陕西省西安市莲湖区2016届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 30 页） 2016 年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷 一、选择题（共 10小题，每小题 3分，计 30分） 1下列各数中，比 2 小的是（ ） A 1 B 0 C 3 D 2下列计算正确的是（ ） A 4 a4+a3=（ 5= （ a b） 2=如图，在 ， C，过 A 点作 10，则 大小为（ ） A 30 B 40 C 50 D 70 4不等式组 的解集是（ ） A 1 x 2 B 1 x2 C 1 x2 D 1 x3 5如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ） A B C D 6当 x=1 时， ax+b+1 的值为 2，则（ a+b 1）（ 1 a b）的值为（ ） A 16 B 8 C 8 D 16 7一次函数 y= x+a 3（ a 为常数）与反比例函数 y= 的图象交于 A、 B 两点，当 A、 B 两点关于原点对称时 a 的值是（ ） A 0 B 3 C 3 D 4 第 2 页（共 30 页） 8如图，在五边形 ， A+ B+ E=300， 别平分 P 的度数是（ ） A 60 B 65 C 55 D 50 9如图，若锐角 接于 O，点 D 在 O 外（与点 C 在 侧），则下列三个结论： C D； C D； C D 中，正确的结论为（ ） A B C D 10对于二次函数 y= x有下列四个结论： 它的对称轴是直线 x=1； 设 x1， 当 ，有 它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0）；当 0 x 2 时， y 0其中正确的结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（共 4小题，每小题 3分，计 12分） 11若使二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 12请从以下两个小题中个任意选一作答，若对选，则按第一题计分 A如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底 O 点 20m 的点 A 处，测得楼顶 B 点的仰角 0，则这幢大楼的高度为 （用科学计算器计算，结果精确到 ） B 指大气中直径小于或等于 颗粒物，将 科学记数法表示为 第 3 页（共 30 页） 13已知 k 0，且关于 2x+k+1=0有两个相等的实数根，那么 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 边 x 轴正半轴上，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过该菱形对角线的 交点 A，且与边 于点 F若点 D 的坐标为（ 6， 8），则点 A 的坐标是 三、解答题（共 11小题，计 78分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 15计算：（ 2015 ） 0+（ ） 1+| 1| 36 16先化简，再求值：（ 1 ） ，其中 a=3 17如图，在 ， （ 1）作图：作 的垂直平分线分别交与 点 D， E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，连结 周长 18 2010 年 5 月 1 日，第 41 届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进 行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（ A：不了解， B：一般了解， C：了解较多， D：熟悉）请你根据图中提供的信息解答以下问题： （ 1）求该班共有多少名学生； 第 4 页（共 30 页） （ 2）在条形统计图中，将表示 “一般了解 ”的部分补充完整； （ 3）在扇形统计图中，计算出 “了解较多 ”部分所对应的圆心角的度数； （ 4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为 “熟悉 ”的概率是多少？ 19如图， 对角线 交于点 O， F （ 1）求 证： （ 2）若 F，连接 断四边形 形状，无需说明理由 20如图，某校数学兴趣小组为测得大厦 高度，在大厦前的平地上选择一点 C，测得大厦顶端 A 的仰角为 30，再向大厦方向前进 80 米，到达点 D 处（ C、 D、 B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端 5，请你计算该大厦的高度（精确到 考数据： 21为绿化校园，某校计划购进 A、 B 两种树苗，共 21 课已知 A 种树苗每棵 90 元， B 种树苗每棵 70 元设购买 B 种树苗 x 棵，购买两种树苗所需费用为 y 元 （ 1） y 与 x 的函数关系式为： ； （ 2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用 22小明参加某网店的 “翻牌抽奖 ”活动，如图， 4 张牌分别对应价值 5， 10， 15， 20（单位：元）的4 件奖品 （ 1） 如果随机翻 1 张牌，那么抽中 20 元奖品的概率为 第 5 页（共 30 页） （ 2）如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于 30 元的概率为多少？ 