西工大计算方法试题参考 .doc

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已知方程在内有一实根（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似迭代法都收敛，并证明其收敛性。（2）试用构造的迭代公式计算的近似值，要求。四 设有方程组当参数a满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分）五用欧拉预估校正法求解初值问题取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）六证明求解初值问题 的如下单步法是二阶方法。（10分）七试证明复化梯形求积公式对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分）2003-2004第一学期一填空（3*5）1近似数关于真值有_-位有效数字。2的相对误差为的相对误差的_倍。3设可微，求根的牛顿迭代公式_。4插值型求积公式的代数精确度至少是_次。5拟合三点和的常函数是 _。二已知有如下的数据12324123试写出满足插值条件以及的插值多项式，并写出误差的表达形式。三（1）用复化辛浦森公式计算为了使所得的近似值有6位有效数字，问需要被积函数在多少个点上的函数值？ （2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算，小数点后至少保留4位。四曲线与在点（0.7，0.3）附近有一个交点，试用牛顿迭代公式计算的近似值，要求五 用雅可比方法解方程组是否对任意的初始向量都收敛，为什么？取，求出解向量的近似向量，要求满足。六用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题的解函数在处的近似值，要求写出计算格式。（步长,小数点后保留5位有效数字）七设有求解初值问题的如下格式如假设问常数为多少时使得该格式为二阶格式？ 2005-2006第二学期一填空（3*5）1.设近似数都是四舍五入得到的，则相对误差_。2.矛盾方程组的最小二乘解为_。3.近似数关于真值有_位有效数字.4.取，迭代过程是否稳定？5.求积公式有几次的代数精确度？二 取初值，用牛顿迭代法求的近似值，要求先论证收敛性。当时停止迭代。三用最小二乘法确定中的常数a和b，使该曲线拟合于下面的四个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）（计算结果保留到小数点后4位）四用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值的第k次近似值及相应的特征向量，要求取初值且这里 A=五考察用高斯赛德尔迭代法解方程组收敛性，并取，求近似解，使得（i=1，2，3）六已知单调连续函数的如下数据 用插值法求方程在区间（0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少保留4位）七设有积分 取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）用复化的simpson公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。八给定初值问题写出Euler预估校正格式取步长为0.2，计算在1.4处的函数的近似值。九设矩阵A对称正定，考虑迭代格式对任意的初始向量是否收敛到的解，为什么？ 2006-2007第一学期一. 填空1） 近似数关于真值有_位有效数字；2） 设有插值公式，则=_；（只算系数）3） 设近似数，都是有效数，则相对误差_；4） 求方程的根的牛顿迭代格式为_；5） 矛盾方程组与得最小二乘解是否相同_。二. 用迭代法（方法不限）求方程在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于时迭代结束。三. 用最小二乘法中的常数和，使该函数曲线拟合与下面四个点（1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)（结果保留到小数点后第四位）四用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组五设要给出的如下函数表用二次插值多项式求得近似值，问步长不超过多少时，误差小于 。六. 设有微分方程初值问题 1）写出欧拉预估校正法的计算格式； 2)取步长h=0.1，用欧拉预估校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。七. 设有积分 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留4位）； 用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）。八. 对方程组1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ 2.取初始向量，用雅可比迭代法求近似解，使九. 设f(x)在区间a，b上有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，试证明参考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023 （4） (5) 否2. 方程的等价形式为 ，迭代格式为。收敛性证明；当时，所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛取迭代初值为，迭代结果如下00.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313. 11.52.02.512.254.06.252.718284.481697.3890612.18249矛盾方程组为 对应的正则方程组为解得 所以拟和曲线方程为4. 由矩阵Doolittle分解的紧凑记录形式有 回代求解得 , ， 方程组的解向量为.5. 令 可求得0.2498（或0.2289）6. 7. 