江苏省盐城市阜宁县2016届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 31 页） 2016 年江苏省盐城市阜宁县中考数学一模试卷 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 1 4 的算术平方根是（ ） A B C 2 D 2 2下列运算正确的（ ） A a2=a B a2a3=（ 2=（ 3a） 3=9下列说法正确的是（ ） A两名同学 5 次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定 B某班选出两名同学参加校演讲比 赛，结果一定是一名男生和一名女生 C学校气象小组预报明天下雨的概率为 明天下雨的可能性较大 D为了解我是学校 “阳光体育 ”活动开展情况，必须采用普查的方式 4与 最接近的整数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 5如图，已知 交于点 O， A=50， 05，则 C 等于（ ） A 20 B 25 C 35 D 45 6下列函数中，当 x 0 时， y 随 x 增大而增大的是（ ） A y= x B y= C y=3 2x D y=如图， 半圆的直径，点 D 是 的中点， 0，则 于（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 第 2 页（共 31 页） 8如图，菱形 顶点 C 的坐标为（ 3， 4）顶点 A 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为（ ） A 12 B 20 C 24 D 32 二、填空题（共 10小题，每小题 3分，满分 30分） 9反比例函数 中自变量 x 的取值范围 10分解因式： 22= 11一组数据 1， 3， 2， 5， 2， a 的众数是 a，这组数据的中位数是 12 “五一 ”期间，小明与小亮两家准备从古黄河入海口 、马荡风景区、金沙沪旅游度假区中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是 13已知圆心角为 150的扇形面积是 15此扇形的半径为 14已知 x= 1 是关于 x 的方程 24x+m=0 的一个根，则另一个根为 15如图， O 于点 B， ， 0，弦 弧 的弧长为 （结果保留 ） 16如图，在平面直角坐标系中，四边形 边长为 2 的正方形，顶点 A、 C 分别在 x， y 轴的正半轴上点 Q 在对角线 ，且 C，连接 延长 边 点 P则点 P 的坐标为 第 3 页（共 31 页） 17若定义： f（ x） = x， g（ y） =如 f（ 3） = 3， g（ 2） =4，则 gf（ 2） = 18如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A、 B 两点，拱桥最高点 C 到 距离为 9m， 6m， D、 E 为拱桥底部的两点，且 E 到直线 m，则 长为 m 三、解答题（共 9小题，满分 96分） 19（ 1）计算：（ 1） 2+ ； （ 2）计算：（ a+ ） （ 1+ ） 20（ 1）解方程： x 1=0； （ 2）解不等式组： 21已知：如图，在平行四边形 ，点 E、 F 在 ，且 F 求证：四边形 平行四边形 22如图， 半圆 O 的直径， C、 D 是半圆 O 上的两点，且 于点 E （ 1）若 B=70，求 度数； （ 2）若 ， ，求 长 第 4 页（共 31 页） 23为了解中考 体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级： A 级：优秀； B 级：良好； C 级：及格； D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答下列问题： （ 1）本次抽样测试的学生人数是 ； （ 2）图 1 中 的度数是 ，并把图 2 条形统计图补充完整； （ 3）该县九年级有学生 3500 名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 （ 4）测试老师想从 4 位同学（分别记为 E、 F、 G、 H，其中 E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率 24如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45方向、距离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东 60方向的 B 处 （ 1）求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离（结果用根号表示）； （ 2）若渔船以 20 海里 /小时的速度从 B 沿 向行驶，求渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间（结果精确到 时）（参考数据： 第 5 页（共 31 页） 25如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= （ k 0）交于 A， B 两点，且点 A 的横坐标为 4 （ 1）求 k 的值； （ 2）若双曲线 y= （ k 0）上一点 C 的纵坐标为 8，求 面积； （ 3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= （ k 0）于 P， Q 两点（ P 点在第一象限），若由点 A，B， P， Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标 26如图， 边长为 a 的等边三角形， （ 1）求证： （ 2）若 a=4，试探究当 何值时，四边形 面积最大； （ 3）已知 ，试证明四边形 圆内接四边形并求出此圆的直径 27如图，直线 y= 3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B，抛物线 