23如图， O 的弦， 点 P，过点 B 的直线交 延长线于点 C，且 B （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 ， ，求 长 24如图，在平面直角坐标系 ，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线y=bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B （ 1） 直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （ 2）若点 P 为直线 方的抛物线上的一点，连接 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标 （ 3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 直 x 轴于点 N，使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 25（ 1）问题发现 如图 1， 为等边三角形，点 A， D， E 在同一直线上，连接 填空： 度数为 ； 第 6 页（共 30 页） 线段 间的数量关系为 （ 2）拓展探究 如图 2， 为等腰直角三角形， 0，点 A， D， E 在同一直线上， 上的高，连接 判断 度数及线段 间的数量关系，并说明理由 （ 3）解决问题 如图 3，在正方形 ， ，若点 P 满足 ，且 0，请直接写出点 A 到 第 7 页（共 30 页） 2016年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10小题，每小题 3分，计 30分） 1下列各数中，比 2 小的是（ ） A 1 B 0 C 3 D 【考点】 实数大小比较 【专题】 应用题 【分析】 根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案 【解答】 解：比 2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数， 分析选项可得，只有 C 符合 故选 C 【点评】 本题考查实数大小的比较，是基础性的题目，比较简单 2下列计算正确的是（ ） A 4 a4+a3=（ 5= （ a b） 2=考点】 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式 【专题】 计算题 【分析】 A、原式利用单项式乘单项式法 则计算得到结果，即可做出判断； B、原式不能合并，错误； C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断 【解答】 解： A、原式 =8误； B、原式不能合并，错误； C、原式 = 确； D、原式 =2ab+误， 故选 C 第 8 页（共 30 页） 【点评】 此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 3如图，在 ， C，过 A 点作 10，则 大小为（ ） A 30 B 40 C 50 D 70 【考点】 等腰三角形的性质；平行线的性质 【分析】 根据平行线的性质求出 C，根据等腰三角形的性质得出 B= C=70，根据三角形内角和定理求出即可 【解答】 解： C， B= C， 1=70， C= 1=70， B=70， 80 B C=180 70 70=40， 故选 B 【点评】 本题考查了三角 形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出 C 的度数和得出 B= C，注意：三角形内角和等于 180，两直线平行，内错角相等 4不等式组 的解集是（ ） A 1 x 2 B 1 x2 C 1 x2 D 1 x3 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】 解： ， 由 得， x2； 由 得， x 1， 第 9 页（共 30 页） 此不等式组的解集为： 1 x2 故选 C 【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则是解答此题的关键 5如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ） A B C D 【考点】 几何体的展开图 【分析】 由平面图形的折叠及长方体的展开图解题 【解答】 解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知， A、可以拼成一个长方体； B、 C、 D、不符合长方体的展开图的特征，故不是长方体的展开图 故选 A 【点评】 考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及长方体展开图的各种情形 6当 x=1 时， ax+b+1 的值为 2，则（ a+b 1）（ 1 a b）的值为（ ） A 16 B 8 C 8 D 16 【考点】 整式的混合运算 化简求值 【分析 】 由 x=1 时，代数式 ax+b+1 的值是 2，求出 a+b 的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解 【解答】 解： 当 x=1 时， ax+b+1 的值为 2， a+b+1= 2， a+b= 3， （ a+b 1）（ 1 a b） =（ 3 1） （ 1+3） = 16 故选： A 第 10 页（共 30 页） 【点评】 此题考查整式的化简求值，运用整体代入法是解决问题的关键 7一次函数 y= x+a 3（ a 为常数）与反比例函数 y= 的图象交于 A、 B 两点，当 A、 B 两点关于原点对称时 a 的值是（ ） A 0 B 3 C 3 D 4 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 设 A（ t， ），根据关于原点对称的点的坐标特征得 B（ t， ），然后把 A（ t， ），B（ t， ）分别代入 y= x+a 3 得 = t+a 3， =t+a 3，两式相加消去 t 得 2a 6=0，再解关于 a 的一次方程即可 【解答】 解：设 A（ t， ）， A、 B 两点关于原点对称， B（ t， ）， 把 A（ t， ）， B（ t， ）分别代入 y= x+a 3 得 = t+a 3， =t+a 3， 两式相加得 2a 6=0， a=3 故选 C 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点 8如图，在五边形 ， A+ B+ E=300， 别平分 P 的度数 是（ ） A 60 B 65 C 55 D 50 【考点】 多边形内角与外角；三角形内角和定理 第 11 页（共 30 页） 【分析】 根据五边形的内角和等于 540，由 A+ B+ E=300，可求 度数，再根据角平分线的定义可得 角度和，进一步求得 P 的度数 【解答】 解： 五边形的内角和等于 540， A+ B+ E=300， 40 300=240， 平分线在五边形内相交于点 O， （ =120， P=180 120=60 故选： A 【点评】 本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键注意整体思想的运用 9如图，若锐角 接于 O，点 D 在 O 外（与点 C 在 侧），则下列三个结论： C D； C D； C D 中，正确的结论为（ ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的增减性；圆周角定理 【分析】 连接 据圆周角定理，可得 C= 为 D+ 以 D，所以 C D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断 【解答】 解：如图，连接 根据圆周角定理，可得 C= D+ D， 第 12 页（共 30 页） C D， 根据锐角三角形函数的增减性，可得， C D，故 正确； C D，故 错误； C D，故 正确； 故选： D 【点评】 本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出 C D 10对于二次函数 y= x有下列四个结论： 它的对称轴是直线 x=1； 设 x1， 当 ，有 它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0）；当 0 x 2 时， y 0其中正确的结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 二次函数的性质 【专题】 压轴题 【分析】 利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与 x 轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案 【解答】 解： y= x=（ x 1） 2+1，故 它的对称轴是直线 x=1，正确； 直线 x=1 两旁部分增减性不一样， 设 当 y2 误； 当 y=0，则 x（ x+2） =0，解得： ， ， 故它的图象与 x 轴的两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0），正确； a= 1 0， 抛物线开口向下， 它的图象与 x 轴的 两个交点是（ 0， 0）和（ 2， 0）， 当 0 x 2 时， y 0，正确 故选： C 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键 二、填空题（共 4小题，每小题 3分，计 12分） 第 13 页（共 30 页） 11若使二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x2 【考点】 二次根式有意义的条件 【专题】 计算题 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】 解： 二次根式 有意义， 2x 40， 解得 x2 故答案为： x2 【点评】 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0 12请从以下两个小题中个任意选一作答，若对选，则按第一题计分 A如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底 O 点 20m 的点 A 处，测得楼顶 B 点的仰角 0，则这幢大楼的高度为 用科学计算器计算，结果精确到 ） B 指大气中直径小于或等于 颗粒物，将 科 学记数法表示为 0 6 【考点】 解直角三角形的应用 学记数法 表示较小的数 【分析】 A、根据正切的概念求出 可； B、利用科学记数法表示较小的数解答即可 【解答】 解： A、 ， 则 A0 = 故答案为： B、 0 6， 故答案 为： 0 6 第 14 页（共 30 页） 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题以及科学计数法表示较小的数，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义、正确用科学计数法表示较小的数是解题的关键 13已知 k 0，且关于 x 的方程 32x+k+1=0 有两个相等的实数根，那么 k 的值等于 3 【考点】 根的判别式 【分析】 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式 =4，据此可列出关于 k 的等量关系式，即可求得 k 的值 【解答】 解： 关于 x 的方程 32x+k+1=0 有两个相等的 实数根， =444 43k（ k+1） =0， 解得 k= 4 或 3， k 0， k=3 故答案为 3 【点评】 本题考查了根的判别式，一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根与 =4如下关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 边 x 轴正半轴上，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过该菱 形对角线的交点 A，且与边 于点 F若点 D 的坐标为（ 6， 8），则点 A 的坐标是 （ 8， 4） 【考点】 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 由点 D 的坐标为（ 6， 8），可求得菱形 边长，又由点 A 是 中点，求得点 【解答】 解： 点 D 的坐标为（ 6， 8）， 第 15 页（共 30 页） =10， 四边形 菱形， D=10， 点 B 的坐标为：（ 10， 0）， D，即 A 是 中点， 点 A 的坐标为：（ 8， 4）， 故答案是：（ 8， 4） 【点评】 此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质此题利用了菱形的四条边都相等的性质求得边 长度是解题的难点 三、解答题（共 11小题，计 78分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 15计算：（ 2015 ） 0+（ ） 1+| 1| 36 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用二次根式性质化简，计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =1 