人教版选修34 第十一章 第3节 简谐运动的回复力和能量 学案.doc

第3节简谐运动的回复力和能量1.如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。2回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置。3在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，振幅越大，机械能就越大。4简谐运动中，在平衡位置处动能最大，势能最小，最大位移处动能为0，势能最大。一、简谐运动的回复力1简谐运动如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。2回复力使振动物体回到平衡位置的力。3回复力的方向总是指向平衡位置。4回复力的表达式fkx。即回复力与物体的位移大小成正比，“”表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由简谐运动系统决定。二、简谐运动的能量1振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。2简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。1自主思考判一判(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。()(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。()(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。()(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零。()(5)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。()2合作探究议一议(1)简谐运动的回复力fkx中，k一定是弹簧的劲度系数吗？提示：不一定。k是一个常数，由简谐运动系统决定。对于一个特定的简谐运动系统来说k是不变的，但这个系统不一定是弹簧振子，k也就不一定是劲度系数。(2)在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？图1131提示：在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。 对回复力和加速度的理解1回复力的来源(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。2关于k值：公式fkx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。3加速度的特点：根据牛顿第二定律得ax，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。4回复力的规律：因xasin(t)，故回复力fkxkasin(t)，可见回复力随时间按正弦规律变化。典例 (多选)如图1132所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1k，k22k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在b、c间振动，o为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对o点的位移为x，则下列判断正确的是()图1132a物体做简谐运动，ocobb物体做简谐运动，ocobc物体所受合力fkxd物体所受合力f3kx思路点拨通过题图可以得到以下信息：(1)振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力的方向相同。(2)物体做简谐运动时其振动范围关于o点对称。解析物体的位移为x，则物体所受的合力fk1xk2x(k2k1)x3kx，d正确，c错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得ocob，a正确，b错误。答案ad判断一个振动为简谐运动的方法根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：(1)通过对位移的分析，列出位移时间表达式，利用位移时间图像是否满足正弦规律来判断。(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足fkx进行判断。(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征ax进行判断。 1(多选)关于回复力，下列说法正确的是()a回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力b回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供c回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力d振动物体在平衡位置时，其所受合力为零解析：选abc根据回复力的定义可知a正确；回复力是根据力的作用效果命名的，各种性质的力都可以提供回复力，所以b、c正确；振动物体的平衡位置是振动时受到的回复力为零的位置，回复力只是各个外力在振动方向上的合力，回复力等于零时，合力不一定为零，故d错误。2对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是()解析：选c由简谐运动的回复力公式fkx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图c所示。3.如图1133所示，弹簧振子b上放一个物块a，在a与b一起做简谐运动的过程中，关于a受力说法中正确的是()图1133a物块a受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力b物块a受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力c物块a受重力、支持力及b对它的恒定的摩擦力d物块a受重力、支持力及b对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力解析：选d物块a一定受重力、支持力作用，不受弹簧的弹力作用，在a、b一起做简谐运动的过程中，振子b对物块a的摩擦力为物块a振动的回复力，由kx(mamb)a，famaa可得fax，d正确。简谐运动中各物理量的变化规律1根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下：图1134振子的运动aooaaooa位移方向向右向左向左向右大小减小增大减小增大回复力方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大加速度方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大速度方向向左向左向右向右大小增大减小增大减小振子的动能增大减小增大减小弹簧的势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变2.各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。典例把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置o在a、b间振动，如图图1135所示，下列结论正确的是()图1135a小球在o位置时，动能最大，加速度最小b小球在a、b位置时，动能最大，加速度最大c小球从a经o到b的过程中，回复力一直做正功d小球从b到o的过程中，振子振动的能量不断增加思路点拨(1)细杆光滑，说明小球在振动过程中受重力、细杆的支持力、弹簧的弹力作用。(2)小球在简谐运动过程中只有弹簧弹力做功。解析小球在平衡位置o时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，a项正确；在最大位移a、b处，动能为零，加速度最大，b项错误；由ao，回复力做正功，由ob，回复力做负功，c项错误；由bo，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，d项错误。答案a有关简谐运动的两点提醒(1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，f、a、ep最大，ek0；在平衡位置，f0，a0，x0，ep0，而ek最大。(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。 1(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是()a振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相同b振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功c振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供d振子在运动过程中，系统的机械能守恒解析：选cd振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，a错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，应做正功，b错；振子运动的回复力由振子所受合力提供且运动中机械能守恒，故c、d对。