工程电磁场实验报告

电磁场实验报告电磁场实验报告 姓名 咳咳 学号 201230254 咳咳咳咳 班级 电气工程学院 2012 级 1 班 问题 有一极长的方形金属槽 边宽为 1 米 除顶盖电位为 100V 外 其他三面的电位 均为零 试用差分法求槽内的电位分布 有限差分法 Finite Differential Method FDM 是基于差分原理的一种数值计算法 其基 本思想是 将场域离散为许多小网格 用差分代替微分 用差商代替求导 将求解连续函 数泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题 用所求网格的数值解代替 整个场域的真实解 因而数值解即是所求场域的离散点的解 虽然数值解是一种近似解法 但当划分的网格或单元愈密时 离散点的数目也愈多 近似解 数值解 也就愈逼近于真 实解 设求解二维静电场边值问题 网格划分将场域划分为小的网格 设为正方形网格 边长 h 方程离散 将节点上的电位值作为求解变量 把微分方程化为关于的线性代数方程组 2 103 22 0 2 xh 2 204 22 0 2 yh a 对内部节点 12340 0 2 4 F h b 对边界节点 只考虑节点位于边界上的情况 i f 求解线性代数方程组 N 个方程联立成为线性代数方程组求解得到节点上的电位值 当内点数较少时 可直接用代元消去法或列式法 张弛法等少算 当内点较多时 即内点不是几个 十几个而是成百个 上千个时 手算几乎不可能 这就必须借助 计算机进行计算 求解高阶方程有赛德尔迭代法等方法 解 解 对于本例而言 用差分法可直接求得场域中离散点上电位的近似值 首 先对场域进行等距剖分 此处取步长 h 0 1 米 对于正方形场域则可使用网络格线自 边界处起始 边界节点的电位值 i 0 10 j 0 10 由边界条件给出 其内部节点的电位值 i 1 2 9 j 1 2 9 则待求 由于槽内部电流密度为 0 所以电位函数所满足的拉普 拉斯方程的差分离散格式为 jijijijiji 1 11 1 4 4 1 1 11 1 jijijijiji 对于本例的网络剖分 i j 1 2 3 9 则上式即为待求的内部节点上的电位值所应满足的代数 方程组 将边界条件带入方程组中 如 i 1 j 1 上式即为 4 1 0 11 02 11 21 1 求解代数方程较多时 采用赛德尔迭代法 4 1 1 1 1 11 1 1 n ji n ji n ji n ji n ji 用计算机编程进行迭代计算 当两次相邻的迭代值相差足够小的时候 就可以认为得到了 电位函数的近似数值解 00000000000 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 sin 100 x a 运用迭代法求解代数方程的组的时候需要先对内部节点赋上初值 这里按照线性插值的方 法赋予内部节点初值 如图 b 所示 00000000000 005 877909 510609 510605 877900 06 1803016 1803020016 180306 18030 0017 6336028 5317028 5317017 633600 012 3607032 3607040032 3607012 36070 0029 3893047 5528047 5528029 389300 018 541048 541060048 541018 5410 0041 145066 574066 574041 14500 024 7214064 7214080064 7214024 72140 0052 9007085 5951085 5951052 900700 030 901758 778580 901795 105710095 105780 901758 778530 90170 b 然后根据上式计算出另外点的初值 如图 c 所示 00000000000 03 01455 87797 89229 51069 75539 51067 89225 87793 01450 06 180311 46816 180318 55572018 555716 180311 4686 18030 09 043617 633623 676628 531729 265928 531723 676617 63369 04360 012 360722 936132 360737 11134037 111332 360722 936112 36070 015 072729 389339 460947 552848 776447 552839 460929 389315 07270 018 54134 404148 54155 6676055 66748 54134 404118 5410 021 101841 14555 245466 57468 28766 57455 245441 14521 10180 024 721445 872164 721474 22268074 222664 721445 872124 72140 027 130952 900771 029785 595187 797685 595171 029752 900727 13090 030 901758 778580 901795 105710095 105780 901758 778530 90170 c 迭代十次后的结果 00000000000 02 17754 07625 536 41296 65196 23615 22143 72671 92050 04 29478 036710 89912 63413 099212 275310 27447 33163 77820 06 374311 926116 170218 740119 425818 200815 232910 87125 60460 08 442915 799821 426424 836425 750624 134220 209114 43417 45010 010 553119 768426 833531 132432 309830 316225 421918 19019 40960 012 825124 075532 744338 062839 580437 219131 288222 45211 65230 015 49929 189839 818646 418348 408245 659138 510727 734914 45040 018 978635 880849 116857 446560 104756 881448 144634 801418 20220 023 852945 256562 14972 906376 502272 611561 642344 694823 44970 030 901758 778580 901795 105710095 105780 901758 778530 90170 迭代 99 次与 100 次后的结果基本 在 MATLAB 保留四位小数的情况下完全相同 00000000000 00 86941 65372 27612 67572 81342 67572 27611 65370 86940 01 82393 46924 7755 61335 90215 61334 77493 46921 82380 02 95695 62437 74129 10039 56869 10027 74115 62422 95680 04 37938 329911 465113 47814 171513 477911 4658 32984 37920 06 230311 850816 311119 174920 161619 174816 311111 85076 23030 08 691216 531622 753826 748728 125226 748622 753716 53168 69110 012 002822 830731 423736 940838 841836 940731 423722 830612 00280 016 489331 364543 169550 748853 360550 748843 169531 364516 48930 022 589942 968559 141169 524573 102469 524559 14142 968522 58990 030 901758 778580 901795 105710095 105780 901758 778530 90170 程序如下 for i 1 9 a1 i 1 100 sin pi 10 i end a1 11 0 a1 1 0 for i 1 11 for j 1 11 u i j 0 end end for i 2 10 a mod i 2 if a 0 u 3 i a1 i 0 2 u 5 i a1 i 0 4 u 7 i a1 i 0 6 u 9 i a1 i 0 8 end if a 1 u 2 i a1 i 0 1 u 4 i a1 i 0 3 u 6 i a1 i 0 5 u 8 i a1 i 0 7 u 10 i a1 i 0 9 end end for i 2 10 u 11 i a1 i end for j 2 10 for i 2 10 if u j i 0 u j i u j i 1 u j i 1 u