3+ 1 +2 =2 3 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16先化简，再求值：（ 1 ） ，其中 a=3 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先计算括号里面的，再把分子、分母因式分解，约分即可，把 a=3 代入计算即可 【解答】 解：原式 = = ， 当 a=3 时，原式 = = 【点评】 本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算 第 16 页（共 30 页） 17如图，在 ， （ 1）作图：作 的垂直平分线分别交与 点 D， E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，连结 周长 【考点】 作图 复杂作图 【分析】 （ 1）运用作垂直平分线的方法作图， （ 2）运用垂直平分线的性质得出 C，利用 周长 =D+B+可求解 【解答】 解：（ 1）如图 1， （ 2）如图 2， 的垂直平分线， C， 周长 =D+B+6=10 第 17 页（共 30 页） 【点评】 本题主要考查了作图复杂作图及垂直平分线的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法 18 2010 年 5 月 1 日，第 41 届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（ A：不了解， B：一般了解， C：了解较多， D：熟悉）请你根据图中提供的信息解答以下问题： （ 1）求该班共有多少名学生； （ 2）在条形统计图中，将表示 “一般了解 ”的部分补充完整； （ 3）在扇形统计图中，计算出 “了解较多 ”部分 所对应的圆心角的度数； （ 4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为 “熟悉 ”的概率是多少？ 【考点】 扇形统计图；条形统计图；概率公式 【专题】 压轴题；阅读型；图表型 【分析】 （ 1）根据 A 是 5 人，占总体的 10%，即可求得总人数； （ 2）根据总人数和 B 所占的百分比是 30%求解； （ 3）首先计算 C 所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数； （ 4）只需求得 D 所占的百分比即可 【解答】 解：（ 1） 510%=50（人） （ 2） 5030%=15（人）见图： （ 3） 360 =144 （ 4） 第 18 页（共 30 页） 【点评】 读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小总体数目 =部分数目 相应百分比部分数目 =总体数目乘以相应概率概率 =所求情况数与总情况数之比 19如图， 对 角线 交于点 O， F （ 1）求证： （ 2）若 F，连接 断四边形 形状，无需说明理由 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）先证出 F，再由 可证明 （ 2）由对角线互相平分证出四边形 平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形 【解答】 （ 1）证明： 四边形 平行四边形， C， D， F， F， 在 ， ， （ 2）解：四边形 矩形；理由如下： D， F， 四边形 平行四边形， F， 四边形 矩形 第 19 页（共 30 页） 【点评】 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键 20如图，某校数学兴趣小组为测得大厦 高度， 在大厦前的平地上选择一点 C，测得大厦顶端 A 的仰角为 30，再向大厦方向前进 80 米，到达点 D 处（ C、 D、 B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端 5，请你计算该大厦的高度（精确到 考数据： 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 先设 AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角 形 利用其公共边 造等量关系，解三角形可求得 数值，再根据 C 0，进而可求出答案 【解答】 解：设 AB=x， 在 ， C=30， 5， 0 DB=x， x， = x， C 0， x x=80， x=40（ +1） 答：该大厦的高度是 【点评】 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形 21为绿化校园，某校计划购进 A、 B 两种树苗，共 21 课已知 A 种树苗每棵 90 元， B 种树苗每棵 70 元设购买 B 种树苗 x 棵，购买两种树苗所需费用为 y 元 （ 1） y 与 x 的函数关系式为： y= 20x+1890 ； 第 20 页（共 30 页） （ 2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出 该方案所需费用 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）根据购买两种树苗所需费用 =A 种树苗费用 +B 种树苗费用，即可解答； （ 2）根据购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，列出不等式，确定 x 的取值范围，再根据（ 1）得出的 y 与 x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案 【解答】 解：（ 1） y=90（ 21 x） +70x= 20x+1890， 故答案为： y= 20x+1890 （ 2） 购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量， x 21 x， 解得： x 又 x1， x 的取值范围为： 1x10，且 x 为整数， y= 20x+1890， k= 20 0， y 随 x 的增大而减小， 当 x=10 时， y 有最小值，最小值为： 2010+1890=1690， 使费用最省的方案是购买 B 种树苗 10 棵， A 种树苗 11 棵，所需费用为 1690 元 【点评】 题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系 22小明参加某网店的 “翻牌抽奖 ”活动，如图， 4 张牌分别对应价值 5， 10， 15， 20（单位：元）的4 件奖品 （ 1）如果随机翻 1 张牌，那么抽中 20 元奖品的概率为 25% （ 2）如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于 30 元的概率为多少？ 