y=a（ x 2） 2+k 经过点 A、 B，并与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P （ 1）求 a， k 的值； （ 2）证明：抛物线的对称轴与以 直径的圆一定相交，并求出交点 Q 的坐标； （ 3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M， N，使以 A， C， M， N 为顶点的 四边形为正方形，求此正方形的边长 第 6 页（共 31 页） 第 7 页（共 31 页） 2016年江苏省盐城市阜宁县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8小题，每小题 3分，满分 24分） 1 4 的算术平方根是（ ） A B C 2 D 2 【考点】 算术平方根 【分析】 直接利用算术平方根的定义得出即可 【解答】 解： 4 的算术平方根是 2 故选： D 【点评】 此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键 2下列运算正确的（ ） A a2=a B a2a3=（ 2=（ 3a） 3=9考点】 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】 根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则，分别进行各选项的判断即可 【解答】 解： A、 能直接合并，故本选项错误； B、 a2a3=式计算错误，故本选项错误； C、（ 2=算正确，故本选项正确； D、（ 3a） 3=27式计算错误，故本选项错误； 故选 C 【点评】 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则 3下列说法正确的是（ ） A两名同学 5 次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定 B某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生 C学校气象小组预报明天下雨的概率为 明天下雨的可能性较大 第 8 页（共 31 页） D为了解我是学校 “阳光体育 ”活动开展情况，必须采用普查的方式 【考点】 概率的意义；全面调查与抽样调查；方差 【专题】 压轴题 【 分析】 利用概率的意义、全面调查与抽样调查及方差的知识进行判断即可得到正确的答案 【解答】 解： A、根据方差的意义知方差越大越不稳定，故本选项错误； B、随机抽取可能是两男生或两女生，故本选项错误； C、降水概率大下雨的可能性就大，故本选项正确； D、学校范围较大，可以采用抽样调查的方法，故本选项错误； 故选： C 【点评】 本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查及方差的知识，知识点较多，但比较容易 4与 最接近的整数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 估算无理数的大小 【分析】 由于 4 5 9，由此根据算术平方根的概念可以找到 5 接近的两个完全平方数即可求解 【解答】 解： 4 5 9， 2 3 又 5 和 4 比较接近， 最接近的整数是 2 故选： C 【点评】 此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候， “夹逼法 ”是估算的一般方法，也是常用方法 5如图，已知 交于点 O， A=50， 05，则 C 等于（ ） A 20 B 25 C 35 D 45 【考点】 平行线的性质；三角形内角和定理 第 9 页（共 31 页） 【分析】 求出 B 的度数，根据平行线性质得出 C= B，代入求出即可 【解答】 解： A=50， 05， B=180 A 5， C= B=25， 故选 B 【点评】 本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：两直线平行，内错角相等 6下列函数中，当 x 0 时， y 随 x 增大而增大的是（ ） A y= x B y= C y=3 2x D y=考点】 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质 【分析】 根据一次函数、反比例函数和二次函数的单调性分别进行判断即可 【解答】 解：在 y= x 中， k= 1 0，则 y 随 x 的增大而减少，故 A 错误； 在 y= 中， k=1 0，当 x 0 时，在第一象限， y 随 x 的增大而减小，故 B 错误； 在 y=3 2x 中， k= 2 0，则 y 随 x 的增大而减小，故 C 错误； 在 y=，开口向上，对称轴为 x=0，所以当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大，故 D 正确； 故选 D 【点评】 本题考查了函数的增减性，掌握一次函数、反比例函数的增减性与 k 的关系，以及二次函数的增减性是解题的关键 7如图， 半圆的直径，点 D 是 的中点， 0，则 于（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 【考点】 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【专题】 计算题 第 10 页（共 31 页） 【分析】 连结 于点 D 是 的中点，即弧 据圆周角定理得 5，再根据直径所对的圆周角为直角得到 0，然后利用三角形内角和定理可计算出 度数 【解答】 解：连结 图， 点 D 是 的中点，即弧 而 0， 50=25， 半圆的直径， 0， 0 25=65 故选 C 【点评】 本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角 8如图，菱形 顶点 C 的坐标为（ 3， 4）顶点 A 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为（ ） A 12 