2014届高三数学一轮复习 2.6二次函数精讲精练 新人教版

1 第第 6 6 课课 二次函数二次函数 考点导读 1 理解二次函数的概念 掌握二次函数的图像和性质 2 能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数 从而了解函数的零点 与方程根的联系 基础练习 1 已知二次函数 2 32yxx 则其图像的开口向 上 对称轴方程为 3 2 x 顶点 坐标为 31 24 与x轴的交点坐标为 1 0 2 0 最小值为 1 4 2 二次函数 22 23yxmxm 的图像的对称轴为20 x 则m 2 顶点 坐标为 2 3 递增区间为 2 递减区间为 2 3 函数 2 21yxx 的零点为 1 1 2 4 实系数方程 2 0 0 axbxca 两实根异号的充要条件为0ac 有两正根的充要 条件为0 0 0 bc aa 有两负根的充要条件为0 0 0 bc aa 5 已知函数 2 23f xxx 在区间 0 m上有最大值 3 最小值 2 则m的取值范围 是 范例解析 例 1 设a为实数 函数1 2 axxxf Rx 1 讨论 xf的奇偶性 2 若2a 时 求 xf的最小值 分析 去绝对值 解 1 当0 a时 函数 1 2 xfxxxf 此时 xf为偶函数 当0 a时 1 2 aaf 1 2 2 aaaf afaf afaf 此时 xf既不是奇函数 也不是偶函数 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 xxx xxx xf 由于 xf在 2 上的最小值为3 2 f 在 2 内的最小值为 4 3 2 1 f 故函数 xf在 内的最小值为 4 3 点评 注意分类讨论 分段函数求最值 先求每个区间上的函数最值 再确定最值中的最 值 例 2 函数 f x 2 1 2 axxa aR 在区间 2 2 的最大值记为 ag 求 ag的表 达式 分析 二次函数在给定区间上求最值 重点研究其在所给区间上的单调性情况 解 直线 1 x a 是抛物线 f x 2 1 2 axxa 的对称轴 可分以下几种情况进行讨 论 1 当0 a时 函数 yf x 2 2 x 的图象是开口向上的抛物线的一段 由 1 0 x a 知 f x在 2 2 x 上单调递增 故 ag 2 f 2 a 2 当0 a时 f xx 2 2 x 有 ag 2 3 当0 a时 函数 yf x 2 2 x 的图象是开口向下的抛物线的一段 若 1 x a 2 0 即 2 2 a时 ag 2 2f 若 1 x a 2 2 即 2 1 2 2 a时 ag 11 2 fa aa 若 1 x a 2 即 0 2 1 a时 ag 2 f 2 a 综上所述 有 ag 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 a a a a aa 点评 解答本题应注意两点 一是对0a 时不能遗漏 二是对0a 时的分类讨论中应同 时考察抛物线的开口方向 对称轴的位置及 yf x 在区间 2 2 上的单调性 反馈演练 1 函数 0 2 xcbxxy是单调函数的充要条件是0b 2 已知二次函数的图像顶点为 1 16 A 且图像在x轴上截得的线段长为 8 则此二次函 数的解析式为 2 215yxx 3 设0 b 二次函数1 22 abxaxy的图象为下列四图之一 3 则a的值为 B A 1B 1C 2 51 D 2 51 4 若不等式 2 10 xax 对于一切 1 0 2 x 成立 则a的取值范围是 5 2 5 若关于x的方程 2 40 xmx 在 1 1 有解 则实数m的取值范围是 5 5 6 已知函数 2 223f xxax 在 1 1 有最小值 记作 g a 1 求 g a的表达式 2 求 g a的最大值 解 1 由 2 223f xxax 知对称轴方程为 2 a x 当1 2 a 时 即2a 时 1 25g afa 当11 2 a 即22a 时 2 3 22 aa g af 当1 2 a 即2a 时 1 52g afa 综上 2 25 2 3 22 2 52 2 aa a g aa a a 2 当2a 时 1g a 当22a 时 3g a 当2a 时 1g a 故当 0a 时 g a的最大值为 3 7 分别根据下列条件 求实数a的值 1 函数 2 21f xxaxa 在在 0 1 上有最大值 2 4 2 函数 2 21f xaxax 在在 3 2 上有最大值 4 解 1 当0a 时 max 0 f xf 令12a 则1a 当01a 时 max f xf a 令 2f a 15 2 a 舍 当1a 时 max 1 f xf 即2a 综上 可得1a 或2a 2 当0a 时 max 2 f xf 即814a 则 3 8 a 当0a 时 max 1 f xf 即14a 则3a 综上 3 8 a 或3a 8 已知函数 2 f xxa xR 1 对任意 12 x xR 比较 12 1 2 f xf x 与 12 2 xx f 的大小 2 若 1 1 x 时 有 1f x 求实数a的取值范围 解 1 对任意 1 x 2 xR 2 12 1212 11