北师大版选修21 第二章§5　夹角的计算 学案.doc

5夹角的计算学习目标1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解知识点一直线间的夹角思考1设s1，s2分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为s1，s2吗？答案不一定若l1，l2的方向向量的夹角为内的角时，l1与l2的夹角为s1，s2，否则为s1，s2思考2当两条直线平行时，它们的夹角是多少？答案0.梳理(1)共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为.(2)异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点a作abl2，我们把直线l1和直线ab的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示两条异面直线的夹角的范围为，当夹角为时，称这两条直线异面垂直综上，空间两条直线的夹角的范围是.(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2知识点二平面间的夹角思考若平面1与平面2平行，则它们的夹角是多少？答案0.梳理(1)平面间夹角的概念如图，平面1与2相交于直线l，点r为直线l上任意一点，过点r，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则l1l2r.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是.当夹角等于0时，两个平面重合；当夹角等于时，两个平面互相垂直(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定已知平面1与2的法向量分别为n1与n2.当0n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1与2的夹角等于n1，n2事实上，设平面1与平面2的夹角为，则cos|cosn1，n2|.知识点三直线与平面的夹角思考若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？答案不一定梳理(1)直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示(2)直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是0.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是.由此可得，直线与平面夹角的范围是.(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定设平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面所成的角为.当0n，a时，n，a；当n，a时，n，a.即sin|cosn，a|.1直线与平面的夹角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互余()2平面间的夹角的大小范围是.()3平面间的夹角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小()4若直线l?平面，则l与平面的夹角为0.()类型一直线间的夹角求解例1已知直线l1的一个方向向量为s1(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2(1,2，2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值考点题点解s1(1,0,1)，s2(1,2，2)，coss1，s20，s1，s2，直线l1与直线l2的夹角为s1，s2，直线l1与直线l2夹角的余弦值为.反思与感悟利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系因为两条直线的方向向量的夹角的范围是0，而两条直线的夹角的范围是，所以这两者不一定相等，还可能互补由于任意两条直线的夹角，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|coss1，s2|.跟踪训练1如图所示，在三棱柱oabo1a1b1中，平面obb1o1平面oab，o1ob60，aob90，且oboo12，oa，求异面直线a1b与o1a夹角的余弦值考点题点解以o为坐标原点，oa，ob所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系oxyz，则o(0,0,0)，o1(0,1，)，a(，0,0)，a1(，1，)，b(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，|.异面直线a1b与o1a夹角的余弦值为.类型二求平面间的夹角例2如图，已知abcd为直角梯形，dababc90，sa平面abcd，saabbc1，ad.求平面sab与平面scd夹角的余弦值考点题点解如图，以a为坐标原点，分别以ad，ab，as所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系axyz，则s(0,0,1)，d，c(1,1,0)，b(0,1,0)，(1,1，1)设平面scd的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，令z1，得n(2，1,1)易得是平面sab的一个法向量，且(1,0,0)，cos，n.设平面sab与平面scd的夹角为，则cos.反思与感悟利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出两平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)确定平面间夹角的大小跟踪训练2如图，在四棱锥sabcd中，sd底面abcd，abdc，addc，abad1，dcsd2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc.(1)证明：se2eb；(2)求平面ade与平面cde夹角的大小考点题点(1)证明以d为坐标原点，da，dc，ds所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则d(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,2,0)，s(0,0,2)，(0,2，2)，(1,1,0)，(0,2,0)设平面sbc的一个法向量为m(a，b，c)由m，m，得令b1，则m(1,1,1)又设(0)，则e，.设平面edc的一个法向量为n(x，y，z)由n，n，得令x2，则n(2,0，)由平面edc平面sbc，得mn，mn0，20，即2，se2eb.(2)解由(1)知e，0，ecde.取线段de的中点f，则f，0，fade.向量与的夹角或其补角等于平面ade与平面cde的夹角计算得cos，故平面ade与平面cde夹角的大小为60.类型三直线与平面的夹角例3已知直线l的一个方向向量为s(1,0,0)，平面的一个法向量为n(2,1,1)，求直线l与平面夹角的正弦值考点题点解coss，n0，s，n，直线l与平面的夹角s，n，sinsincoss，n.即直线l与平面夹角的正弦值为.反思与感悟注意公式sin|cosn，a|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错跟踪训练3如图所示，已知直角梯形abcd，其中abbc2ad，as平面abcd，adbc，abbc，且asab.求直线cs与底面abcd夹角的余弦值考点题点解由题设条件知，以a为坐标原点，分别以ad，ab，as所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系axyz(如图所示).设ab1，则a(0,0,0)，b(0,1,0)，c(1,1,0)，d，s(0,0,1)(0,0,1)，(1，1,1)显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角为90，故有sincos，0，90，cos.1在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为()a.bc.d.