2-1 找规律及定义新运算.题库学生版

规律及定义新运算 题库学生 版 9 内容 基本要求 略高要求 较高要求 找规律 学会基本的找规律方法 能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系 能做综合试题 定义新运算 熟悉基本题型 能根据题意进行运算 板块一、找规律 模块一、 代数中的找规律 【例 1】 点1A、2A、3A、 n 为正整数）都在数轴上点1 的左边，且1 1点2212点3323点4434，依照上述规律，点2008A、2009 ） A 2008 、 2009 B 2008 、 2009 C 1004 、 1005 D 1004 、 1004 【例 2】 如图，点 A 、 B 对应的数是 a 、 b ，点 A 在 3 、 2 对应的两点（包括这两点）之间移动，点 B 在 1 、0 对应的 两点 （包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比 2008 大的是（ ） 0- 2 A B 1 11 2() 【例 3】 一组按规律排列的式子： 252 83 114 ( 0，其中第 7 个式子 是 ，第 n 个式子是 (n 为正整数 ) 【例 4】 搭建如图的单顶帐篷 需要 17 根钢管，这样的帐篷按图、图的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要 根钢管 . 中考要求 找规律及定义新运算 规律及定义新运算 题库学生 版 9 【例 5】 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A B C D， ， ， 。请你按图中箭头所指方向 (即. C D C B A B C 的方式 )从 A 开始数连续的正整数 1， 2， 3， 4 ，当数到 12 时，对应的字母是 ；当字母 C 第 201 次出现时，恰好数到的数是 ；当字母 n1 次出现时 (n 为正整数 )，恰好数到的数是 (用含 n 的代数式表示 )。 【例 6】 将 正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6、 2 和 5、 3 和 4） 放置于水平桌面上，如图 1在图 2 中，将骰子向右翻滚 90 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90 ，则完成一 次 变换若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按 上述 规则连续完成 10次 变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） A 6 B 5 C 3 D 2 【例 7】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算 1 8 1 6 2 4 . 8 n （ n 是正整数）的结果为（ ） A 2(2 1)n B 2(2 1)n C 2( 2)n D 2n 【例 8】 观察下列由棱长为 1 的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图 1 中：共有 1 个小立方体，其中 1 个看得见， 0 个看不见；如图 2 中：共有 8 个小立方体，其中 7 个看得见， 1 个看不见；如图 3 中：共有 27个小立方体，其中有 19个看得见， 8 个看不见；，则第 6 个图中，看不见的小立方体有 个 图 3图 2图 1【例 9】 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 .， ， ， ， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1 4 9 16 .， ， ， ， ，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） D C B A 1+8=? 1+8+16=? 1+8+16+24=? 图 1 图 2 向右翻滚 90 逆时针旋转 90 规律及定义新运算 题库学生 版 9 A 15 B 25 C 55 D 1225 【例 10】 如图，是用棋子摆成的 图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋子，摆第 3个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 枚棋子，摆第 n 个图案需要 枚棋子 【例 11】 下面两个多位数 1248624、 6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位。对第 2 位数字再进行如上操作得 到第 3 位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是（ ） A 495 B 497 C 501 D 503 【例 12】 观察右表，依据表格数据排列的规律，数 2008 在表格中出现的次数共有 次 【例 13】 100 个数之和为 1990 ，把第 1 个数减去 1 ，第 2 个数加上 2 ，第 3 个数减去 3 ，第 100 个数加 100 ，则所得新数之和为 【例 14】 2001 减去它的 12，再减去剩余数的 13，再减去剩余数的 14，依次类推，一直到减去剩余数 12001，那么最后剩余的数是 【例 15】 观察按下列规则排成的一列数： 11， 12， 21， 13， 22， 31， 14， 23， 32， 41， 15， 24， 33， 42， 51， 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 规律及定义新运算 题库学生 版 9 16 ，在式子中， 从左起第 m 个数记为 ()当 2()2001，求 m 的值和这 m 个数的积 . 【例 16】 观察下面的变形规律： 1 1 1 1 1 1 1 11 . . 2 2 3 2 3 3 4 3 4 ， ， 解答下面的问题 ： 若 n 为正整数，请你猜想 1 1； 证明你猜想的结论 ； 求和： 1 1 1 1. 2 3 3 4 2 0 0 9 2 0 1 0 . 【例 17】 观察下面的等式 2 2 4 ， 2 2 4 ； 313422 ， 313422 ； 414533 ， 414533 ； 515644 ， 515644 ； 小明归纳上面各式得到一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”， 小明的猜想正确吗？为什么？ 如果不正确，请你观察上面各式结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想 规律及定义新运算 题库学生 版 9 【例 18】 阅读下列材料： 11 2 1 2 3 0 1 23 ， 12 3 2 3 4 1 2 33 ， 13 4 3 4 5 2 3 43 ， 由以上三个等式相加 ，可得 11 2 2 3 3 4 3 4 5 2 03 。 