第五讲几何的初步知识

1 第五讲第五讲 几何的初步知识几何的初步知识 教学目标 教学目标 1 掌握基本几何图与其三视图 展开图之间的关系 2 理解中心投影和平行投影的性质 3 理解是的视点 视角及盲区在简单的平面图和立体图中表示 4 了解直线 线段和射线等概概念的区别 两条相交直线确定一个交点 解线 段和与差及线段的中点 两点间的距离 角 周角 平角 直角 锐角 钝角 等概念 掌握两点确定一条直线的性质 角平分线的概念 度 分 秒的换算 几何图形的符号表示法 会根据几何语句准确 整洁地画出相应的图形 5 了解斜线 斜线段 命题 定义 公理 定理及平行线等概念 了解垂线 段最短的性质 平行线的基本性质 理解对顶角 补角 邻补角的概念 理解 对顶角的性质 同角或等角的补角相等的性质 掌握垂线 垂线段 点到直线 的距离等概念 会识辨别同位角 内错角和同旁内角 会用一直线截两平行线 所得的同位角相等 内错角相等 同旁内角互补等性质进行推理和计算 会用 同位角相等 内错角相等 或同旁内角互补判定两条直线平行 教学重难点 教学重难点 1 1 要正确判断简单几何体三视图 正确画出基本几何体的三视图 根据实例掌 握中心投影与平行投影的有关性质 根据实际问题画出视线 盲区 2 角的计算 平行线的应用 根据条件求线段长度或长度比 教学方法 启发引导式教学方法 启发引导式 教学课时 教学课时 3 3 课时课时 教学过程 教学过程 视图与投影视图与投影 回顾与思考回顾与思考 例题经典例题经典 展开与折叠展开与折叠 例例 1 1 小林同学在一个正方体盒子的每个面都写有一个字 分别是 我 喜 欢 数 学 课 其平面展开图如图所 2 示 那么在该正方体盒子中 和 我 相对的面所写的字是 解析 如图是一个正方体的展开图 与 我 相对的面不可能相邻 排出 喜 欢 二字 而 喜 与 数 相对 欢 与 课 相对 因此 我 与 学 相对 故 我 相对的面所写的字是 学 平行投影平行投影 例例 2 2 如图 画出在阳光下同一时刻旗杆 的影子 分析 在阳光下的投影是平行投影 由树高及影长确定了光线的方向 由此就 可画出旗杆在同一时刻的影子 中心投影的应用中心投影的应用 例例 3 3 如图 王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时 测得影子 CD 的长为 1 米 继续往前走 3 米到达 E 处时 测得影子 EF 的长为 2 米 已知王华的身 高是 1 5 米 那么路灯 A 的距离 AB 等于 A 4 5 米 B 6 米 C 7 2 米 D 8 米 解析 如图 GC BC AB BC GC AB GCD ABD DCGC DBAB 设 BC x 则 同理 得 1 1x 1 5 AB 2 5x 1 5 AB x 3 AB 6 1 1x 2 5x 1 3 1 1 5 AB 答案 B 点评 在解答相似三角形的有关问题时 遇到有公共边的两对相似三角形 往往会用到中介比 它是解题的桥梁 如该题中 1 5 AB 例题精讲例题精讲 例 1 平行投影中的光线是 A 平行的 B 聚成一点的 C 不平行的 D 向四面八方发散的 答案 A 例 2 在同一时刻 两根长度不等的柑子置于阳光之下 但它们的影长相等 那么这两根竿子的相对位置是 A 两根都垂直于地面 B 两根平行斜插在地上 C 两根竿子不平行 D 一 根到在地上 答案 C 例 3 有一实物如图 那么它的主视图 A B C D 答案 A 3 例 4 将一圆形纸片对折后再对折 得到如图 然后沿着图中的虚线剪开 得 到两部分 其中一部分展开后的平面图形是 答案 C 例 5 一电动玩具的正面是由半径为 1Ocm 的小圆盘和半径为 20 cm 的大圆盘依 右图方式连接而成的 小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动 大 圆盘不动 回到原来的位置 在这一过程中 判断虚线所示位置的三个圆内 所画的头发 眼睛 嘴巴位置正确的是 不妨动手试一试 答案 B 例 6 为解决楼房之间的挡光问题 某地区规定 两幢楼房间的距离至少为 40 米 中午 12 时不能挡光 如图 某旧楼的一楼窗台高 1 米 要在此楼正南方 40 米处再建一幢新楼 已知该地区冬天中午 12 时阳光从正南方照射 并且光线与 水平线的夹角最小为 30 在不违反规定的情况下 请问新建楼房最高多少米 结果精确到 1 米 732 1 3 414 1 2 解 过点 C 作 CE BD 于 E 作辅助线 1 分 AB 米40 CE 米40 阳光入射角为 30 DCE 30 在 Rt DCE 中 CE DE DCE tan 3 3 40 DE 水平线 A B C D 30 新 楼 1米 40 米 旧 楼 26 4 而 AC BE 1 米23 3 3 40 DE DB BE ED 米24231 答 新建楼房最高约米 24 线段 直线和角线段 直线和角 回顾与思考回顾与思考 知识点 知识点 一 直线 直线是几何中不加定义的基本概念 直线的两大特征是 直 和 向两方无限延伸 二 直线的性质 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 直线的这条 性质是以公理的形式给出的 可简述为 过两点有且只有一条直线 两直线相 交 只有一个交点 三 射线 1 射线的定义 直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线 2 射线的特征 向一方无限延伸 它有一个端点 四 线段 1 线段的定义 直线上两点和它之间的部分叫做线段 这两点叫做线段的 端点 2 线段的性质 公理 所有连接两点的线中 线段最短 五 线段的中点 1 定义如图 1 一 1 中 点 B 把线段 AC 分成两条相等的线段 点 B 叫做线 段图 1 1AC 的中点 2 表示法 AB BC 点 B 为 AC 的中点 或 AB MAC 2 1 点 B 为 AC 的中点 或 AC 2AB 点 B 为 AC 的中点 反之也成立 点 B 为 AC 的中点 AB BC 或 点 B 为 AC 的中点 AB AC 2 1 或 点 B 为 AC 的中点 AC 2BC 六 角 5 1 角的两种定义 