数学北师大版九年级上册猜想、证明与拓广.ppt

综合与实践 猜想 证明与拓广 西街初中柴晓娟 世界三大几何难题 平面几何作图限制只能用直尺 圆规 而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺 用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形 但有些图形如正七边形 正九边形就做不出来 有些问题看起来好像很简单 但真正做出来却很困难 这些问题之中最有名的就是所谓的世界三大几何难题 化圆为方 求作一正方形使其面积等于一已知圆 圆与正方形都是常见的几何图形 但如何作一个正方形和已知圆等面积呢 若已知圆的半径为1则其面积为 1 2 所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为 也就是用尺规做出长度为 1 2的线段 或者是 的线段 化圆为方 三等分任意角 对于某些角如900 1800三等分并不难 但是否所有角都可以三等分呢 例如600 若能三等分则可以做出200的角 那么正18边形及正九边形也都可以做出来了 注 圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为3600 18 200 其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的 倍立方 倍立方 求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍 世界三大几何难题解答反馈 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解 而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的 1637年笛卡儿创建解析几何以后 许多几何问题都可以转化为代数问题来研究 1837年旺策尔 Wantzel 给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明 1882年林得曼 Linderman 也证明了 的超越性 即 不为任何整数系数多次式的根 化圆为方的不可能性也得以确立 综合与实践 猜想 证明与拓广 西街初中柴晓娟 学习目标 1 知识与技能 经历猜想 证明 拓广的过程 增强问题意识和自主探索意识 获得探索和发现的体验 在问题解决过程中综合运用所学的知识 体会知识之间的内在联系 形成对数学的整体性认识 在探究过程中 感受由特殊到一般 数形结合的思想方法 体会证明的必要性 学习重点难点1 重点 通过对一个开放性 探究性的课题的探索 获得探索和发现的体验 体现归纳 综合和拓展 感悟处理问题的策略和方法 2 难点 处理问题的策略和方法 探究活动1 正方形的 倍增 问题 出示问题 任意给定一个正方形 是否存在另一个正方形 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 你准备怎么去做 你是怎么做的 你有哪些解决方法 你能提出哪些新的问题 猜想环节 猜想 不存在这样的正方形 它的周长与面积分别是已知正方形的2倍 2 4 4 4 16 8 2 解 设给定的正方形边长为a 则其周长是4a 面积是a2 证明环节 若周长倍增 即边长变为2a 则面积应为4a2 若面积倍增 即面积变为2a2 则其边长应为a 发现 无论从哪个角度考虑 都不存在这样的正方形 它的周长与面积分别是已知正方形的2倍 由于任意两个正方形都是相似的 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 所以周长比和面积比不可能同时为2 证明环节 结论 不存在这样的正方形 它的周长与面积分别是已知正方形的2倍 拓广环节 拓展1 刚才研究的是正方形的 倍增 问题 我们学过的其他图形是否也有这样的性质呢 你能大胆的拓展一下 提出新的问题吗 拓展2 刚才研究的是正方形的 倍增 问题 除了 倍增 问题 你还能提出哪些新的问题 探究活动2 矩形的 倍增 问题 出示问题 任意给定一个矩形 是否存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 思考 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形 比如长和宽分别为2和1 所求矩形的周长和面积应分别为12和4 如果已知矩形的长和宽分别为2和1 结论会怎样呢 你是怎么做的 和同伴交流 总结如下 有三种思路可以选择 1 先固定所求矩形的周长 将问题化为方程x 6 x 4是否有解的问题 2 先固定所求矩形的面积 将问题转化为方程x 4 x 6是否有解的问题 3 也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 所求矩形的周长和面积应分别为12和4 设其长和宽分别为x和y 则得方程组然后讨论它的解是否符合题意 猜想环节 1 从周长是12出发 看面积是否是4 如果设所求矩形的长为x 那么它宽为6 x 其面积为x 6 x 根据题意 得x 6 x 4 即x2 6x 4 0 如果这个方程有解 则说明这样的矩形存在 解这个方程得 2 从面积是4出发 看周长是否是12 解 如果设所求矩形的长为x 那么宽为4 x 其周长为 x 4 x 2 12 根据题意 得 x 4 x 2 12x 4 x 6 即x2 6x 4 0 显然这个方程有解 由此说明这样的矩形存在 解这个方程得 3 设其长和宽分别为x和y 则得方程组为 由x y 6得y 6 x代入xy 4中得x 6 x 4 即x2 6x 4 0 如果这个方程有解 则说明这样的矩形存在 解这个方程得 y x 6y 4 x 4 由方程组得函数 y x 6y 4 x 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 如果已知矩形的长和宽分别为3和1 4和1 5和1呢 结论会怎样呢 你是怎么做的 和同伴交流 活动说明 1 以四人小组为单位进行探究活动 2 每小组选一种情况进行说明 3 整理写出解答过程 做一做 猜想 存在这样的矩形 它的周长与面积分别是已知距形的2倍 证明环节1 分析 如果矩形的长和宽分别为n和1 那么其周长和面积分别为2 1 n 和n 所求矩形的周长和面积应分别为4 1 n 和2n 从周长是4 1 n 出发 看面积是否是2n 解 如果设所求矩形的长为x 那么它宽为2 1 n x 其面积为x 2 1 n x 根据题意 得x 2 1 n x 2n 即x2 2 1 n x 2n 0 解这个方程得 若从面积是2n出发 可得同样的结论 如果已知矩形的长和宽分别为n和1呢 结论会怎样呢 证明环节2 分析 如果矩形的长和宽分别为m和n 那么其周长和面积分别为2 m n 和mn 所求矩形的周长和面积应分别为4 m n 和2mn 从周长是4 m n 出发 看面积是否是2mn 解 如果设所求矩形的长为x 那么它宽为2 m n x 其面积为x 2 m n x 根据题意 得x 2 m n x 2mn 即x2 2 m n x 2mn 0 解这个方程得 若从面积是2mn出发 可得同样的结论 如果已知矩形的长和宽分别为m和n呢 结论会怎样呢 结论 存在这样的矩形 它的周长与面积分别是已知距形的2倍 总结反思 方法提炼 2 本节课学习的数学方法 猜想 证明 拓广 感受由特殊到一般 数形结合的数学思想 体会证明的必要性 1 本节课的问题解决综合运用了所学知识 体会知识之间的内在联系 总结反思 方法提炼 3 一个几何存在性问题 可以转化为方程是否有解的问题 两种列方程的思路源于优先 固定