读完以上材料，请你计算下列各题： 1 2 2 3 3 4 . . . 1 0 1 1 （写出过程）； 1 2 2 3 3 4 . . . 1 _； 1 2 3 2 3 4 3 4 5 . . . 7 8 9 _。 【巩固】 已知：2 3 43 5 63 2 5 4 3 6 5 4 33 1 0 1 5 . . 1 2 3 1 2 3 4C C C ， ， ，观察上面的计算过程，寻找规律并计算 610C 【例 19】 现有一列数1a，2a，3a， ，98a，99a，100a，其中3 7 9 89 7 1a a a ， ，且满足任意相邻三个数的和为常数，则1 2 3 9 9 1 0 0a a a a a ) A 0 B 40 C 32 D 26 【巩固】 如果一个序列 a，1 2a n (n 为自然数 )，求100 规律及定义新运算 题库学生 版 9 【例 20】 右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前 n 横行的数字和为 11111111111010 5564 43321【巩固】 观察下列等式： 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 21 1 1 2 3 1 2 3 6 1 2 3 4 1 0 . . . ， ， ， ，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，并用等式表示出规律；再利用这一规律计算3 3 3 3 31 2 3 4 . . . 1 0 0 的值 【例 21】 在数轴上，点 A 和点 B 都在与 154对应的点上，若点 A 以每秒 3 个单位长度的速度向右运动，点 个单位长度的速度向左运动， 则 7 秒之后，点 A 和点 B 所处的位置对应的数是什么？这时线段 长度是多少？ 【例 22】 如图所示，数轴被折成 90 ，圆的周长为 4 个单位长度， 在圆的 4 等分点 处标上数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 先让圆周上数字 2 所对应的点与数轴上的数 3 所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数 2009 将与圆周上的数字 重合 98765431023 规律及定义新运算 题库学生 版 9 【例 23】 把一数轴折成如图所示，第 1 段为 1 个单位长度，第 2 段为 3 个单位长度，第 3 段为 5 个单位长度，有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为 4 个单位长度，圆所示位置为数轴原点，现开始紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动， 当圆与 2009 接触时，指针指向 （东、南、西、北） 北西南东【例 24】 把一数轴折成如图所示，第 1 段为 1 个单位长度，第 2 段为 2 个单位长度，第 3 段为 3 个单位长度，点 O 处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为 4 个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点 A 接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与 2009 接触时，指针指向 （东、南、西、北） 【例 25】 如图所示 ，圆的周长为 4 个单位长度，在圆的 4 等分点处标上数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 先让圆周上数字 0所对应的点与数轴上的数 1 所对应 的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2006 将与圆周上的数字 重合 32 10- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0【例 26】 如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为 3 个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字 0 、 1 、 2 ）上：先让原点与圆周上数字 0 所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 1 、 2 、 3 、 4 、所对应的点分别与圆周上 1 、 2 、 0 、 1 、所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系 圆周上的数字 a 与数轴上的数 5 对应，则 a ； 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈（ n 为正整数）后，并落在圆周上数字 1 所对应的 位置，这个整数是 （用含 n 的代数式表示） 32102 10012 123401223 5432 10 规律及定义新运算 题库学生 版 9 【例 27】 如图所示，一数轴被折围成长为 3 ，宽为 2 的长方形，圆的周长为 4 且圆上刻一指针，若在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与 7 接触的时候，指针的方向是（ ） 543210- 1【例 28】 如图，用数轴绕圆 O 三圈，圆周上的点 B 与数轴上表示 、 、 点重合，数 轴上与点 ） B C D 【例 29】 研究下面的一列数： 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13，照此规律，请你用表达式表示出第 n 个数 . 【例 30】 右图是一回形图，其回形通道的宽和 长均为 1 ，回形线与射线 于1A，2A，3A，若从 O 点到1 圈 (长为 7 )，从1 圈，依此类推则第 10圈的长为 A 2 A 1 找规律及定义新运算 题库学生 版 9 【例 31】 如果1111 1n ， 2， 3， 2009)，那么，当1 11 2 2 3 a a a a a 2008 2009 【例 32】 一根拉直的绳子从中剪一刀被分成 2 段，要把一根拉直的绳子分成 1n 段，需 n 刀，这就是说线段上 n 个点将线段分成 1n 段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了 3 段；将一根 绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成 5 段，试问： （ 1）将一根绳子对折 4 次后，从中剪一刀，绳子变成几段？ （ 2）将一根绳子对折 2003 次后，从中剪一刀，绳子变成几段？ （ 3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成 2003 段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由 【例 33】 有依次排列的 3 个数： 3 ， 9 ， 8 ，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串： 3 ， 6 ， 9 ， 1 ， 8 ，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串： 3 ， 3 ， 6 ， 3 ， 9 ， 10 ， 1 ， 9 ， 8 ，继续依次操作下去，问：从数串 3 ， 9 ， 8 开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ 【例 34】 在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数： 2 ， 0 ， 0 ， 1 然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值连续这样做到第 10个正方形，则图上写出的所有数的和是 规律及定义新运算 题库学生 版 0 9 【例 35】 有1A、2A、3对观众作队形变化，其变化规律是： 一个舞蹈演员1对观众作队形变化的种数是1 种 二个舞蹈演员1A、2对观众作队形变化的种数是121 种即 12 种 三个舞蹈演员1A、2A、3对观众作队形变化的种数是1 2 3、1 3 2、213 3 1 1 2、3 2 1 种即 1 2 3 种 请你猜测： 四个舞蹈演员1A、2A、3A、4对观众作队形变化的种数是 种 六个舞蹈演员1A、2A、3A、6对观众作队形变化的种数是 种 （用 科学记数法表示） 用 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 共 7 个数字排列成 7 位数的电话号码 （在同一个电话号码内 每个数字只能用一次）可能排成 个电话号码 模块二、几何图形中的规律 【例 36】 观察下列图形（每幅图中 最小 的三角形都是一样的），请写出第 n 个图中 最小 的三角形的个数有 个 【例 37】 图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图 2、图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠 放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ） A 25 B 66 C 91 D 120 图 3图 2图 1【例 38】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为 A ，定义为第一组，在它的周围铺上六 块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，按这种方式铺下去，用现有的 2005 块瓷砖最多能完整地铺满 组，此时还剩余 块瓷砖 第 1 个图 第 2 个图 第 3 个图 第 4 个图 规律及定义新运算 题库学生 版 1 9 【例 39】 一质点 P 从距原点 1 个单位的 A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 中点1二次从1三次从2此不断跳动下去，则第 n 次跳动后，该质点跳过的总距离为 A 4 A 3 A 2 A 1 40】 如右图， 45 ，过 到点 O 的距离分别为 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11，的点作 的垂线与 交得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1S，2S，3S，4S， 观察图中的规律，求出第 10个黑色梯形的面积10S 【例 41】 如 图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个基础图形组成，第 2 个图案由 7 个基础图形 组成， ，第 n （ n 是正整数）个图案中由 个基础图形组成 【例 42】 用火柴棍 像 如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？ 我们可以发现搭 1 个图形需要 3 根火柴，搭 2 个图形需要 5 根火柴， 搭 7 个需要 根火柴棍 搭 n 个三角形需要 根火柴棍 0 1 3 5 7 9 11 13 L B 3 1) (2) (3) 规律及定义新运算 题库学生 版 2 9 【例 43】 假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图： 那么请问第 2007 个棋子是黑的还是白的 ？ 答： 【例 44】 探索图形规律 ， 在数学活动课上，小红同学准备用两种不同颜色的布拼接一个正方形杯垫，杯垫的图案设计如 上 图所示，最后应选择下图中的哪一个才能使其与 上 图拼接后符合图案的设计模式（ ） 【例 45】 观察下列图形： 图 4图 1 图 2 图 3根据图 1、图 2、图 3 的规律，图 4 中的三角形的个数为 【例 46】 如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色， 从上向下数，每 层正方体被涂成红色的面数分别为： 第一层：侧面个数 上面个数 1 4 1 5 ； 第二层：侧面个数 上面个数 2 4 3 11 ； 第三层：侧面个数 上面个数 3 4 5 17 ； 第四层：侧面个数 上面个数 4 4 7 23 ； 根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题： 求第 6 层有多少个面被涂成了红色？ 求第 n 层有多少个面被涂成了红色？（用含 n 的式子表示） 第一层 第二层 第三层 规律及定义新运算 题库学生 版 3 9 若第 m 层有 89 个面被涂成红色， 请你判断这是第几层？并说明理由 【例 47】 电子跳蚤游戏盘是如图所示的 ， 6A B A C B C 如果跳蚤开始时在 的0 2跳蚤第一步从0C 边的1P（第 1 次落点）处，且10P；第二步从1B 边的2P（第 2 次落点）处，且21P；第三步从2C 边的3P（第 3 次落点）处，且32P ；跳蚤按照上述规则一 直 跳下去，第 n 次落点为n 为正整数），则点2009 P 3P 2 48】 图 1 是棱长为 a 的小 正方体，图 2、图 3 由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、第 n 层，第 n 层的小正方体的个数为 s 解答下列问题： 按照要求填表： 写出当 10n 时， s 【例 49】 如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； n 1 2 3 4 s 1 3 6 图 1 图 2 图 3 规律及定义新运算 题库学生 版 4 9 填表： 如果剪了 100 次，共剪出多少个正方形？ 