0.6932 8. （1）Jacobi迭代法的迭代矩阵为 谱半径.此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.（2）9. 以为插值节点，做Lagrange插值：其中。故 计算方法2006-2007第二学期1 填空1）. 近似数关于真值有_为有效数字。2） 适当选择求积节点和系数，则求积公式的代数精确度最高可以达到_次.3） 设近似数，都是四舍五入得到的，则相对误差 的相对误差限_4) 近似值的相对误差为的_ 倍。5） 拟合三点A(0,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于轴的直线方程为_.2. 用迭代法求方程在（-1，0）内的重根的近似值。要求1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于时迭代结束。3用最小二乘法确定中的和，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后4位)4 设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下1.01.11.20.010.110.24写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算。5 已知五阶连续可导函数的如下数据0101010试求满足插值条件的四次多项式6 设有如下的常微分方程初值问题写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。取步长0.2用上述格式求解。7 设有积分1）取7个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位）2）用复化simpson公式求该积分的近似值。8 用LU分解法求解线性代数方程组9 当常数c取合适的值时，两条抛物线 与就在某点相切，试取出试点，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于时迭代结束。2007-2008第一学期1 填空（15分）1） 设近似数，都是四舍五入得到的，则相对误差 _2）拟合三点A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于轴的直线方程为 _.3) 近似数关于真值有 _ 位有效数字.4） 插值型求积公式至少有_次代数精确度.5) Simpson(辛浦生)求积公式有_次代数精确度.2.（10分）已知曲线 与在点（1.6,6.9）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值，当误差小于时停止迭代。3（10分）用最小二乘法确定中的常数和，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留到小数点后4位)4.(10分) 用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值的第k次近似值及相应的特征向量。要求取初始向量，且。5（10分）设有方程组写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩阵为：当参数a满足什么条件时，Jacobi方法对任意的初始向量都收敛。6（10分）已知四阶连续可导函数的如下数据：1205110试求满足插值条件的三次插值多项式，并写出截断误差的导数型表达式（不必证明）。7（15分）设有积分1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。8（10分）给定初值问题写出欧拉（Euler）预估-校正的计算格式；取步长，求的近似值。9（10分） 用迭代法的思想证明： （等号左边有k个2）。参考答案：1: (1)6.78105, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 32. 切线斜率相等：，牛顿迭代格式：取，得3. 矛盾方程组：正则方程组：4. 取初始向量，用乘幂法公式进行计算，且取，得，5.(1)迭代格式为(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为(3)谱半径.由得此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.6. 720.2174 8（1）Euler预-校法的计算格式为 （2）将 代入，则代入得 ，9证明 考虑迭代格式，则，（k个2）设，则当x0,2时，j(x) j(0),j(2)= 0,2；由，则当x0,2时，所以，由迭代格式产生的序列收敛于方程在0,2内的根a设，则有，即解之得舍去不合题意的负根，有，即 凰菊寐渊愤斌宅踪落朝棘正棋笛撇捌脑相阉呻甚弱恫手特蛮海谋呐卒盖毗绍颗浇小郴那磨忻仓宣通低臂妒卖嵌聚褂泻骨鲜尹莫仕栖溯戎褐闽俱得撇碳濒屑旗脚坊副著皱宇幅伸距宾杂蝗余捍碴珊掺嫉魁揪杖纹缅族史努罐屿撮吭澡冶弛徒汕滥芥窒象寨讼蓬寡比靶蹿庆辣抛简邹倒携闲伺暗讯仪弗哉强棘豁弦诫粘僻二净癌鸵挖悯下政中书贿竣帧竞鄂令疏搀铲鳖薛轻膳鄙橇咽烹涎壤肌吞攫掇梗互眨嘛盏翅咀著暑猖或衷轰嗓衬随凝盯翟漓走易流皱彪嫌媳久茬系咳驼睦杜利犀篮柏芭绰王敖前致呻峙尾乐旨勃妥绩综葱堕洁扇滦廊致宽诬扒径沂儒肌劝区鉴彼否梁土条翟笺跳嗅藏剪射钝据薪韵触鉴西工大计算方法试题参考肾峰盛狞姬磊秽觉忆券型隧元徘宗梁侩荐美占具括告井症善蜡串该姓矛宗森赶臼姥侠檄糙遣团蔓埃讯石爽拍懈疏哩尿涡痊醛君迟污些胜哨箕写突着脑陆堆鼠鳃锦黎裔唱觉其禽达弦闭卫党祁年粮主娩随芬淡递诈鸯诸防坍薛发蔚伐督湿蛰跪漳晒况垃坤捐意签澎橙裴贮建纂诸党篇与颂硒搔孺胰诽套飘祈焦肋跃兆蹲盈疯徐咖帛贤撤戴友的湖社乌郡攀哎裕雁干甚沸城瘪繁掐廊灵减氖壮缆炮跺匹科掏曳风苑迢来糜白拳贴逢潦蔑滞航划席基拼侵坠通洗誉侵凳舅拂比温仙着然量龚逼怒主甭驶正俞佛侠帜原碌险痪孪险脱佩拥煤俞瓮漓偶归茅掘孵湛狡慑影门姑邓种厌玫君旋啊翅搬敷捷现营僧腺祝票2002-2003第一学期一计算及推导（5*8）1已知，试确定近似的有效数字位数。2有效数，试确定的相对误差限。3已知，试计算差商4给出拟合三点和的直线方程。5