B 20 C 24 D 32 【考点】 反比例函数综合题 第 11 页（共 31 页） 【分析】 过 C 点作 x 轴，垂足为 D，根据点 C 坐标求出 值，进而求出 B 点的坐标，即可求出 k 的值 【解答】 解：过 C 点作 x 轴，垂足为 D， 点 C 的坐标为（ 3， 4）， ， ， = =5， C=5， 点 B 坐标为（ 8， 4）， 反比例函数 y= （ x 0）的图象经过顶点 B， k=32， 故选： D 【点评】 本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点 B 的坐标，此题难度不大，是一道不错的习题 二、填空题（共 10小题，每小题 3分，满分 30分） 9反比例函数 中自变量 x 的取值范围 x0 【考点】 反比例函数的定义 【分析】 根据分母不为 0 可得 x 的取值范围 【解答】 解 ： 自变量 x 在分母上，分式的分母不为 0， x0 故答案为： x0 【点评】 本题结合分式的意义考查反比例函数自变量的取值范围；用到的知识点为：分式的分母不为 0 第 12 页（共 31 页） 10分解因式： 22= 2（ x+1）（ x 1） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案 【解答】 解： 22=2（ 1） =2（ x+1）（ x 1） 故答案为： 2（ x+1）（ x 1） 【点评】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式 进行二次分解，注意分解要彻底 11一组数据 1， 3， 2， 5， 2， a 的众数是 a，这组数据的中位数是 2 【考点】 中位数；众数 【分析】 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出 a 的值，将数据从小到大排列可得出中位数 【解答】 解： 1， 3， 2， 5， 2， a 的众数是 a， a=2， 将数据从小到大排列为： 1， 2， 2， 2， 3， 5， 中位数为： 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，属于基础题 12 “五一 ”期间，小明与小亮两家准备从古 黄河入海口、马荡风景区、金沙沪旅游度假区中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：分别用 A， B， C 表示古黄河入海口、马荡风景区、金沙沪旅游度假区，画树状图得： 第 13 页（共 31 页） 共有 9 种等可能的结果，两家抽到同一 景点的有 3 种情况， 两家抽到同一景点的概率是： = 故答案为： 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 13已知圆心角为 150的扇形面积是 15此扇形的半径为 6 【考点】 扇形面积的计算 【分析】 利用扇形面积公式直接代入求出 r 即可 【解答】 解： 扇形的圆心 角为 150，它的面积为 15 设扇形的半径为： r，则： 15= ， 解得： r=6 故答案为： 6 【点评】 此题主要考查了扇形面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键 14已知 x= 1 是关于 x 的方程 24x+m=0 的一个根，则另一个根为 3 【考点】 根与系数的关系 【分析】 设方程的另一个解为 t，根据根与系数的关系得到 1+t=2，然后解一次方程即可 【解答】 解：设方程的另一个解为 t， 根据题意得 1+t=2，解得 t=3 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了根与系数的关系 第 14 页（共 31 页） 15如图， O 于点 B， ， 0，弦 弧 的弧长为 （结果保留 ） 【考点】 切线的性质；含 30 度角的直角三角形；弧长的计算 【专题】 计算题 【分析】 连接 圆的切线，利用切线的性质得到三角形 直角三角形，根据30 度所对的直角边等于斜边的一半，由 出 长，且 60 度，再由 行，利用两直线平行内错角相等得到 60 度，又 C，得到三角形 等边三角形，确定出 60 度，利用弧长公式即可求出劣弧 长 【解答】 解：连接 圆 O 的切线， 0， 在 ， ， 0， ， 0， 0， 又 C， 等边三角形， 0， 则劣弧 长为 = 故答案为： 【点评】 此题考查了切线的性质，含 30 度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键 第 15 页（共 31 页） 16如图，在平面直角坐标系中，四边形 边长为 2 的正方形，顶点 A、 C 分别在 x， y 轴的正半轴上点 Q 在对角线 ，且 C，连接 延长 边 点 P则点 P 的坐标为 （ 2， 4 2 ） 【考点】 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质 【分析】 根据正方形的对角线等于边长的 倍求出 求出 后求出 似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 长，再求出 可得到点 P 的坐标 【解答】 解： 四边形 边长为 2 的正方形， C=2， ， C， B 2， 正方形 边 = ， 即 = ， 解得 2， B （ 2 2） =4 2 ， 点 P 的坐标为（ 2， 4 2 ） 故答案为：（ 2， 4 2 ） 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的 倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出 长是解题的关键 17若定义： f（ x） = x， g（ y） =如 f（ 3） = 3， g（ 2） =4，则 gf（ 2） = 9 【考点】 函数值 第 16 页（共 31 页） 【专题】 新定义 【分析】 根据 f（ x） = x， g（ y） =入数据可得答案 【解答】 解： gf（ 2） =g 3 =（ 3） 2 =9， 故答案为： 9 【点评】 