一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角 要 弄清定义中的两个重点 角是由两条射线组成的图形 这两条射线必须有一 个公共端点 另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成 的图形 可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线 就形成了一个角 2 角的平分线定义 一条射线把一个角分成两个相 等的角 这条射线叫做这个角的平分线 表示法有三种 如图 1 2 1 AOC BOC 2 AOB 2 AOC 2 COB 3 AOC COB AOB 2 1 七 角的度量 度量角的大小 可用 度 作为度量单位 把一个圆周分 成 360 等份 每一份叫做一度的角 1 度 60 分 1 分 60 秒 八 角的分类 1 锐角 小于直角的角叫做锐角 2 直角 平角的一半叫做直角 3 钝角 大于直角而小于平角的角 4 平角 把一条射线 绕着它的端点顺着一个方向旋转 当终止位置和 起始位置成一直线时 所成的角叫做平角 5 周角 把一条射线 绕着它的端点顺着一个方向旋转 当终边和始边 重合时 所成的角叫做周角 6 周角 平角 直角的关系是 l 周角 2 平角 4 直角 360 九 相关的角 1 对顶角 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 这两个角 叫做对顶角 2 互为补角 如果两个角的和是一个平角 这两个角做互为补角 3 互为余角 如果两个角的和是一个直角 这两个角叫做互为余角 4 邻补角 有公共顶点 一条公共边 另两条边互为反向延长线的两个角 做互为邻补角 注意 互余 互补是指两个角的数量关系 与两个角的位置无关 而互为 邻补角则要求两个角有特殊的位置关系 十 角的性质 1 对顶角相等 2 同角或等角的余角相等 3 同角或等角的补角相等 十一 相交线 1 斜线 两条直线相交不成直角时 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 它们的交点叫做斜足 2 两条直线互相垂直 当两条直线相交所成的四个角中 有一个角是直角 时 就说这两条直线互相垂直 3 垂线 当两条直线互相垂直时 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线 它们的交点叫做垂足 6 4 垂线的性质 l 过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 2 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中 垂线段最短 简单说 垂线段最短 十二 距离 1 两点的距离 连结两点的线段的长度叫做两点的距离 2 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 3 两条平行线的距离 两条直线平行 从一条直线上的任意一点向另一条 直线引垂线 垂线段的长度 叫做两条平行线的距离 说明 点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离 它们与点到直线的垂线段是分不开的 十三 平行线 1 定义 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 3 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线 也互相平行 说明 也可以说两条射线或两条线段平行 这实际上是指它们所在的直线 平行 4 平行线的判定 1 同位角相等 两直线平行 2 内错角相等 两直线平行 3 同旁内角互补 两直线平行 5 平行线的性质 1 两直线平行 同位角相等 2 两直线平行 内错角相等 3 两直线平行 同旁内角互补 说明 要证明两条直线平行 用判定公理 或定理 在已知条件中有两条 直线平行时 则应用性质定理 6 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边 那么这两个角相等或互 补 注意 当角的两边平行且方向相同 或相反 时 这两个角相等 当角的 两边平行且一边方向相同另一方向相反时 这两个角互补 例题 例题 方法 1 利用特殊 点 和线段的长 例 1 已知 如图 1 3 C 是线段 AB 的中点 D 是线段 CB 的中点 BD 1 2cm 求 AD 的长 思路分析 由 D 是 CB 中点 DB 已知可求出 CB 再由 C 点 是 AB 中点可求出 AB 长 用 AB 减减去 DB 可求 AD 解 略 规律总结 利用线段的特殊点如 中点 比例点 求线段的长的方法是较 为简便的解法 方法 2 如何辨别角的个数与线段条数 例 2 如图 1 4 在线段 AE 上共有 5 个点 A B C D E 怎样才数出所有线段 7 思路分析 本问题如不认真审题会误以为有 4 点恰有 4 个空就是 4 条线段 即 AB BC CD ED 而如果从一个端点出发 再找出另一个端点确定线段 就会发现有 10 条线段 即 AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共 10 条 规律总结 此类型题如果做到不重不漏 最好方法是先从一个端点出发 再找出另一个端点确定线段 例 3 如图 1 一 5 指出图形中直 线 AB 上方角的个数 不含平角 思路分析 此题有些同学不认真分析误认为就 4 个角 其实共有 9 个角 即 AOC AOD AOE COD COE COB D OE DOB EOB 共 9 个角 规律总结 从一个顶点引出多条射线时 为了确定角的个数 一般按边顺 序分类统计 避免既不重复又不遗漏 方法 3 用代数法求角度 例 4 已知一个锐角的余角 是这个锐角的补角的 求这个角 6 1 思路分析 本题涉及到的角是锐角同它的余角及补角 根据互为余角 互 为补角的概念 考虑它们在数量上有什么关系 设锐角为 x 则它的余角为 90 x 它的补角为 180 x 这就可以列方程了 解 略 规律总结 有关余角 补角的问题 一般都用代数方