于距观测站20海里的c处，再经 分钟海盗船b到达商船d处考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离答案 解析 如图，过a作aebd于点e，由已知知ab10，bc30，ac20，cosacb，0acb0)，sabcab6，k1，三边长分别为a4，b3，c5.四、探究与拓展14在abc中，sin a，a10，则边长c的取值范围是( )a. b(10，)c(0,10) d.考点 正弦定理及其变形应用题点 正弦定理的变形应用答案 d解析 ，csin c，0c.15如图，在abc中，已知b，ac4，d为bc边上一点(1)若ad2，sdac2，求dc的长；(2)若abad，试求adc的周长的最大值考点 面积与周长的最值或取值范围问题题