苏州市吴中区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

江苏省苏州市吴中区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分；每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的字母填涂在答题卷相应的位置上 .） 1 值等于（ ） A B C D 2使 有意义的 x 的取值范围是（ ） A B C D 3一元二次方程 的根（ ） A ， B ， 2 C D 4如图，在 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A B C D 5二次函数 y=x 3 的图象的顶点坐标是（ ） A（ 1， 4） B（ 1， 4） C（ 1， 2） D（ 1， 2） 6如图，在 33 的方格中，点 A、 B、 C、 D、 E、 F 都是格点，从 A、 D、 E、 F 四点中任意取一点，以所取点及 B、 C 为顶点画三角形，所画三角形是直角三角形的概率是（ ） A B C D 7如图，是一个圆锥形纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为 5线长为 15么纸杯的侧面积为（ ） A 75 150 D 8下列命题是真命题的是（ ） A垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B经过半径外端的直线是圆的切线 C直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 D到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 9已知 a 是方程 x2+x 2015=0 的一个根，则 的值为（ ） A 2014 B 2015 C D 10如图，在平面 直角坐标系 ，直线 过点 A（ 6， 0）、 B（ 0， 6）， O 的半径为 2（ 点 P 是直线 的一动点，过点 P 作 O 的一条切线 Q 为切点，则切线长 ） A B 3 C 3 D 二、填空题：（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分；请将正确 答案填在相应的横线上） 11关于 x 的方程（ m 2） 4x+3=0 是一元二次方程，则 m 满足的条件是 12有一组数据如下： 2， 3， 4， 5， 6，则这组数据的极差是 13在 ，斜边 长是 8， ，则 长是 14已知关于 x 的一元二次方程 m 1） x+ =0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 15在 半径为 2 的圆中，弦 长为 2，则弧 长等于 16如图， O 的直径， C， D 两点在 O 上，若 0，则 度数为 17如果将抛物线 y=2x 1 向上平移，使它经过点 A（ 0， 3），那么所得新抛物线的表达式是 18如图，平行于 x 轴的直线 别交函数 y1=x0）与 （ x0）的图象于 B、 C 两点，过点 C 作 图象于点 D，直线 图象于点 E，则 = 三、解答题（本大题共 10小题，共 76分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： 20解方程： （ 1） 4x 4=0； （ 2） x（ x 2） =15 21先化简， 再求值：（ 9） ，其中 x= 1 22如图，抛物线 y=3x+k 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 4） （ 1） k= ； （ 2）点 A 的坐标为 ， B 的坐标为 ； （ 3）设抛物线 y=3x+k 的顶点为 M，求四边形 面积 23 2015 年 1 月，市教育局在全市中小学中选取了 63 所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和 兴趣特长五个维度进行了综合评价评价小组在选取的某中学 2015 2016 学年度七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图 根据上述信息，解答下列问题： （ 1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角 等于 ；补全统计直方图； （ 2）被抽取的学生还要进行一次 50 米跑测试，每 5 人一组进行在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她 俩在抽道次时抽在相邻两道的概率 24如图，海中有一灯塔 P，它的周围 8 海里内有暗礁海轮以 18 海里 /时的速度由西向东航行，在A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上；航行 40 分钟到达 B 处，测得灯塔 P 在北偏东 30方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 25某工厂一种产品 2014 年的产量是 100 万件，计划产量达到 121 万件假设 2014 年到这种产品产量的年增长率相同 （ 1）求 2014 年到这种产品产量的年增长率； （ 2） 2015 年这种产品的产量应达到多少万件？ 26如图，已知直线 l 与 O 相离， l 于点 A， ， O 相交于点 P， O 相切于点 B， 延长线交直线 l 于点 C （ 1）试判断线段 数量关系，并说明理由； （ 2）若 ，求 O 的半径和线段 长 27如图，抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y= x+3 交于 A， B 两点，交 x 轴与 D， C 两点，连接 C，已知 A（ 0， 3）， C（ 3， 0） （ ）求抛物线的解析式和 值； （ ）在（ ）条件下， P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 点 P 作 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 28如图，在 ， C=90， 2 2点 P 从点 C 开始沿 2 cm/ 移动，动点 Q 从点 A 开始沿 4cm/s 的速度向点 B 移动，动点 R 从点 B 开始沿 2cm/s 的速度向点 C 移动如果 P、 Q、 R 分别从 C、 A、 B 同时移动，移动时间为 t（ 0 t 6）s （ 1） 度数是 ； （ 2）以 直径的 O 与 于点 M，当 t 为何值时， O 相切？ （ 3）写出 面积 S 随动点移动时间 t 的函数 关系式，并求 S 的最小值及相应的 t 值； （ 4）是否存在 等腰三角形？若存在，求出相应的 t 值；若不存在请说明理由 江苏省苏州市吴中区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分；每小题只有一个选项是正确的，把正确选项前的字母填涂在答题卷相应的位置上 .） 1 值等于（ ） A B C D 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】 解： ， 故选： A 【点评】 本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值 2使 有意义的 x 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 二次根式有意义的条件 【分析】 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，解不等式即可 【解答】 解：根据题意得： 3x 10，解得 x 故选 C 【点评】 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数 是非负数 3一元二次方程 的根（ ） A ， B ， 2 C D 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可 【解答】 解：原方程左边配方，得（ x ） 2=0， x1= 故选 D 【点评】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 4如图，在 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 由 ，得到 = ，根据平行线分线段成比例得到 = ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 【解答】 解： ， = ， = ， = = ， = = ， =（ ） 2= 故选 A 【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 5二次函数 y=x 3 的图象的顶点坐标是（ ） A（ 1， 4） B（ 1， 4） C（ 1， 2） D（ 1， 2） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可 【解答】 解： y=x 3， =（ x+1） 2 4， 顶点坐标为（ 1， 4） 故选 A 【点评】 本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便 6如图，在 33 的方格中，点 A、 B、 C、 D、 E、 F 都是格点，从 A、 D、 E、 F 四点中任意取一点，以所取点及 B、 C 为顶点画三角形，所画三角形是直角三角形的概率是（ ） A B C D 【考点】 概率公式；勾股定理的逆定理 【分析】 找出从 A、 D、 E、 F 四点中任意取一点组成直角三角形的个数，再根据概率公式即可得出结论 【解答】 解： A、 B、 C； D、 B、 C； E、 B、 C 三种取法三点可组成直角三角形， 从 A、 D、 E、 F 四点中任意取一点，以所取点及 B、 C 为顶点画三角形是直角三角形的概率 = 故选 C 【点评】 本题考查的是概率公式，熟记随机事件 A 的概率 P（ A） =事件 A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键 7如图，是一个圆锥形纸杯的侧面展开图，已知圆锥 底面半径为 5线长为 15么纸杯的侧面积为（ ） A 75 150 D 【考点】 圆锥的计算 【分析】 圆锥的侧面积 =底面周长 母线长 2，把相应数值代入即可求解 【解答】 解：圆锥的侧面积 =21552=75 故选 A 【点评】 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算 方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长 8下列命题是真命题的是（ ） A垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B经过半径外端的直线是圆的切线 C直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 D到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 【考点】 命题与定理；切线的判定 【专题】 常规题型 【分析】 要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线 掌握切线的判定： 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线； 到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 【解答】 解： A、应经过此半径的外端，故本选项错误； B、应该垂直于此半径，故本选项错误 C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误； D、根据切线的判定方法，故本选项正确； 