本题考查了函数值，利用 f（ x） = x， g（ y） =解题关键 18如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A、 B 两点，拱桥最高点 C 到 距离为 9m， 6m， D、 E 为拱桥底部的两点，且 E 到直线 m，则 长为 48 m 【考点】 二次函数的应用 【专题】 压轴题 【分析】 首先建立平面直角坐标系， x 轴在直线 ， y 轴经过最高点 C，设 y 轴交于 H，求出 长，然后设该抛物线的解析式为： y=k，根据题干条件求出 a 和 k 的值，再令 y=0，求出 x 的值，即可求出 D 和 E 点的坐标， 长度即可求出 【解答】 解：如图所示，建立平面直角坐标系， x 轴在直线 ， y 轴经过最高点 C 设 y 轴交于点 H， 6， H=18， 由题可知： ， ， +7=16， 第 17 页（共 31 页） 设该抛物线的解析式为： y=k， 顶点 C（ 0， 16）， 抛物线 y=6， 代入点（ 18， 7） 7=1818a+16， 7=324a+16， 324a= 9， a= ， 抛物线： y= 6， 当 y=0 时， 0= 6， 16， 636=576 x=24， E（ 24， 0）， D（ 24， 0）， D=24， D+4+24=48， 故答案为： 48 【点评】 本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度一般，是一道非常好的试题 三、解答题（共 9小题，满分 96分） 19（ 1）计算：（ 1） 2+ ； （ 2）计算：（ a+ ） （ 1+ ） 【考点】 实数的运算；分式的 混合运算；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果； 第 18 页（共 31 页） （ 2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 =1+ 2= ； （ 2）原式 = = =a 1 【点评】 此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键 20（ 1）解方程： x 1=0； （ 2）解不等式组： 【考点】 解一元一次不等式组；解一元二次方程 【分析】 （ 1）利用配方法求出 x 的值即可 （ 2）分别求出各 不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】 解：（ 1）原式可化为（ x+4 4） 1=0，即（ x+2） 2=5， 两边开方得， x+2= ， 解得 2+ ， 2 ； （ 2） ， 由 得， x0，由 得， x 2， 故此不等式组的解集为： 0x 2 【点评】 本题考查的是解一元 一次不等式组，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则是解答此题的关键 21已知：如图，在平行四边形 ，点 E、 F 在 ，且 F 求证：四边形 平行四边形 第 19 页（共 31 页） 【考点】 平行四边形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论 【解答】 证明：如图，连接 对角线交于点 O 四边形 平行四边形， C， D F， C F 四边形 平行四边形 【点评】 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形 22如图， 半圆 O 的直径， C、 D 是半圆 O 上的两点，且 于点 E （ 1）若 B=70，求 度数； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理 【专题】 几何图形问题 【分析】 （ 1）根据圆周角定理可得 0，则 度数即可求得，在等腰 ，根据等边对等角求得 度数，则 可求得； （ 2）易证 中位线，利用中位线定理求得 长，则 可求得 【解答】 解：（ 1） 半圆 O 的直径， 0， 第 20 页（共 31 页） 又 0，即 0 B=90 70=20， B=70 D， = =55 5 20=35； （ 2）在直角 ， = = C， 又 B， 又 ， D 【点评】 本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明 中位线是关键 23为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级： A 级：优秀； B 级：良好； C 级：及 格； D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答下列问题： （ 1）本次抽样测试的学生人数是 40 ； （ 2）图 1 中 的度数是 54 ，并把图 2 条形统计图补充完整； 第 21 页（共 31 页） （ 3）该县九年级有学生 3500 名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 700 （ 4）测试老师想从 4 位同学（分别记为 E、 F、 G、 H，其中 E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）用 B 级的人数除以所占的百分比求出总人数； （ 2）用 360乘以 A 级所占的百分比求出 的度数，再用总人数减去 A、 B、 D 级的人数，求出 而补全统计图； （ 3）用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数； （ 4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可 【解答】 解：（ 1）本次抽样测试的学生人数是： =40（人）， 故答案为： 40； （ 2）根据题意得： 360 =54， 答：图 1 中 的度数是 54； C 级的人数是： 40 6 12 8=14（人）， 如图： 故答案为： 54； 第 22 页（共 31 页） （ 3）根据题意得： 3500 =700（人）， 答：不及格的人数为 700 人 故答案为： 700； （ 