2如图1136所示，一弹簧振子在a、b间做简谐运动，平衡位置为o，已知振子的质量为m。图1136(1)简谐运动的能量取决于_，本题中物体振动时_能和_能相互转化，总_守恒。(2)(多选)关于振子在振动过程中，以下说法中正确的是()a振子在平衡位置，动能最大，势能最小b振子在最大位移处，势能最大，动能最小c振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小d在任意时刻，动能与势能之和保持不变解析：(1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。(2)振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以b正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，d正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以a正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项c错误。答案：(1)振幅动弹性势机械能(2)abd简谐运动的三大特征1瞬时性做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由fkx可知回复力不同。由牛顿第二定律得ax，可知加速度a也不相同，也就是说a、f、x具有瞬时对应性。2对称性(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。(2)对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。3周期性简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：(1)若t2t1nt，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。(2)若t2t1nt，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、f、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。1如图1137甲所示为某个质点做简谐运动的xt图像，对图乙的下列判断正确的是()图1137a图(1)可作为vt图像b图(2)可作为ft图像c图(3)可作为ft图像d图(4)可作为at图像解析：选ct0时刻，振子在平衡位置，速度最大且沿x轴的正方向，故a错。根据回复力fkx和牛顿第二定律，加速度和回复力总与位移方向相反，且与位移大小成正比，所以c正确。2(多选)一个弹簧振子，做简谐运动的周期为t，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，若t2t1，如图1138所示，则()图1138at2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反b在t1t2的中间时刻，振子处在平衡位置c从t1到t2时间内，振子的运动方向不变d从t1到t2时间内，振子所受回复力的方向不变解析：选abc由题图可知t1、t2时刻的加速度大小相等、方向相反，a正确；且在t1t2的中间时刻，振子处于平衡位置，b正确；在t1t2时间内，振子的运动方向都沿y轴的正方向，故运动方向不变，c正确；从t1到t2时间内，位移方向发生了变，振子所受回复力的方向发生了变化，d错。本题的正确选项为a、b、c。3(多选)做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法中正确的是()a从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零b从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值c从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零d从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值解析：选ad相距半个周期的两个时刻，速度的大小相等，方向相反。因此由wmvt2mv020可知，a项正确，b项错误。由于在开始计时时速度的大小未知，由vv1(v1)2v1,0v1v可知，c项错误，d项正确。1(多选)关于简谐运动的动力学公式fkx，以下说法正确的是()ak是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度bk是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移c对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的性质决定d因为k，所以k与f成正比解析：选bck是回复力跟位移的比例常数，对弹簧振子系统，k是弹簧的劲度系数，由弹簧的性质决定，x是弹簧形变的长度，也是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，故b、c正确。2如图1甲所示，一弹簧振子在a、b间做简谐运动，o为平衡位置，如图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移时间图像，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是()图1解析：选c由题图乙可知，xasin t，弹簧振子做简谐运动，回复力fkx，由牛顿第二定律可知，asin t，可知选项c正确。3(多选)图2是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图像，则()图2a甲、乙物体的振幅分别是2 m和1 mb甲的振动频率比乙的大c前2 s内两物体的加速度均为负值d第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大解析：选bcd由图像知，甲、乙振幅分别为2 cm和1 cm，a错误；8 s内甲完成2次全振动，乙完成1次全振动，b正确；前2 s内，甲、乙的位移均为正，所以加速度均为负值，c正确；第2 s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，d正确。4做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 n；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为()a20 m/s2，向右b20 m/s2，向左c40 m/s2，向右 d40 m/s2，向左解析：选d加速度方向指向平衡位置，因此方向向左。由力和位移的大小关系fkx可知，当x40 cm时，f8 n，a40 m/s2，方向指向平衡位置，故d正确。5.如图3所示，竖直悬挂的弹簧振子做振幅为a的简谐运动，当物体到达最低点时，物体恰好掉下一半(即物体质量减少一半)，此后振动系统的振幅的变化为()图3a振幅不变b振幅变大c振幅变小d条件不够，不能确定解析：选b当物体到达最低点时掉下一半(即物体质量减少一半)后，新的系统将继续做简谐运动，机械能也是守恒的，所以还会到达原来的最低点。但是，由于振子质量的减少，新的平衡位置将比原来的平衡位置高，所以振幅变大。6. (多选)图4是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定()图4a从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小b从t2到t3时间内振幅不断增大ct3时刻振子处于平衡位置处，动能最大dt1、t4时刻振子的动能、速度都相同解析：选act1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，a正确；振幅是离开平衡位置的最大距离，简谐运动的振幅保持不变，从t2到t3，变化的是位移而不是振幅，b错误；t3时刻振子位移为零，处于平衡位置处，速度最大，动能最大，c正确；t1、t4时刻位移相同，即振子处于同一位置，但运动方向相反，速度等大反向，动能相同，d错误。7.如图5所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量m0.5 kg，弹簧劲度系数k240 n/m，将滑块从平衡位置o向左平移，将弹簧压缩5 cm，静止释放后滑块在a、b间滑动，则：图5(1)滑块加速度最大是在a、b、o三点中哪点？此时滑块加速度多大？(2)滑块速度最大是在a、b、o三点中哪点？此时滑块速度多大？(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3 j)解析：(1)由于简谐运动的加速度ax，故加速度最大的位置在最大位移处的a或b两点，加速度大小ax0.05 m