如果剪 n 次，共剪出多少个正方形？ 观察图形，你还能得出什么规律？ 【例 50】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点 （ 相邻两边公用一个点 ） ；第三层每边有 三个点， 这个六边形点阵共有 n 层，试问第 n 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？ 第 n 层 【例 51】 图 1 是一个方阵图，每行的 3 个数，每列的 3 个数，斜对角的 3 个数相加的和均相等如果将方阵图中的每个数都加上同一数，那么方阵图中每行的 3 个数，每列的 3 个数，斜对角的 3 个数相加的和仍然相等，这样形成一个新的方阵图根据图 2、图 3、图 4 中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成图 2、 3、 4 的方阵图吗？ 剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 4 7 图 1 1 2 3 4 0 4 2 3 1 3 4 1 2 4 7 3 图 2 图 3 图 4 规律及定义新运算 题库学生 版 5 9 【例 52】 “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话 现有 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 共九个数字，请将它们分别填入图 1 的九个方格中，使得每行的 三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等每一列的三个数的和为多少？给出一种填法 通过研究问题，利用你发现的规律，将 3 、 5 、 7 、 1 、 7 、 3 、 9 、 5 、 1 ，这九个数字分别填入图 2 的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等 【例 53】 n 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻 的两个数后所得的差例如： 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由 1 5 4 3 2 1 9 7 5 3 2006 206 6 26 6 0 2 0 1 5 4 3 2 1 5 4 9 2 3 2 4=9 1 5 4 3 2 1 5 4 33 006 1003 0 1 0 图 2 图 1 规律及定义新运算 题库学生 版 6 9 版块二、定义新运算 【例 54】 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码 0 和 1 的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数 1011换算成十进制数应为： 3 2 1 01 2 0 2 1 2 1 2 1 1 按此方式，则将十进制数 6 换算成二进制数应为 【例 55】 计算机在进行数学运算时采用的是二进制，二进制的所 有数都用字符 0 和 1 的组合表示，二进制数与十进制数的对应关系如下表 二进制数的加法逢二进一，如： 1 0 1， 1 1 10 ， 10 0 10 ， 10 1 11 ， 11 0 11 ， 观察上表，十进制的 10怎么表示？ 二进制的两个数相加： 10 11 _ 若十进制数 3 与二进制数 x 的和为二进制数 111 ，即 3 111x ，求二进制数 x 【例 56】 读一读：式子“ 1 2 3 4 5 1 0 0 L”表示 1 开始的 100 个连续自然数的和由于上述式子比 较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“ 1 2 3 4 5 1 0 0 L”表示为 1001，这 里“ ”是求和符号 例如： 1 3 5 7 9 9 9 L，即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和，可 表示为 50121（ ） ； 又如 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 可表示为 1031 通过对以上材料的阅读，请解答下列问题 2 4 6 8 1 0 1 0 0 L(即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和 )用求和符合可表示为 计算 5211（ ） (填写最后的计算结果 ) 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 规律及定义新运算 题库学生 版 7 9 【例 57】 定义： a 是不为 1 的有理数，我们把 11 a称为 a 的差倒数 如： 2 的差倒数是 1 112， 1 的差倒数是 111 ( 1) 2 已知1 13a ，2，依次类推，则2009a 【例 58】 我们常用的数是十进制数，如 3 2 1 04 6 5 7 4 1 0 6 1 0 5 1 0 7 1 0 ，数要用 10个数码（又叫数字）：0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 ，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码： 0 和 1 ，如二进制中 2 1 01 1 0 1 2 1 2 0 2 等于十进制的数 6 ， 5 4 3 2 11 1 0 1 0 1 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 012 等于十进制的数 53 那么二进制中的数 101011等于十进制中的哪个数？ 【例 59】 （ 4 级） (第 20 届希望杯培训试题 )若用汉字的四角号码作为密码来传送 “ 希望杯 ” 这三个字，即是“ 4 0 2 2 0 7 1 0 4 1 9 9” 现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于 9 的补码，即 0 变成 9 ； 1 变成 8 ； 2 变成 7 ； 则 “ 希望杯 ” 这三个字的新密码是 【例 60】 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文 (真实文 )，对明文进行某种处理后得到 的内容为密文，现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的 26 个字母 (不论大小写 )依次对应 1 ， 2 ，3 ， 26 这 26 个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：当 1 26x 时，若 x 不能被 2 整除，则 12 x