或考点题点答案a解析由，知这两个平面夹角的余弦值为，故选a.2已知在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e是dc的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线ab1与ed1夹角的余弦值为()a.b.cd考点题点答案a解析a(2,2,0)，b1(2,0,2)，e(0,1,0)，d1(0,2,2)，(0，2,2)，(0,1,2)，|2，|，0242，cos，直线ab1与ed1夹角的余弦值为.3在直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则直线bm与直线an夹角的余弦值为_考点题点答案解析如图所示，以c为坐标原点，直线ca为x轴，直线cb为y轴，直线cc1为z轴建立空间直角坐标系cxyz.设cacbcc11，则b(0,1,0)，m，a(1,0,0)，n，故，所以cos，.4已知直线l1的一个方向向量为a(1，1,2)，直线l2的一个方向向量为b(3，2,0)，则两条直线夹角的余弦值为_考点题点答案解析据题意知cosa，b.5已知平面1的一个法向量为n1(1，1,3)，平面2的一个法向量为n2(1,0，1)，求这两个平面夹角的余弦值考点题点解n1(1，1,3)，n2(1,0，1)，cosn1，n20.故这两个平面夹角的余弦值为|cosn1，n2|.用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角一、选择题1若平面的一个法向量为n1(4,3,0)，平面的一个法向量为n2(0，3,4)，则平面与平面夹角的余弦值为()ab.c.d以上都不对考点题点答案b解析cosn1，n2，平面与平面夹角的余弦值为.2若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则直线l与平面夹角的余弦值为()ab.cd.考点题点答案d解析cosa，n，直线l与平面夹角的正弦值为，余弦值为.3如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn夹角的余弦值为()a.b.c.d.考点题点答案d解析方法一，()().而|.同理|.令为所求角，则cos.方法二如图，以d为坐标原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，m，c(0,1,0)，n，(1,0,0)，(0,1,0).故0101.|，|.设为所求角，cos.4在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，d在棱bb1上，且bd1，则直线ad与平面aa1c1c夹角的正弦值为()a.bc.d考点题点答案a解析取ac的中点e，连接be，则beac，以b为坐标原点，be，bb1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系bxyz，则a，d(0,0,1)，b(0,0,0)，e，则，.平面abc平面aa1c1c，平面abc平面aa1c1cac，beac，be?平面abc，be平面aa1c1c，为平面aa1c1c的一个法向量设直线ad与平面aa1c1c夹角为，cos，sin |cos，|.5在正四棱锥sabcd中，saab2，则直线ac与平面sbc夹角的正弦值为()a.b.c.d.考点题点答案c解析建立如图所示的空间直角坐标系由题意得a(1，1,0)，c(1,1,0)，b(1,1,0)，s(0,0，)(2,2,0)，(1，1，)，(1，1，)设平面sbc的一个法向量为n(x，y，z)，则令z，得x0，y2，n(0,2，)设直线ac与平面sbc所成的角为，则sin|cosn，|.6如图，已知空间四边形oabc的各边都相等，e，f分别为ab，oc的中点，则直线oe与bf夹角的余弦值为()a.b.c.d.考点题点答案d解析设a，b，c，且|a|b|c|1，则abbcca.(ab)，cb，|，(ab)(cb)acabbc|b|2，cos，.直线oe与bf夹角的余弦值为.二、填空题7如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m是c1c的中点，o是底面abcd的中心，p是a1b1上的任意点，则直线bm与op夹角的大小为_考点题点答案解析以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，设正方体棱长为2，a1px(0x2)，则o(1,1,0)，p(2，x,2)，b(2,2,0)，m(0,2,1)，(1，x1,2)，(2,0,1)所以0，所以直线bm与op夹角的大小为.8如图，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad90，且paad2，e，f分别是线段pa，cd的中点，则异面直线ef与bd夹角的余弦值为_考点题点答案解析以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系axyz，则e(0,0,1)，f(1,2,0)，b(2,0,0)，d(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.9在正方体abcda1b1c1d1中，a1b与平面bb1d1d夹角的大小为_考点题点答案30解析以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，设正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则a1(1,0,1)，b(1,1,0)，a(1,0,0)，c(0,1,0)连接ac，bd，则acbd，acbb1，bdbb1b，bd，bb1?平面bb1d1d，ac平面bb1d1d，是平面bb1d1d的一个法向量(0,1，1)，(1,1,0)，cos，60，a1b与平面bb1d1d夹角为906030.10如图，在空间四边形oabc中，oboc，aobaoc，则cos，的值为_考点题点答案0解析()|cos|cos|(|)0.cos，0.三、解答题11在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa13，用过a1，c1，b三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体abcda1c1d1.若a1c1的中点为o1，求异面直线bo1与a1d1夹角的余弦值考点题点解如图，以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz，则b(2,2,0)，d1(0,0,3)，a1(2,0,3)，o1(1,1,3)，(2,0,0)，(1，1,3)，(2,0,0)(1，1,3)2，|2，|.cos，.故异面直线bo1与a1d1夹角的余弦值为.12在直三棱柱a1b1c1abc中，acb90，d1，e1分别为a1b1，a1c1的中点，若bccacc1，求直线bd1与ae1夹角的余弦值考点题点解如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系cxyz.设|a，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，e1，d1，a2，|a，|a.cos，.直线bd1与ae1夹角的余弦值为.13如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab2，aa12，d是aa1的中点，bd与ab1交于点o，且co平面abb1a1.(1)证明：bcab1；(2)若ocoa，求直线cd与平面abc夹角的正弦值考点题点(1)证明由题意，四边形abb1a1是矩形，d为aa1的中点，ab2，aa12，ad，在rtabb1中，tanab1b.在rtabd中，tanabd，ab1babd.又bab1ab1b90，bab1abd90，即bdab1.又co平面abb1a1，ab1?平面abb1a1，coab1，又cobdo，co，bd?平面bcd，ab1平面bcd.bc?平面bcd，bcab1.(2)解如图，以o为坐标原点，分别以od，ob1，oc所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则a，b，c，b1，d.又2，c1，.设平面abc的一个法向量为n(x，y，z)根据可得n(1，)是平面abc的一个法向量设直线cd与平面abc的夹角为，则sin，直线cd与平面abc夹角的正弦值为.四、探究与拓展