北京市朝阳区2016届高三第二次统一考试数学理试题含答案

开始 输 出 S 的值 2, 1 5?k 1 S S k 结束 是 否 北京市朝阳区 2015数学试卷（理工类） 2016 5 （考试时间 120分钟 满分 150分） 本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知集合 1 2 4 ， 10B x x ，则 A 12 B 01 C 01 D 12 2复数 （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D第四象限 3执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A 6 B 10 C 14 D 15 4已知非零向量 a ， b ， “a b ”是 “a () A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件 5 同时具有性质 :“ 最小正周期是 ； 图象关于直线3x 对称； 在区间 5 ,6上是单调递增函数 ”的一个函数可以是 A c o s ( )26B s 2 )6C c o s ( 2 )3D s 2 )66已知 函数 1 , 2 ,()2 l o g , 2 (0a 且 1)a 的最大值为 1 ,则 a 的取值范围是 A 112 , )B 01( , ) C 102( , D 1( , ) 7某学校高三年级有两个文科班，四个理科班， 现每个班指定 1人，对各班的卫生进行检 查若每班只安排一人检查 ，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班， 则不同安排方法的种数是 A 48 B 72 C 84 D 168 8已知正方体 1 1 1 1棱长为 2， 1 上，且 平面 11动点 迹所形成的区域面积是 A 92B 23 C 33 D 42 第二部分（非选 择题 共 110分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在答题卡上 9双曲线 2 2:13的渐近线方程是 ；若 抛物线 2 2 ( 0 )y p x p的焦点与 双曲线 C 的一个焦点重合， 则 p 10 如图， P 为 O 外一点， O 的切线， A 为切点，割线 与 O 相交于 , 3A ， D 为线段 中点， 延长线交 O 于点 E 若 1，则 长为 _； E 的值是 11 已知 等边 的边长为 3， D 是 上一点，若 1，则 D值是 _ 12 已知关于 ,2,2y k 所表示的平面区域 D 为三角形区域，则实数 k 的取值范围是 13为了响应政府推进 “菜篮子 ”工程建设的号召，某经销 商投资 60万元建了一个蔬菜生产基地 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2万元 6万元 n 年的纯利润（ ()前 n 年的总收入前 n 年的总费用支出投资额），则 () n 表示）；从第 年开始盈利 . 14在平面直角坐标系 点 A (2,0) ，曲线 21上的动点 B ，第一象限内的点 C ，构成等腰直角三角形 且 90A ，则线段 的最大值是 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13分） 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知 13A，3 , s i n 6 s i C ( )求 a 的值； ( ) 若角 A 为锐角，求 b 的值及 的面积 16 （本小题满分 13分） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反 映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值 交通指数范围为 (010)， ，五个级别规定如下： 交通指数 (0,2) 2,4) 4,6) 6,8) 8,10) 级别 畅通 基本畅通 轻度拥堵 中度拥堵 严重拥堵 某人 在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的 40个工作日早高峰时段 (早晨 7点至 9点 )的交通指数 (平均值 )，其统计结果如直方图所示 （ ）据此估计此人 260个工作日中 早高峰 时段（早晨 7点至 9点） 中度拥堵的 天数； （ ）若此人早晨 上班路上所用时间近似为： 畅通时 30分钟，基本畅通时 35分钟， 轻度拥堵时 40分钟，中度拥堵时 50 分钟，严重拥堵时 70 分钟，以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种 路况的概率，求此人上班路上所用时间 X 的数学期望 频率 组距 交通指数值 2 4 6 8 10 3 5 7 9 17 （本小题满分 14分） 如图 1，在等腰梯形 ， /D ， 1 22B C A D， 60A ， E 为 点，点 ,E 的中点将 沿 起到1位置，使得平面1面如图 2） （ ）求证：1E； （ ）求直线1 （ ）侧棱1 ，使得 /面1若存在，求出11值；若不 