4）根据题意画树形图如下： 共有 12 种情况，选中小明的有 6 种， 则 P（选中小明） = = 【点评】 此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 24如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45方向、距离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛 南偏东 60方向的 B 处 （ 1）求渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离（结果用根号表示）； （ 2）若渔船以 20 海里 /小时的速度从 B 沿 向行驶，求渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间（结果精确到 时）（参考数据： 【考点】 解直角三角形的应 用 【专题】 几何图形问题 【分析】 （ 1）过点 M 作 点 D，根据 度数求出 5，再根据值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案； （ 2）在 ，根据 0，得出 0，再根据 值求出 值，最后根据路程 速度 =时间，即可得出答案 第 23 页（共 31 页） 【解答】 解：（ 1）过点 M 作 点 D， 5， 5， 80 海里， M90 （海里）， 答：渔船从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离是 90 海里； （ 2）在 ， 0， 0， 0 海里， =60 ， 60 20=3 =3时）， 答：渔船从 B 到达小岛 M 的航行时间约为 时 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键 25如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= （ k 0）交于 A， B 两点，且点 A 的 横坐标为 4 （ 1）求 k 的值； （ 2）若双曲线 y= （ k 0）上一点 C 的纵坐标为 8，求 面积； （ 3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= （ k 0）于 P， Q 两点（ P 点在第一象限），若由点 A，B， P， Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标 第 24 页（共 31 页） 【考点】 反比例函数综合题 【专题】 综合题；压轴题 【分析】 （ 1）先根据直线的解析式求出 A 点的坐标，然后将 A 点坐标代入双曲线的解析式中即可求出 k 的值； （ 2）由（ 1）得出的双曲线的解析式，可求出 C 点的坐标，由于 面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得（解法不唯一）； （ 3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以 A、 B、 P、 Q 为顶点的四边形应该是平行四边形，那么 面积就应该是四边形面积的四分之一即 6可根据双曲线的解析式设出 P 点的坐标，然后参照（ 2）的三角形面积的求法表示出 面积，由于 面积为 6，由此可得出关于 P 点横坐标的方程， 即可求出 P 点的坐标 【解答】 解：（ 1） 点 A 横坐标为 4， 把 x=4 代入 y= x 中 得 y=2， A（ 4， 2）， 点 A 是直线 y= x 与双曲线 y= （ k 0）的交点， k=42=8； （ 2）解法一：如图， 点 C 在双曲线上， 当 y=8 时， x=1， 点 C 的坐标为（ 1， 8） 过点 A、 C 分别做 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 M、 N，得矩形 S 矩形 2， S ， S ， S 第 25 页（共 31 页） S 矩形 S S S 2 4 9 4=15； 解法二：如图， 过点 C、 A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、 F， 点 C 在双曲线 上， 当 y=8 时， x=1， 点 C 的坐标为（ 1， 8） 点 C、 A 都在双曲线 上， S ， S 梯形 S 梯形 S 梯形 （ 2+8） 3=15， S 5； （ 3） 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形， Q， B， 四边形 平行四边形， S 平行四边形 = 24=6， 设点 P 的横坐标为 m（ m 0 且 m4）， 得 P（ m， ）， 过点 P、 A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、 F， 点 P、 A 在双曲线上， S ， 若 0 m 4，如图， S 梯形 S 梯形 （ 2+ ） （ 4 m） =6 ， 8（舍去）， 第 26 页（共 31 页） P（ 2， 4）； 若 m 4，如图， S 梯形 S 梯形 （ 2+ ） （ m 4） =6， 解得 ， 2（舍去）， P（ 8， 1） 点 P 的坐标是 P（ 2， 4）或 P（ 8， 1） 第 27 页（共 31 页） 【点评】 本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解 26如图， 边长为 a 的等边三角形， （ 1）求证： （ 2）若 a=4，试探究当 何值时，四边形 面积最大； （ 3）已知 ，试证明四边形 圆内接四边形并求出此圆的直径 【考点】 相似形综合题 【分析】 （ 1）只需找到两组对应角相等即可； （ 2）四边形 积 S 可以看成 面积之和，借助三角函数用 m 表示出 F、 长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题； （ 3）易知 是圆的直径，利用圆周角定理将 化为 ，知道 C、 过解直角三角形就可求出 【解答】 解：（ 1）