故选 D 【点评】 本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法 9已知 a 是方程 x2+x 2015=0 的一个根，则 的值为（ ） A 2014 B 2015 C D 【考点】 一元二次方程的解；分式的化简求值 【分析】 把 x=a 代入方程 x2+x 2015=0 求出 a2+a=2015，再化简所求代数式，得出= ，求出答案即可 【解答】 解： a 是方程 x2+x 2015=0 的一个根， a2+a 2015=0， a2+a=2015， = = = = 故选 D 【点评】 本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，正确化简分式是解决问题的关键 10如图，在平面直角坐标系 ，直线 过点 A（ 6， 0）、 B（ 0， 6）， O 的半径为 2（ 点 P 是直线 的一动点，过点 P 作 O 的一条切线 Q 为切点，则切线长 ） A B 3 C 3 D 【考点】 切线长定理 【分析】 连接 据勾股定理知 ，线段 短，即线段 短 【解答】 解：连接 O 的切线， 根据勾股定理知 当 ，线段 短； 又 A（ 6， 0）、 B（ 0， 6）， B=6， ， ， = ， 故选： D 【点评】 本题 考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题 二、填空题：（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分；请将正确答案填在相应的横线上） 11关于 x 的方程（ m 2） 4x+3=0 是一元二次方程，则 m 满足的条件是 m2 【考点】 一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义可得 m 20，再解即可 【解答】 解：由题意得： m 20， 解得： m2 【点评】 此题主要考查了一元二次方程 定义，关键是掌握二次项的系数不等于 0 12有一组数据如下： 2， 3， 4， 5， 6，则这组数据的极差是 4 【考点】 极差 【分析】 根据极差的定义即可求解 【解答】 解：由题意可知，极差为 6 2=4， 故答案为： 4 【点评】 本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值 13在 ，斜边 长是 8， ，则 长是 【考点】 解直角三角形 【分析】 在直角三角形中，将 值代入余弦值中，可求出 的长 【解答】 解：在 ， C=90， ， ， = ， ， 故答案为 【点评】 本题考查了解直 角三角形，应用余弦函数的定义来求直角三角形的边是解题的关键 14已知关于 x 的一元二次方程 m 1） x+ =0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 m 【考点】 根的判别式 【分析】 关于 x 的一元二次方程 m 1） x+ =0 有两个实数根，即判别式 =4即可得到关于 m 的不等式，从而求得 m 的范围 【解答】 解： x 的一 元二次方程 m 1） x+ =0 有两个实数根， =（ m 1） 2 41 ， 解得： m 故答案为： 【点评】 此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ 1） 0方程有两个不相等的实数根；（ 2） =0方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根 15在半径为 2 的圆中，弦 长为 2，则弧 长等于 【考点】 弧长的计算 【分析】 连接 出圆心角 度数，代入弧长公式求出即可 【解答】 解：连接 B=， 等边三角形， 0， 的长为： = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是 R，弧 n，则弧 长 = 16如图， O 的直径， C， D 两点在 O 上，若 0，则 度数为 50 【考点】 圆周角定理 【分析】 由 O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角， 度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得 度数 【解答】 解： O 的直径， 0， 0， 0 0， 0 故答案为： 50 【点评】 此题考查了圆周角定理此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键 17如果将抛物线 y=2x 1 向上平移，使它经过点 A（ 0， 3），那么所得新抛物线的表达式是 y=2x+3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 设平移后的抛物线解析式为 y=2x 1+b，把点 A 的坐标代入进行求值即可得到 b 的值 【解答】 解：设平移后的抛物线解析式为 y=2x 1+b， 把 A（ 0， 3）代入，得 3= 1+b， 解得 b=4， 则该函数解析式为 y=2x+3 故答案是： y=2x+3 【点评】 本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式会利用方程求抛物线与坐标轴的交点 18如图，平行于 x 轴的直线 别交函数 y1=x0）与 （ x0）的图象于 B、 C 两点，过点 C 作 y 轴的平行线交 图象于点 D，直线 图象于点 E，则 = 3 【考点】 二次函数综合题 【专题】 代数几何综合题 【分析】 设 A 点坐标为（ 0， a），利用两个函数解析式求出点 B、 C 的坐标，然后求出 长度，再根据 y 轴，利用 解析式求出 D 点的坐标，然后利用 出点 E 的坐标，从而得到 后求出比值即可得解 【解答】 解：设 A 点坐标为（ 0， a），（ a 0）， 则 x2=a，解得 x= ， 点 B（ ， a）， =a， 则 x= ， 点 C（ ， a）， y 轴， 点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ， 