【考点】 列表法与树状图法；概率公式 第 21 页（共 30 页） 【分析】 （ 1）随机事件 A 的概率 P（ A） =事件 A 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数，据此用 1 除以 4，求出抽中 20 元奖品的概率为多少即可 （ 2）首先应用树状图法，列举出随机翻 2 张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于 30 元的情况 的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于 30 元的概率为多少即可 【解答】 解：（ 1） 14=5%， 抽中 20 元奖品的概率为 25% 故答案为： 25% （ 2） ， 所获奖品总值不低于 30 元有 4 种情况： 30 元、 35 元、 30 元、 35 元， 所获奖品总值不低于 30 元的概率为： 412= 【点评】 （ 1）此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件 A 的概率 P（ A） =事件 A 可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 （ 2）此题还考查了列举法与树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图 23如图， O 的弦， 点 P，过点 B 的直线交 延长线于点 C，且 B （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 ， ，求 长 第 22 页（共 30 页） 【考点】 切线的判定 【专题】 几何图形问题 【分析】 （ 1）由垂直定义得 A+ 0，根据等腰三角形的性质由 B 得 据对顶角相等得 以 A= 以 A=90，然后根据切线的判定定理得到 O 的切线； （ 2）设 BC=x，则 PC=x，在 ，根据勾股定理得到（ ） 2+ x+1） 2， 然后解方程即可 【解答】 （ 1）证明：连接 图， 0， A+ 0， B， 而 B， A= A=90， O 的切线； （ 2）解：设 BC=x，则 PC=x， 在 ， ， P+OP=x+1， （ ） 2+ x+1） 2， 解得 x=2， 第 23 页（共 30 页） 即 长为 2 【点评】 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了勾股定理 24如图，在平面直角坐标系 ，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线y=bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B （ 1） 直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （ 2）若点 P 为直线 方的抛物线上的一点，连接 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标 （ 3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 直 x 轴于点 N，使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1） 先求的直线 y= x+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点 B 的坐标； 设抛物线的解析式为 y=y=a（ x+4）（ x 1），然后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； （ 2）设点 P、 Q 的横坐标为 m，分别求得点 P、 Q 的纵坐标，从而可得到线段 2m，然后利用三角形的面积公式可求得 S ，然后利用配方法可求得 面积的最大值以及此时 m 的值， 从而可求得点 P 的坐标； 第 24 页（共 30 页） （ 3）首先可证明 后分以下几种情况分类讨论即可： 当 M 点与 C 点重合，即 M（ 0， 2）时， 根据抛物线的对称性，当 M（ 3， 2）时， 当点 M 在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系 【解答】 解：（ 1） y= 当 x=0 时， y=2，当 y=0 时， x= 4， C（ 0， 2）， A（ 4， 0）， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x= 对称， 点 B 的坐标为 1， 0） 抛物线 y=bx+c 过 A（ 4， 0）， B（ 1， 0）， 可设抛物线解析式为 y=a（ x+4）（ x 1）， 又 抛物线过点 C（ 0， 2）， 2= 4a a= y= x2 x+2 （ 2）设 P（ m， m2 m+2） 过点 P 作 x 轴交 点 Q， Q（ m， m+2）， m2 m+2（ m+2） = 2m， S ， =2 4m=（ m+2） 2+4， 当 m= 2 时， 面积有最大值是 4， 第 25 页（共 30 页） 此时 P（ 2， 3） （ 3）在 ， 在 ， ， 0， 0， 0， 如下图： 当 M 点与 C 点重合，即 M（ 0， 2）时， 根据抛物线的对称性，当 M（ 3， 2）时， 当点 M 在第四象限时，设 M（ n， n2 n+2），则 N（ n， 0） n 2， AN=n+4 当 时， n 2= （ n+4） 整理得： n 8=0 解得： 4（舍）， M（ 2， 3）； 当 时， n 2=2（ n+4）， 整理得： n 20=0 解得： 4（舍）， ， 第 26 页（共 30 页） M（ 5