存在，请说明理由 18 （本小题满分 13分） 已知函数 21( ) ( 1 ) 1 ) l x x a x a x （， aR （ ）当 3a 时，求曲线 : ( )C y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ ）当 1,2x 时，若曲线 : ( )C y f x 上的点 ( , )在不等式组1 2,32 所表示的 平面区域内，试求 a 的取值范围 E C D B A 图 1 B F O C D 图 2 19（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 0 0 0( , ) ( 0 )P x y y 在椭圆 :C 2 2 12x y上，过点 P 的直线 l 的方程为 00 12xx （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 ,求 面积的最小值； （ ）设椭圆 C 的左、右焦点分别为1F，2F，点 Q 与点1l 对称，求证：点2,Q P 20（本小题满分 13分） 已知集合 311 , ( 22nS k k k n N，且 )n N 若存在非空集合12, , , 得12 S S U U L U，且 (1 , , )i j n i j I，并 , ( 1 , 2 , , ) ,ix y S i n x y L，都有ix y S，则称集合 S 具有性质 P ，1, 2, ,L ）称为集合 S 的 P 子集 （ ）当 2n 时，试说明集合 S 具有性质 P ，并写出相应的 P 子集 2 ； （ ）若集合 S 具有性质 P ，集合 T 是集合 S 的一个 P 子集，设 3 | nT s s T ， 求证： ,x y T T U ， ，都有 x y T T U ； （ ）求证：对任意正整数 2n ，集合 S 具有性质 P 北京市朝阳区 2015期高三年级统一考试 数学答案（理工类） 2016 5 一、选择题：（满分 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D A D C 二、填空题： （满分 30分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 33 ， 4 3 ， 16 6 ( , 2 0 ,1) 9 6 0 ,5 2 2 1 （注：两空的填空，第一空 3分，第二空 2分） 三、解答题： （满分 80分） 15（本小题满分 13分） 解： ( ) 因为 2 1c o s 2 1 2 s i ，且 0 A ， 所以 6 因为 3 , s i n 6 s i C， 由正弦定理得 6 6 3 3 2 6 分 ( ) 由 6s i n , 032 得 3 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ，得 2 2 1 5 0 解得 5b 或 3b （舍负） 所以 1 5 2s i b c A 13 分 解 : （ ）由已知可得： 上班的 40个工作日 中 早高峰时段 中度拥堵的频率为 据此估 计此人 260个工作日 早高峰时段（早晨 7点至 9点） 中度拥堵的天数为 2605天 . 5 分 （ ）由题意可知 X 的可能取值为 3 0 , 3 5 , 4 0 , 5 0 , 7 0 且 ( 3 0 ) 0 ； ( 3 5 ) 0 ； ( 4 0 ) 0 ； ( 5 0 ) 0 . 2 5； ( 7 0 ) 0 ； 所以 3 0 0 . 0 5 + 3 5 0 . 1 + 4 0 0 . 4 5 + 5 0 0 . 2 5 + 7 0 0 . 1 5 = 4 6 13分 17（本小题满分 14分） 解：（ ）如图 1，在等腰梯形 ， 由 /D ， 1 22B C A D， 60A ， E 为 所以 为等边三角形如图 2, 因为 O 为 中点，所以1E 又因为平面1面 且平面1E ， 所以1面 所以1E 4 分 （ ）连结 由已知得 E ，又 O 为 中点， 图 2 所以 E 由（ ）知1面 所以11,A O B E A O O C， 所以1 ,O A O B O 以 O 为原点，1,C ,建立空间直角坐标系（如图） 因为 2，易知1 3O A O C 所以1 ( 0 0 3 ) , ( 1 0 0 ) , ( 0 3 0 ) , ( 1 0 0 )A B C E ， ， ， ， ， ， ， ， 所以1 1 1( 1 0 3 ) , ( 0 3 3 ) , ( 1 0 3 )A B A C A E u u u r u u u r u u u r， ， ， ， ， ， 设平面1 , , )x y zn ， E C D B A 图 1 A1 O B C D E P C B F O D 由 110,0 得 3 3 0 , 3 0 . 即 0, 3 0 . 