2=3a， 点 D 的坐标为（ ， 3a）， 点 E 的纵坐标为 3a， =3a， x=3 ， 点 E 的坐标为（ 3 ， 3a）， ， = =3 故答案为： 3 【点评】 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与 x 轴的点的纵坐标相同，平行于 y 轴的点的横坐标相同，求出用点 A 的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键 三、解答题（本大题共 10小题，共 76分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： 【考点】 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题；实数 【分析 】 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =2 1+1 =2 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20解方程： （ 1） 4x 4=0； （ 2） x（ x 2） =15 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）先计算判别式的值，然 后利用求根公式解方程； （ 2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程 【解答】 解：（ 1） =4 4） 2 41（ 4） =32， = =2 ， 所以 + ， ； （ 2）原方程可变形为 2x 15=0， （ x 5）（ x+3） =0， x 5=0 或 x+3=0， 所以 ， 3 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了公式法 21先化简，再求值：（ 9） ，其中 x= 1 【考点】 分式的化简求 值 【专题】 计算题 【分析】 原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 =（ x+3）（ x 3） =x（ x+3） =x， 当 x= 1 时，原式 =1 3= 2 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22如图，抛物线 y=3x+k 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 4） （ 1） k= 4 ； （ 2）点 A 的坐标为 （ 1， 0） ， B 的坐标为 （ 4， 0） ； （ 3）设抛物线 y=3x+k 的顶点为 M，求四边形 面积 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 （ 1）由于抛物线 y=2x+k 与 y 轴交于点 C（ 0， 3），代入解析式中即可求出 k； （ 2）由 y=0，得出方程，解方程即可得出结果； （ 3）把抛物线解析式化成顶点式求出顶点 边形 S 可得出结果 【解答】 解：（ 1）把点 C（ 0， 4）代入抛物线 y=3x+k 得： k= 4， 故答案为： k= 4； （ 2） y=3x 4， 当 y=0 时， 3x 4=0， 解得： x= 1，或 x=4， A（ 1， 0）， B（ 4， 0）； 故答案为：（ 1， 0），（ 4， 0）； （ 3） y=3x 4= ， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于 N，如图所示： 则四边形 面积 =S = = 四边形 面积是 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点，配方法，二次函数的性质解答（ 2）题时，求不规则图形的面积时，利用了 “分割法 ” 23 2015 年 1 月，市教育局在全市中小学中选取了 63 所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价评价小组在选 取的某中学 2015 2016 学年度七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图 根据上述信息，解答下列问题： （ 1）本次抽取的学生人数是 30 ；扇形统计图中的圆心角 等于 144 ；补全统计直方图； （ 2）被抽取的学生还要进行一次 50 米跑测试，每 5 人一组进行在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率 【考点】 列表法 与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率 【分析】 （ 1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可； （ 2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可 【解答】 解：（ 1） 620%=30，（ 30 3 7 6 2） 30360=123026=144， 答：本次抽取的学生人数是 30 人；扇形统计图中的圆心角 等于 144； 故答案为： 30， 144； 补全统计图如图所示： （ 2）根据题意列表如下： 设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道， 小红 小花 1 2 3 4 5 1 （ 2， 1） （ 3， 1） （ 4， 1） （ 5， 1） 2 （ 1， 2） （ 3， 2） （ 4， 2） （ 5， 2） 3 （ 1， 3） （ 2， 3） （ 4， 3） （ 5， 3） 4 （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） （ 5， 4） 5 （ 1， 5） （ 2， 5） （ 3， 5） （ 4， 5） 记小红和小花抽在相邻两道这个事件为 