（张祥）高考生物数学模型问题分析.doc

生物高考数学模型问题探讨分析江苏省扬中高级中学（212200）张祥 ()摘要：数理化生是典型的理科，数学是理科学习的工具学科，模型建构是学好理科的一个重要的方法，本文介绍了生物教学中数学建模的几个实例。1数学模型概念及类型1.1数学模型概念 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。1.2数学模型类型 生物学模型可以分为物质形式和思维形式两大类，物质模型分为真实模型、替代模型和人工模拟模型三种类型；思维形式模型分为物理模型、概念模型、数学模型和软件模型。1.2.1物质形式模型 真实模型.是自然界中实际存在的形式，如摩尔根用果蝇为对象进行遗传规律的研究的；替代模型指的是用替代品代替真实模型进行实验，如用猕猴代替人体进行疫苗研制、药物试验等；人工模拟实验是模拟真实环境进行实验，如生物圈II号就是模拟生物圈进行科学研究而设的。1.2.2思维形式模型 物理模型是以实物或图画形式反映形态结构或三维结构，如DNA双螺旋结构就是物理模型；概念模型是以图示、文字、符号等组成的流程图形式对事物的规律、机制进行描述，如光合作用示意图、中心法则等模型；数学模型是表达生命活动规律的计算公式、函数式、曲线图以及由实验数据绘制的柱状图、圆饼图。如酶的活性变化曲线、种群生长曲线等。软件模型是用计算机语言编写的，反映量变之间逻辑关系的运用生物程序。如弗里斯特对人口、工业、粮食、环境等综合研究生态系统，就是构建软件模型来研究的。2 关于遗传规律的计算题基因对性状的控制历来是学生难以理解和把握的内容，尤其是在遗传概率的的计算方面更是令学生头疼，常规的计算方法如棋盘法、十字相乘法、图表法等，这些方法在解决一些常规、简单的计算题方面还是非常实用而且有效的。但是一旦遇到一些较复杂的计算题，用常规方法计算起来不但复杂而且往往无从下手。这里试图通过构建数学模型，使我们能够从容的去应对一些较复杂的遗传概率计算题。21杂合体自交子代的纯合体和杂合体的比例问题例1：（上海高考题）基因型为Aa的植株，逐代自交3次，F3纯合体的比例是多少？常规解法：十字相乘法以及构建图表模型，以构建图表法为例来做一说明AaAAaaAAAAaaaaAaAAAAaaaaAaAAaa Aa自交第1次后 自交第2次后 自交第3次后从上面图表可清晰知道：F3纯合体的比例=1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8很显然这样做，也很明了、清晰，然而，如果把此题改成如下：例2：基因型为Aa的植株，逐代自交6次，F6纯合体的比例是多少？解析：如果再套用上面的构建图表模型的方法来计算就显得很复杂，我们可以根据上面计算中方法中存在的内在规律，就不难推出计算此类题目的数学模型：11/2n数学模型：纯合体概率（aa+AA）=11/2n2显性纯合体概率（AA） = 隐性纯合体概率（aa） = 杂合体的概率（Aa）= 1/2n参数的意义：n代表自交的代数 按照此模型上述两题就显得很简单了：F3纯合体的比例= 11/23 = 7/8F6纯合体的比例= 11/26 = 63/6422统计学概率计算公式“二项分布”在遗传概率计算中的应用例3：一对夫妇生三个小孩，生两个女孩的概率是多少？解析：这类题目若用我们常规的概率计算法简直觉得无从下手，若能将高二数学教材数学选修1-2中的“二项分布”运用到这类题目中来，那做起题来就会显得轻松且清晰明了。二项分布是指独立事件重复出现的可能性。构建数学模型：P（=k）=Cnk p k（1-p）n - k ,k=0,1,2,n 1214P32P22各参数的意义：k代表独立事件重复出现的次数、n代表试验的总个数、p代表该独立事件单独出现的概率、（n-k）代表其相对事件重复出现的次数、（1-p）代表其相对事件单独出现的概率；在此题中生女孩的概率p=1/2=生男孩的概率=1-p答案：P（=2）= C32 (1/22 )（1-1/2）3 -2 = = 3/8 若将此题做一个变化，如下：例4：一对夫妇生三个小孩，至少生两个女孩的概率是多少？解析：题意是至少两个，则根据上式可得到：数学模型：P（2）= P(=2) + P(=3)答案：同理可得出，至少生两个女孩的概率是= 3/8 + 1/8 = 1/22.3 与氨基酸缩合反应有关的计算题解决关于缩合反应过程中氨基酸的个数、肽链数、形成的肽键数和脱去的水分之间的数量关系。例5：血红蛋白的分子中，含有574个氨基酸和4条肽链，问在形成此蛋白质分子时，失去的水分子数和形成的肽键数分别是？解析：每两个氨基酸缩合脱去1分子水同时形成1个肽键，形成一条肽链时所失去的水分子数比构成此肽链的氨基酸数目少1个。