天津市河西区2016届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

天津市 河西区 2015年度第二学期高三年级总复习质量调查（ 二 ） 数 学 试 卷（理工类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。第 卷 1 至 3 页，第 卷 4 至 10 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在 答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 卷 注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 )()()( 如果事件 A ， B 相互独立，那么 )()()( 柱体的体积公式 锥体的体积公式 中 S 表示柱（锥）体的底面面积 h 表示柱（锥）体的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） 已知全集 | 51 x ， 1A ， 2 ， 3 ， 1 2 ，则 （ A） 1 ， 2 （ B） 1 ， 3 （ C） 3 （ D） 1 ， 2 ， 3 （ 2） 4)12(展开式中的常数项为 （ A） 6 （ B） 24 （ C） 24 （ D） 6 （ 3）已知命题 p ：“存在 10x ， ) ，使得 1)3(2 x ”，则下列说法正确的是 （ A） p 是假 命题； p ：“任意 1x ， ) ，都有 1)3( x ” （ B） p 是真命题； p ：“不存在 10x ， ) ，使得 1)3(2 x ” （ C） p 是真命题； p ：“任意 1x ， ) ，都有 1)3( x ” （ D） p 是假命题； p ：“任意 (x ， )1 ，都有 1)3( x ” （ 4）已知定义在 R 上的偶函数 )( 0x ， ) 上单调递增，则满足 )31()12( 的 x 的取值范围是 （ A）31(， )32（ B）31(， )32（ C）31(， )34（ D）31(， )34（ 5）已知双曲线 1C ： 1163 222 ( a ， )0b 的左焦点在抛物线 2C ： )0(22 上，则双曲线 1C 的离心率为 （ A）34（ B） 3 （ C）332（ D） 4 （ 6）已知 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 2b ，6B，4C，则 的面积为 （ A） 232 （ B） 13 （ C） 232 （ D） 13 （ 7） 若“ 1x ”是“不等式 2 成立”的必要而不充分条件，则实数 a 的取值范围是 （ A） 3a （ B） 3a （ C） 4a （ D） 4a （ 8） 如图所示，边长为 1 的正方形 顶点 A ， D 分别在边长为 2 的正方形 移动，则 的最大值 是 （ A） 4 （ B） 21 （ C） （ D） 2 河西区 2015 2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（ 二 ） 数 学 试 卷（理工类） 第 卷 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题：本 大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 把答案填在题中横线上 （ 9） 统计某学校高三年级某 班 40名学生的数学 期末考试成绩，分数均在 40至 100之间，得到 的频率分布直方图如图所示 则图中 a 的 值 为 . （ 10）已知 z 是纯虚数，1 2是实数（ i 是虚数单位），那么 z . （ 11） 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值 为 . （ 12）若圆 C 的方程为： 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆 C 的圆心极坐标为 （极角范围为 0 ， )2 ） 输出 i 1S S S i 2否是i 4 ?i 1 ， S 0开始是否（ 13）如图，四边形 接于圆， ， ，过点 C 的圆的切线与 延长线 交于点 E ， ， 2 则 . （ 14）函数1,)( 2若方程 21)( 有四个不相等的实数根，则实数 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 15）（本小题满分 13 分） 已知 函数 )4)( 0 ）的最小正周期为2. （ ） 求 的值及 函数 )( 定义域； （）若 3)2( f，求 2值 . （ 16）（本小题满分 13 分） 长时间用手机上网严重影响学生的健康，某校为了解 A ， B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽 6 名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样A 制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字） 1 小时，则称为“过度用网” . （ ） 请根据样本数据，估计 A ， B 两班的学生平均每周上网时长的平均值； （ ） 从 A 班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据，求恰有 1 个数据为“过度用网” 的概率； （ ）从 A 班， B 班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据，记“过度用网”的学生 人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . （ 17）（本小题满分 13 分） 如图， 直于梯形 在平面， 90 F 为 点，2 121 边形 矩形 . A 班 B 班 9 0 3 1 1 1 2 4 0 2 1 5 7 1 3 6 （ ） 求证： 平面 （ ） 求 二面角 的大小 ； （ ）在线段 是否存在一点 Q ，使得 平面 成角的大小为 30 ？ 