A， 【点评】 本题考查了列表法和树状图法求概率，频数分布直方图，扇形统计图，正确的识图是解题的关键 24如图，海中有一灯塔 P，它的周围 8 海里内有暗礁海轮以 18 海里 /时的速度由西向东航行，在A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上；航行 40 分钟到达 B 处，测得灯塔 P 在北偏东 30方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 几何图形问题 【分析】 易证 等腰三角形，过 P 作 得 长，与 6 海里比较大小即可 【解答】 解：过 P 作 8 =12 海里 0， 0 P=12 海里 在直角 ， P2 =6 海里 6 8 海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险 【点评】 本题主要考查了方向角 含义，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键 25某工厂一种产品 2014 年的产量是 100 万件，计划产量达到 121 万件假设 2014 年到这种产品产量的年增长率相同 （ 1）求 2014 年到这种产品产量的年增长率； （ 2） 2015 年这种产品的产量应达到多少万件？ 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 增长率问题 【分析】 （ 1）根据提高后的产量 =提高前的产量 （ 1+增长率），设年平均增长率为 x，则第一年的常量是 100（ 1+x），第二年的产量是 100（ 1+x） 2，即可列方程求得增长率 （ 2） 2015 年的产量是 100（ 1+x） 【解答】 解：（ 1） 2014 年到这种产品产量的年增长率 x，则 100（ 1+x） 2=121， 解得 0%， 去） 答： 2014 年到这种产品产量的年增长率 10% （ 2） 2015 年这种产品的产量为： 100（ 1+=110（万件） 答： 2015 年这种产品的产量应达到 110 万件 【点评】 考查了一元二次方程的应用，本题运用增长率（下降率）的模型解题读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键 26如图，已知直线 l 与 O 相离， l 于点 A， ， O 相交于点 P， O 相切于点 B， 延长线交直线 l 于点 C （ 1）试判断线段 数量关系，并说明理由； （ 2）若 ，求 O 的半径和线段 长 【考点】 直线与圆的位置关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）连接 据切线的性质和垂直的定义得出 0，推出 0， 0，求 出 据等腰三角形的判定推出即可； （ 2）延长 O 于 D，连接 圆半径为 r，则 B=r， r，根据 C 推出 52 2 ） 2（ 5 r） 2，求出 r，证 出关于 比例式，代入求出即可 【解答】 解：（ 1） C，理由如下： 连接 O 于 B， 0， 0， 0， B， C； （ 2）延长 O 于 D，连接 设圆半径为 r，则 B=r， r， 则 2 2 ） 2（ 5 r） 2， 52 2 ） 2（ 5 r） 2， 解得： r=3， C=4， 直径， 0= 又 ， ， ， 答：圆的半径是 3，线段 长为 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质 ，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度 27如图，抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y= x+3 交于 A， B 两点，交 x 轴与 D， C 两点，连接 C，已知 A（ 0， 3）， C（ 3， 0） （ ）求抛物线的解析式和 值； （ ）在（ ）条件下， P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 点 P 作 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ ）只需把 A、 C 两点的坐标代入 y= x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线 抛物线的交点 点 H ，如图 1易得 5， ， ，从而得到 0，然后根据三角函数的定义就可求出 值； （ ）过点 P 作 y 轴于 G，则 0设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x 0，则 PG=x，易得 0若点 G 在点 A 的下方， 当 ， 时可证得 据相似三角形的性质可得 x则有 P（ x，3 3x），然后把 P（ x， 3 3x）代入抛物线的解析式，就可求出点 P 的坐标 当 ， 理，可求出点 P 的坐标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点 P 的坐标； 【解答】 解：（ ）把 A（ 0， 3）， C（ 3， 0）代入 y= x2+mx+n，得 ， 解得： 抛物线的解析式为 y= x+3 联立 ， 解得： 或 ， 点 B 的坐标为（ 4， 1） 过点 B 作 x 轴于 H，如图 1 C（ 3， 0）， B（ 4， 1）， ， ， ， 3=1， H=1 0， 5， 同理： 5， ， 80 45 45=90， = = ； （ ）（ 1）存在点 P，使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 似 过点 P 作 y 轴于 G，则 0 设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x 0，则 PG=x 0， 0 若点 G 在点 A 的下方， 如图 2，当 ，则 0， = = x 则 P（ x， 3 3x）把 P（ x， 3 3x）代入 y= x+3