根据此规律得出：数学模型：C=E=N-M 各参数的意义：C代表脱去的水分数、E代表肽键数、N代表氨基酸的数目、M代表肽链的条数答案：脱去的水分数=肽键数=氨基酸数目肽链数=574-4=57024关于蛋白质相对分子质量的计算例6：组成生物体某蛋白质的12种氨基酸的平均分子相对质量为120，一条含有3条肽链100个肽键的蛋白质的相对分子质量是多少？解析：根据例1建立的模型可求出氨基酸数目（M+E）及失去的水分子数（肽键数E），可得出：数学模型：B=（M+E） A E18各参数的意义：B代表蛋白质的相对分子量、E代表肽键数、M代表肽链的条数、A代表氨基酸的平均相对分子质量、18代表水分子的相对分子质量答案：蛋白质的相对分子量=（100+3）12010018=105602.5建立数学模型估算种群数量（标志重捕法）例7：在一农庄，第一次抓到45只某种田鼠进行标记，过段时间后再捕到36只，其中有15只标记鼠，问该农庄原有的此种田鼠的总数是多少？C模型成立的条件：标志个体在整个调查种群中均匀分布；调查期间没有迁入和迁出、没有新的死亡和出生D建立模型：A = B 1536各参数的意义；A代表该区域内此种田鼠的总数、B代表第一次标记鼠数量、C代表第二次重捕到的标记鼠的数量、D代表第二次重捕到鼠的总数答案：总数= 45=10826利用数学模型解决种群数量的增长（J型增长和S型增长）注：此方法在高中生物必修3稳态与环境第4章第2节“种群数量的变化”（P66）已做了较详细地介绍，这里不再述。2.7利用数学模型解决生态系统中流量流动的问题例8：在“棉花棉蚜食蚜蝇瓢虫麻雀”这条食物链中，如果棉花固定的太阳能总量是5109千焦，那么，麻雀最多能获得多少能量？模型成立的条件：相邻两个营养级之间能量的传递效率是相同的；由题意知麻雀要获得最多的能量，传递效率应按照20%来计算，可得出：建立模型：b = a （20%）n-m各参数的意义；b代表第n营养级获得的能量、a代表第m营养级的总能量、n 和m均代表营养级数（就本题而言，b代表第5营养级获得的能量、a代表第1营养级的总能量、n 和m分别代表第5和第1营养级）答案：麻雀获得的能量=5109（20%）5-1= 81062.9 在种群基因频率的计算中构建数学模型例9：如在一个动物种群中，基因型AA的个体所占比例为81%，问这个种群中基因型为aa的个体所占比例是多少？解析：这道题用书上所介绍的常规方法显然是无从下手的，可借助构建数学模型的方法来解决模型成立的条件： 该种群是动物类群 属有性繁殖体系 群体规模特别大 完全随即交配 没有发生突变 没有出现迁徙 不受自然选择的影响 构建模型：温迪-哈勃格定律 （p+q）2=1=p2+2pq+q2 P= p2 2Q=2pq R= q2 各参数的意义：p和q分别代表以对等位基因的基因频率、P代表显性纯合体的基因型频率、Q代表杂合体的基因型频率、R代表隐性纯合体的基因型频率答案：已知AA的频率为81%，得出：AA=81%=A2 推出：A=90% a=10% 结果：aa=（10%）2=1%210 在整个DNA分子中有关DNA两条链碱基数目的计算这一类的题目在高中生物计算中还是比较普遍的，如果抓不住一定的规律性，有关“遗传的物质基础”的这一类题目对学生来说难度还是较大。我结合教学实践，总结了以下数学模型：例10：一条双链DNA分子，G + C占全部碱基的44%，其中一条链的碱基中，26%是C，那么其互补链中的A和C分别占该链总碱基的百分比是多少？解析：在DNA双链中，碱基遵循互补配对原则，即G=C、A=T，则：数学模型：（C1+G1）%=（C2+G2）%=（C总+G总）%各参数的意义：数字1代表其中一条链、数字2代表其互补链、A G C T分别代表相应的碱基推出：C2=24% A2=30% 答案：（C总+G总）%=44%=（C1+G1）%=（C2+G2）%推出：（A2+G2）%=54% A1% = 26%C1% = 20%2.11 DNA复制中有关核苷酸和碱基数目的计算例11：一个DNA分子中有100个碱基对，其中有40个腺嘌呤。如果连续复制3次，参与到复制过程中的游离的胞嘧啶脱氧核苷酸的数目是多少？解析：只要求出一个DNA分子有多少个胞嘧啶。然后根据碱基互补配对原则：A=T、G=C建立模型：m=（2n1）a各参数的意义：m代表所需某种碱基的数目、n代表复制的次数、a代表一个DNA分子含有的某种核苷酸的数目答案：所需的胞嘧啶脱氧核苷酸的数目=（23-1）（1002-40）=4202.12基因控制蛋白质合成过程中有关DNA分子碱基数目的计算例12：牛胰岛素由51个氨基酸组成，则决定改蛋白质的基因中至少有多少个碱基？解析：中心法则 DNA（基因） mRNA 蛋白质（多肽） 双链 单链 碱基数 碱基数 氨基酸数 比例 6 ： 3 ： 1建立模型：DNA（基因）碱基数：mRNA：蛋白质氨基酸数目 = 6 ： 3 ：1答案：基因中的碱基数=516=306高中生物学科中涉及到数学建模远不止这些，限于篇幅，本文在此只做简要归纳。我们知道，实际问题是复杂多变的，数学建模需要学生具有一定的探索性和创造性。在生