取 1z ，得 ( 3 ,1,1)n 设直线1 ， 则13 3 3 1 5s i n c o s ,52 5 5 u u u r n 所以直线155 9 分 （ ）假设在侧棱1 ，使得 /面1 设11A P A C0,1 因为1 1 1 1B P B A A P B A A C u u ur u u ur u u u r u u ur u u u r， 所以 ( 1 0 3 ) ( 0 3 3 ) ( 1 , 3 , 3 3 ) u u ， ， ， 易证 四边形 菱形，且 D ， 又由（ ）可知，1E，所以 平面1 所以 ( 1 , 3 , 0 ) 平面1 由 ( 1 , 3 , 3 3 ) ( 1 , 3 , 0 ) 1 3 0B P C E u u ur u u 得 1 0,13 所以 侧棱1 ，使得 /面11113 14 分 18（本小题满分 13分） 解：（ ）当 3a 时 , 21( ) 4 2 l x x x x ， 0x 2( ) 4f x x x 则 (1 ) 1 4 2 1f ，而 17(1 ) 422f 所以曲线 C 在点 (1, (1)f )处的切线方程为 7 12 ，即 2 2 5 0 4 分 （ ）依题意当 1,2x 时，曲线 C 上的点 ,在不等式组1 2,32 所表示的平面区域内，等价于当 12x时， 3()2x f x x 恒成立 设 ( ) ( )g x f x x 21 1 ) l n2 x a x a x（ ， 1,2x 所以 21 (1 )( ) = + =a x a x ag x x a + ( 1 ) ( 1 ) )= x x （ 1）当 11a ，即 2a 时，当 1,2x 时， ( ) 0 ， () 所以 ( 2 ) ( ) (1 )g g x g 依题意应有 131,222 2 2 1 l n 2 0 ,()( ) ( )a a 解得 21所以 12a （ 2）若 1 1 2a ，即 23a时，当 1, 1， ( ) 0 ， () 数， 当 x 1,2a ， ( ) 0 ， () 由于 3(1)2g ，所以不合题意 （ 3）当 12a ，即 3a 时，注意到 15(1)22 ，显然不合题意 综上所述， 12a 13 分 19 （本小题满分 14分） 解： （ ） 依题意可知 2a ， 2 1 1c ， 所以椭圆 C 离心率为 1222e 3分 （ ）因为 直线 l 与 x 轴， y 轴分别相交于 ,以000, 0 令 0y ，由 00 12xx 得02x x ，则02( ,0)A x 令 0x ，由 00 12xx 得01y y ，则01(0, )B y 所以 的面积0 0 0 01 1 2 122O A A O B x y x y 因为点00( , )P x C 2 2 12x y上，所以 2 200 12x y 所以 2 0020 0122 2y 即0022，则001 2 所以0011 22O A A O B 当且仅当 2 2002x y ，即0021, 2 时， 面积的最小值为 2 9分 （ ） 当0 0x 时， (0, 1)P 当直线 :1时，易得 ( 1,2)Q ，此时2 1，2 1 因为22F Q F 所以三点2,Q P 同理，当直线 :1 时，三点2,Q P 当0 0x 时，设点 ( , )因为点 Q 与点1l 对称， 所以000011,2 2 202 ( ) 1 12x y 整理得 0 0 00 0 02 4 0 ,2 2 0 .x m y n xy m x n y 解 得220 0 022000 0 0220044 ,448 x y 所以点 220 0 0 0 0 02 2 2 20 0 0 04 4 4 8( , )44x x y x y x y x 又因为2 0 0( 1, )F P x y220 0 0 0 0 02 2 2 2 20 0 0 04 4 4 8( 1 , )44x x y x y x y x u u u 且 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 04 4 4 8 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )4 4 4x x y x y y x y x xy x yy x y x y x 220 0 0 00 22004 8 ( 4 4 8 )4x y x 2 2 2 20 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 08 4 8 4 ( 2 ) 8 4 2 8 04 4 4y x y xy y yy x y x y x 所以2 /以点2,Q P 综上所述，点2,Q P 14 分 20（本小题满分 13分） 证明：（ ）当 2n 时， 1, 2, 3, 4S ，令1 1, 4S ，2 2,3S , 则12S S S U, 且对 , ( 1 , 2 ) ,ix y S i x y ，都有ix y S， 所以 S 具有性质 P 相应的 P 子集为1 1, 4S ，2 2,3S 3分 （ ） 若 31, (1 )2nx y T y x ,由已知 x y T , 又 31 132n ,所以 x y T 所以 x y T TU 若 ,x y T ,可设 3 , 3s y r ， ,r s T ,且 3112 ， 此时 31( 3 ) ( 3 ) 1 32nn n nx y s r s r 所以 x y T ，且 x y s r T 所以 x y T T U 若 , 3 nx s T ,， 则 3 1 3 3 3 1( 3 ) ( ) 3 ( 1 ) 32 2 2n n nn n nx y s y s