等差数列的性质

等差数列的性质等差数列的性质 班级 姓名 1 已知等差数列 an 前 9 项的和为 27 a10 8 则 a100 A 100 B 99 C 98 D 97 2 在等差数列 an 中 a3 a6 11 a5 a8 39 则公差 d 为 A 14 B 7 C 7 D 14 3 已知数列 an 中 an 1 3Sn 则下列关于 an 的说法正确的是 A 一定为等差数列 B 一定为等比数列 C 可能为等差数列 但不会为等比数列 D 可能为等比数列 但不会为等差数列 4 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 Sn 30 S2n 100 则 S3n A 130 B 170 C 210 D 260 5 已知正项等差数列 an 满足 a1 a2017 2 则的最小值为 22016 11 aa A 1 B 2 C 2016 D 2018 6 已知数列 an 为等差数列 若 且它们的前 n 项和 Sn有最大值 则使得 Sn 0 的 n 的 11 10 a a 1 最大值为 A 11 B 19 C 20 D 21 7 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S9 0 S10 0 则中最大的是 239 1239 2 222 aaaa A B C D 1 2 a 5 5 2 a 6 6 2 a 9 9 2 a 8 等差数列 an bn 的前 n 项和分别为 Sn Tn 且 则使得为整数的正整数 745 3 n n Sn Tn n n a b 的 n 的个数是 A 3 B 4 C 5 D 6 9 设 Sn Tn分别是等差数列 an bn 的前 n 项和 若 n N 则 21 n n Sn Tn 5 6 a b A B C D 5 13 9 19 11 23 9 23 10 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 0 且 当 Sn取最大值时 n 的值为 6 5 9 11 a a A 9 B 10 C 11 D 12 11 已知数列 an 满足 an an 4 an 1 an 3 n N 那么必有 A an 是等差数列 B a2n 1 是等差数列 C a2n 是等差数列 D a3n 是等差数列 12 在等差数列 an 中 3 a3 a5 2 a7 a10 a13 24 则此数列前 13 项的和是 13 在等差数列 an 中 若 a4 a6 a8 a10 a12 120 则 2a10 a12的值为 14 an 为等差数列 前 n 项和为 Sn 若 S11 66 则 4a3 3a6 2a12 15 若等差数列 an 满足 a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当 n 时 an 的前 n 项和最大 16 在等差数列 an 中 a1 7 公差为 d 前 n 项和为 Sn 当且仅当 n 8 时 Sn取得最大值 则 d 的取值范 围为 17 已知数列 an 满足 1 求证 数列为等差数列 11 1 2 2 n n aa a 1 2 3 4 1 1 n a 2 求数列 an 的通项公式 3 令 证明 312 12 n n n aaa T aaa 3 4 n Tn 18 已知数列 an 中 a1 1 二次函数的对称轴为 2 1 1 2 2 n nn f xa xax 1 2 x 1 试证明是等差数列 并求 an 通项公式 2 n n a 2 设 an 的前 n 项和为 Sn 试求使得 Sn 3 成立的 n 值 并说明理由 2017 年年 09 月月 12 日等差数列的性质日等差数列的性质 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题一 选择题 共共 14 小题小题 1 已知等差数列 an 前 9 项的和为 27 a10 8 则 a100 A 100 B 99C 98D 97 解答 解 等差数列 an 前 9 项的和为 27 S9 9a5 9 1 9 2 9 2 5 2 9a5 27 a5 3 又 a10 8 d 1 a100 a5 95d 98 故选 C 2 在等差数列 an 中 a3 a6 11 a5 a8 39 则公差 d 为 A 14B 7C 7D 14 解答 解 a3 a6 11 a5 a8 39 则 4d 28 解得 d 7 故选 C 3 已知数列 an 中 an 1 3Sn 则下列关于 an 的说法正确的是 A 一定为等差数列 B 一定为等比数列 C 可能为等差数列 但不会为等比数列 D 可能为等比数列 但不会为等差数列 解答 解 an 1 3Sn Sn 1 Sn 3Sn Sn 1 4Sn 若 S1 0 则数列 an 为等差数列 若 S1 0 则数列 Sn 为首项为 S1 公比为 4 的等比数列 Sn S1 4n 1 此时 an Sn Sn 1 3S1 4n 2 n 2 即数列从第二项起 后面的项组成等比数列 综上 数列 an 可能为等差数列 但不会为等比数列 故选 C 4 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 Sn 30 S2n 100 则 S3n A 130 B 170C 210D 260 解答 解 因为数列 an 为等差数列 所以由等差数列性质可得 sn s2n sn s3n s2n 为等差数列 即 30 100 30 S3n 100 是等差数列 2 70 30 S3n 100 解得 S3n 210 故选 C 5 已知正项等差数列 an 满足 a1 a2017 2 则的最小值为 1 2 1 2016 A 1B 2C 2016 D 2018 解答 解 正项等差数列 an 满足 a1 a2017 2 a2 a2016 a1 a2017 2 则 2 当且仅当 a1 a2017时取等号 1 2 1 2016 2 2016 2 2016 2 2 2016 2 1 2017 2 2 故选 B 6 已知数列 an 为等差数列 若 且它们的前 n 项和 Sn有最大值 则使得 Sn 0 的 n 的最大值为 11 10 1 A 11B 19C 20D 21 解答 解 由可得 11 10 1 11 10 10 0 由它们的前 n 项和 Sn有最大值 可得数列的 d 0 a10 0 a11 a10 0 a11 0 a1 a19 2a10 