2016北京市中考数学专题突破四：一元二次方程综合(含答案)

专题突破 (四 ) 一元二次方程综合 一元二次方程的综合运用 ， 一元二次方程的二次项系数不为零及整数根问题是一元二次方程综合题中的热点考查内容 2011 2015 年北京中考知识点对比 题型 年份 2011 2012 2013 2014 2015 题型 一次函 数与反 比例函 数综合 一次函 数与反 比例函 数综合 一元二 次方程 综合 一元二 次方程 综合 一次函数 与反比 例函数 综 合 1 2014北京 已知关于 x 的方程 (m 2)x 2 0(m 0) (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数 ， 求正整数 m 的值 2 2013北京 已知关于 x 的一元二次方程 2x 2k 4 0 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数 ， 且该方程的根都是整数 ， 求 k 的值 1 2015西城一模 已 知关于 x 的 一元二次方程 2(m 1)x m(m 2) 0. (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根； (2)若 x 2 是此方程的一个根 ， 求实数 m 的值 2 2015海淀二模 已知关于 x 的方程 4x 3a 1 0 有两个实数根 (1)求实数 a 的取值范围； (2)若 a 为 正整数 ， 求方程的根 3 2015朝阳一模 已知关于 x 的一元二次方程 6x k 3 0 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为大于 3 的整数 ， 且该方程的根都是整数 ， 求 k 的值 4 2014西城二模 已知关于 x 的一元二次方程 2x 3k 6 0 有两个不相等的实数根 (1)求实数 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数 ， 且该方程的根都是整数 ， 求 k 的值 5 2015海淀 已知关于 x 的一元二次方程 ( )m 2 x 2 0 有两个不相等的实数根 (1)求 m 的取值范围； (2)若 1， 求整数 m 的值 6 2015海淀一模 已知关于 x 的方程 x 2k 0(k 0) (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数 ， 求整数 k 的值 7 2014石景山二模 已知关于 x 的方程 (k 2)x (2k 1) 0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是 1， 请求出方程的另一个根 ， 并求以此两根为边长的直角三角形的周长 8 2015怀柔一模 已知关于 x 的一元二次方程 (4k 1)x 3k 3 0(k 是整数 ) (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数 ， 求 k 的值 参考答案 北京真题体验 (1)证明：可知 4 (m 2)2 4 2 m 4m 4 8m 4m 4 (m 2)2 0. 方程总有两个实数根 (2)由公式法解方程可得： x b 2a （ m 2） （ m 2）2m 1； 2m. 由题意得方程的两个实数根均为整数 ， 又 m 为正整数 ， m 1 或 2. 2 (1)解得 m 0 且 m 2. (2)原方程的解为 x ( )m 2 ( )m 22m . x 1 或 x 2m. 1， 1. m 2. 又 m 0 且 m 2， 20， 方程总有两个不相等的实数根 (2)由求根公式 ， 得 x 1 92k . 2k， 1k. 方程的两个实数根都是整数 ， 且 k 是整数 ， k 1 或 k 1. 7 解： (1)证明： (k 2)2 4(2k 1) (k 2)2 40， 方程恒有两个不相等的实数根 (2)根据题意得 1 (k 2) (2k 1) 0， 解得 k 2， 则原方程为 4x 3 0， 解得另一个根为 x 3. 当该直角三角形的两直角边长是 1、 3 时 ， 由勾股定理得斜边的长为 10， 该直角三角形的周长为 4 10； 当该直角三角形的直角边长和斜边长分别是 1、 3 时 ， 由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为 2 2， 该直角三角形的周长为 4 2 2. 8 解： (1)证明： (4k 1)2 4k(3k 3) (2k 1)2. (4k 1)x 3k 3 0 是一元二次方程 ， k 0， k 是整数 ， k 12， 即 2k 1 0， (2k 1