第24题拓展试题

24 1 如图 抛物线 y x ax b 与 x 轴交于 A B 两点 对称轴为直线 x 1 2 且点 A 的坐标为 A 1 0 1 求抛物线的解析式 2 点 Q是抛物线上一点 若点 Q 到 y 轴的距离等于 AB 的长 求点 Q 的坐 标 3 若点 Q 在抛物线对称轴的右侧 点 P 为 y 轴上一点 以点 P A B Q 为顶点作 ABQP 将 ABQP 绕点 A 旋转 180 得平行四边形 AB Q P 那 么经过点 Q P A 三点的抛物线是否可由 1 的抛物线平移而得到 若行 请确定平移关系 若不行 请说明理由 解解 1 抛物线 y x ax b 的对称轴为直线 x 1 2 点 A 的坐标为 A 1 0 点 B 的坐标为 B 3 0 抛物线的解析式为 y x 1 x 3 x 2x 3 2 2 AB 4 则点 Q 到 y 轴的距离为 4 点 Q 的横坐标为 4 或 4 当 x 4 时 y 4 2 4 3 5 即点 Q 的坐标为 Q 4 5 2 当 x 4 时 y 4 2 4 3 21 即点 Q 的坐标为 Q 4 21 2 综上所述 满足题意的点 Q 有两点 Q 4 5 Q 4 21 12 3 点 Q 在对称轴的右侧 则点 Q 4 5 则点 P 0 5 点 Q 4 5 和点 Q 关于点 A 1 0 中心对称 点 Q x y 的坐标满足 x 4 2 1 y 5 2 0 x 6 y 5 第 24 1 题图 Q 6 5 同理可得 P 2 5 设经过三点 A Q P 的抛物线的解析式为 y ax bx c 2 由题意得 解之得 a 1 b 8 c 7 cba cba cba 245 6365 0 此抛物线的解析式为 y x 8x 7 2 抛物线 y x 2x 3 x 1 2 4 与抛物线 y x 8x 7 x 4 2 9 二次项相同 则 22 它们的形状相同 将抛物线 y x 2x 3 向左平移 5 个单位 再向下平移 5 个单位便可得到抛物线 2 y x 8x 7 2 2 如图 抛物线 y ax2 bx c 经过原点 O B 1 3 C 2 2 与 x 轴交于另 一点 N 1 求抛物线的表达式 2 若点 P 为抛物线上一点 当 PON 的面积最大时 求点 P 的坐标 3 连接 BC 若点 A 为 BC 所在直线与 y 轴的交点 是否存在点 P 使得 POA 的面积等于 PON 的面积的 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 15 8 请说明理由 第 24 2 题图 解 解 1 将 B C O 三点的坐标分别代入抛物线 y ax2 bx c 可得 0 224 3 c cba cba 解得 0 5 2 c b a 所求的抛物线为 y 2x2 5x 2 ON 的长是定值 当点 P 为抛物线的顶点时 PON 的面积最大 由得 8 25 4 5 252 22 xxxy 则该抛物线的顶点坐标为 8 25 4 5 则点 P 的坐标为 8 25 4 5 3 存在 设 BC 所在直线的表达式为 y kx b 将点 B C 的坐标代入可得 k 1 b 4 则 y x 4 把 x 0 代入 y x 4 得 y 4 点 A 0 4 把 y 0 代入得 x 0 或 xxy52 2 2 5 x 点 N 0 2 5 设点 P 的坐标为 x y 由 即 ONPO