若存在，求出 长； 若不存在，说明理由 （ 18）（本小题满分 13 分） 已知 抛物线 C 的顶点为 0(O ， )0 ，焦点为 0(F ， )1 . （ ）求 抛物线 C 的方程； （）过点 F 作直线交抛物线 C 于 A ， B 两点， 若 直线 别交直线 2: M 、 N 两点， 求 最小值 . （ 19）（本小题满分 14 分） 已知直线 与圆 n 222 交于不同的两点 *足： 11a ， 21 41 . （ ） 求 数列 通项公式 （）若nn ，求数列 前 n 项 和 （ ）记数列 前 n 项和为 在 （）的条件下，求证：对任意正整数 n ， 2)1( 21 nk kk （ 20）（本小题满分 14 分） 已知函数 2 （ ） . （ ）当 1m 时， 求 过点 0(P ， )1 且与曲线 2)1()( 切的切线方程 ； （）求函数 )(的单调递增区间 ； （ ）若函数 )(的两个极值点 a ， b ，且 ，记 x 表示不大于 x 的最大 整数，试比较)( )(bf )()( 大小 . 河西区 2015 2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查（ 二 ） 数学试卷（理工类）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . （ 9） （ 10） （ 11） 6 （ 12） 2( ， )4（ 13） 15 （ 14）21(， )答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . （ 15） （ 本小题满分 13 分 ） （ ）解：因为函数 )( 最小正周期为2， 所以2 T，解得 2 . 3 分 令 242， ， 所以28 ， ， 所以 )( 定义域为 |28 ， . 6 分 （）解：因为 3)2( f，即 3)4 ， 3 ，解得 21 ， 9 分 所以34 . 13 分 （ 16） （ 本小题满分 13 分 ） （ ） 解：经计算， 18 22 据此估计， A 班的学生平均每周上网时长为 18 小时， B 班的学生平均每周上网时长为 22小时 . 3 分 （ ） 解： A 班的样本数据中上网时长不小于 21 小时的有 2 个，从中有放回地抽取 2 个数据，恰有 1 个数据为“过度用网”的概率为94)621()62( 1112 6 分 （ ）解：随 机变量 X 的取值为 0， 1， 2， 3， 4， )0(25626262224 )1( 2 5562626121424221412 )2( 225101 ， )3( 2 5562626241412121422 )4(25626262422 随机变量 X 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 225622556225101225562256 11 分 X 的数学期望是 22 2 55612 2 560)( 2 2 5642 2 55632 2 51 0 1 . 13 分 （ 17） （ 本小题满分 13 分 ） （ ） 解：以 D 为原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 1 分 由题意得， 0(D ， 0 ， )0 ， 1(A ， 0 ， )0 ， 1(B ， 1 ， )0 ， 0(C ， 2 ， )0 ， 0(E ， 2 ， )2 ，0(P ， 0 ， )2 ， 21(F ， 0 ， )22 ， 则 1( 2 ， )0 ，平面 一个法向量 n1 x( ， y ， )z ， 0( 2 ， )2 ， 21( 0 ， )22 ， 由0011 02221022 取 2z ，得 2( ， 2 ， )2 ， 因为 2(2)22(1 020 ， 所以 AC 平面 4 分 （ ） 解：设 平面 一个法向量 n2 x( ， y ， )z ， 1( 1 ， )2 ， 1( 1 ， )0 ， 由0022 002 取 1x ，得 ( ， 1 ， )2 ， 设 平面 一个法向量 ( ， 0 ， )1 ， 所以 32 , nn 6 分 由图可知二面角 为锐二面角， 所以二面角 的大小为4. 8 分 （ ）解：设存在点 Q 满足条件，由21(F， 0 ， )22， 0(E ， 2 ， )2 ， 设 （ 10 ），整理得21( Q， 2 ， )212 ）（ ， 21( 12 ， )212 ）（ ， 10 分 因为直线 平面 成角的大小为 30 ， 所以 c o ， 则 12 ，由 10 ，所以 1 ，即 Q 点和 E 点重合， 故在线段 存在一点 Q ，且219 13 分 （ 18） （ 本小题满分 13 分 ） （ ） 解：由题意，设 抛物线 C 的方程为 2 （ 0p ）， 则 12p， 2p ， 所以抛物线 C 的方程为 2 . 4 分 （）解： 由题意，直线 斜率存 在，设 1( )1y ， 2( )2y ， 直线 方程为 1 5 分 由去 y ，整理得 0442 21 ， 421 8 分 从而 14 221 9 分 由211解得点 M 的横坐标1112 yx 121114842， 同理点 N 的横坐标248 ， 所以 NM 216)(428 2121 21 4 128 2 k k ， 11 分 令 34 ， 0t ，则43 当 0t 时， 1625222 ， 当 0t 时，2516)535(22 2 58， 综上所述，当325t，即34最小值是 258. 13 分（ 19） （ 本小题满分 14 分 ） （ ）解： 圆 圆心到直线 距离 22 ，半径 2 ， 所以 21 41 22 ，即 21 3 分 又 11a ，所以 数列 首项为 1，公比为 2 的等比数列， 12 5 分 （）解：由（ ）知，124 6 分 所以432 232221 2 543 23222121 1 22 1 nn 两式相减，得432 21212121 1 22 1 nn n 22 221 所以12 21 nn 9 分 （ ）证明：因为 12 所以 1221 21 所以)1( 2 1221)(12(21 2)(12(211 12 112 1(2 1 11 分 所以 nk kk 1(2 12 112 1(2 21 12 112 1 32 )12 112 1 1 2)12 11(2 1 n . 14 分 （ 20） （ 本小题满分 14 分 ） （ ）解：当 1m 时，曲线 2)1()( ， 设切点坐标为 0(x ， ) 由)( ，所以斜率01，则切线方程为 )(100， 因为切线过点 0(P ， )1 ，所以 1 x ，解得 10x ， 所以切线方程为 01 3 分 （）解：函数 )(定义域为 0( ， ) ， x 22)(2 ， 令 0)( 1 当210)( 成立， 函数 )(单调递增区间为 0( ， ) ； 2 当210 函数 )(单调递增区间为 0( ， )2 211 m，2 211( m， ) ； 3 当 0m 时， 函数 )(单调递增区间为2 211( m， ) . 7 分 （ ）解：x 22)(2 ， 令 0)( 得 022 2 由题意，方程有两个不相等的正数根 a ， b ，且 ， 则020)21(4解得210 m， 2 211 ，2 211 ，则 1210 由 022 2 得 2 2 ， 9