0 a1 a20 a11 a10 0 使得 Sn 0 的 n 的最大值 n 19 故选 B 7 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S9 0 S10 0 则中最大的是 2 1 22 2 29 9 A B C D 2 1 25 5 26 6 29 9 解答 解 9 9 1 9 2 9 5 0 10 10 1 10 2 5 1 10 0 a5 0 a5 a6 0 a6 0 等差数列 an 中 a1 a2 a3 a4 a5 0 a6 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 则 2 1 22 2 23 3 24 4 25 5 故选 B 8 等差数列 an bn 的前 n 项和分别为 Sn Tn 且 则使得 为整数的正整数的 n 的个数是 7 45 3 A 3B 4C 5D 6 解答 解 等差数列 an bn an bn 1 2 1 2 1 2 1 2 又 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 7 45 3 7 7 2 1 45 2 1 3 66 2 4 经验证 当 n 1 3 5 13 35 时 为整数 则使得 为整数的正整数的 n 的个数是 5 故选 C 9 设 Sn Tn分别是等差数列 an bn 的前 n 项和 若 n N 则 2 1 5 6 A B C D 5 13 9 19 11 23 9 23 解答 解 由题意得 Sn Tn分别是等差数列 an bn 的前 n 项和 2 1 所以不妨设 Sn n2 Tn n 2n 1 所以 a5 S5 S4 25 16 9 b6 T6 T5 6 13 5 11 23 则 5 6 9 23 故选 D 10 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 0 且 当 Sn取最大值时 n 的值为 6 5 9 11 A 9B 10C 11D 12 解答 解 由题意 不妨设 a6 9t a5 11t 则公差 d 2t 其中 t 0 因此 a10 t a11 t 即当 n 10 时 Sn取得最大值 故选 B 11 已知数列 an 满足 an an 4 an 1 an 3 n N 那么必有 A an 是等差数列B a2n 1 是等差数列 C a2n 是等差数列D a3n 是等差数列 解答 解 an an 4 an 1 an 3 n N an 4 an 1 an 3 an an 5 an 2 an 4 an 1 an 6 an 3 an 5 an 2 an 6 an 3 an 3 an 数列 a3n 是等差数列 故选 D 12 在等差数列 an 中 3 a3 a5 2 a7 a10 a13 24 则此数列前 13 项的和是 A 13B 26C 52D 56 解答 解 由等差数列的性质可得 a3 a5 2a4 a7 a13 2a10 代入已知可得 3 2a4 2 3a10 24 即 a4 a10 4 故数列的前 13 项之和 S13 13 1 13 2 26 13 4 10 2 13 4 2 故选 B 13 在等差数列 an 中 若 a4 a6 a8 a10 a12 120 则 2a10 a12的值为 A 20B 22C 24D 28 解答 解 由 a4 a6 a8 a10 a12 a4 a12 a6 a10 a8 5a8 120 解得 a8 24 且 a8 a12 2a10 则 2a10 a12 a8 24 故选 C 14 an 为等差数列 前 n 项和为 Sn 若 S11 66 则 4a3 3a6 2a12 A 27B 54C 99D 108 解答 解 an 为等差数列 前 n 项和为 Sn S11 66 11a6 66 11 11 2 1 11 解得 a6 6 4a3 3a6 2a12 4 a1 2d 3 6 2 a1 11d 6a1 30d 18 6a6 18 54 故选 B 二 填空题二 填空题 共共 2 小题小题 15 若等差数列 an 满足 a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当 n 8 时 an 的前 n 项和最大 解答 解 由等差数列的性质可得 a7 a8 a9 3a8 0 a8 0 又 a7 a10 a8 a9 0 a9 0 等差数列 an 的前 8 项为正数 从第 9 项开始为负数 等差数列 an 的前 8 项和最大 故答案为 8 16 在等差数列 an 中 a1 7 公差为 d 前 n 项和为 Sn 当且仅当 n 8 时 Sn取得最大值 则 d 的取值范 围为 1 7 8 解答 解 Sn 7n 当且仅当 n 8 时 Sn取得最大值 1 2 即 解得 7 8 9 8 49 21 56 28 63 36 56 28 1 7 8 综上 d 的取值范围为 1 7 8 三 解答题三 解答题 共共 2 小题小题 17 已知数列 an 满足 1 2 1 2 1 1 2 3 4 1 求证 数列为等差数列 1 1 2 求数列 an 的通项公式 3 令 证明 1 1 3 4 解答 1 证明 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数列为等差数列 1 1 2 由 1 得 为等差数列 公差为 1 首项为 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 22 1 32 1 42 1 1 2 当 n 2 时 1 22 1 2 3 1 3 4 1 1 3 4 1 1 3 4 当 n 1 时 综上所述 1 1 1 22 3 4 1 3 4 3 4 18 已知数列 an 中 a1 1 二次函数 f x an x2 2 n an 1 x 的对称轴为 x 1 2 1 2 1 试证明 2nan 是等差数列 并求 an 通项公式 2 设 an 的前 n 项和为 Sn 试求使得 Sn 3 成立的 n 值 并说明理由 解答 证明 1 二次函数 f x an x2 2 n an 1 x 的对称轴为 x 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2n 1an 1 2nan 2 a1 1 2a1 2 2nan 是以 2 为首项 以 2 公差的等差数列 2nan 2 2 n 1 2n an n 2