高三数学高考基础知识复习：导数

用心 爱心 专心 高考数学基础知识复习 导数概念与运算高考数学基础知识复习 导数概念与运算 知识清单知识清单 1 导数的概念 函数 y f x 如果自变量 x 在 x0处有增量x 那么函数 y 相应地有增量y f x0 x f x0 比值 x y 叫做函数 y f x 在 x0到 x0 x 之间的平均变化率 即 x y x xfxxf 00 如果当0 x时 x y 有极限 我们就说函数 y f x 在点 x0处可 导 并把这个极限叫做 f x 在点 x0处的导数 记作 f x0 或 y 0 xx 即 f x0 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf 00 说明 说明 1 函数 f x 在点 x0处可导 是指0 x时 x y 有极限 如果 x y 不存在极限 就 说函数在点 x0处不可导 或说无导数 2 x 是自变量 x 在 x0处的改变量 0 x时 而y 是函数值的改变量 可以是零 由导数的定义可知 求函数 y f x 在点 x0处的导数的步骤 可由学生来归纳 1 求函数的增量y f x0 x f x0 2 求平均变化率 x y x xfxxf 00 3 取极限 得导数 f x0 x y x 0 lim 2 导数的几何意义 函数 y f x 在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y f x 在点 p x0 f x0 处的切线 的斜率 也就是说 曲线 y f x 在点 p x0 f x0 处的切线的斜率是 f x0 相应 地 切线方程为 y y0 f x0 x x0 3 几种常见函数的导数 0 C 1 nn xnx sin cosxx cos sinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 l glog aa oxe x 用心 爱心 专心 4 两个函数的和 差 积的求导法则 法则 1 两个函数的和 或差 的导数 等于这两个函数的导数的和 或差 即 vuvu 法则 2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个 函数乘以第二个函数的导数 即 uvvuuv 若 C 为常数 则 0 CuCuCuuCCu 即常数与函数的积的导数等于常数乘以 函数的导数 CuCu 法则 3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 v u 2 v uvvu v 0 形如 y f x 的函数称为复合函数 复合函数求导步骤 分解 求导 回代 法则 y X y U u X 高考数学基础知识复习 导数应用高考数学基础知识复习 导数应用 知识清单知识清单 1 单调区间 一般地 设函数 xfy 在某个区间可导 如果 f x0 则 xf为增函数 如果 f0 x 则 xf为减函数 如果在某区间内恒有 f0 x 则 xf为常数 2 极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0 极值点处的导数为 0 曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 3 最值 一般地 在区间 a b 上连续的函数 f x在 a b 上必有最大值与最小值 求函数 x在 a b 内的极值 求函数 x在区间端点的值 a b 将函数 x的各极值与 a b 比较 其中最大的是最大值 其中最小的是最小值 4 定积分 1 概念 设函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b把区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上取任一点 i i 1 2 n 作和式 用心 爱心 专心 In n i f 1 i x 其中 x为小区间长度 把n 即 x 0 时 和式In的极限叫做函 数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 b a dxxf 即 b a dxxf n i n f 1 lim i x 这里 a与b分别叫做积分下限与积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数f x 叫做 被积函数 x叫做积分变量 f x dx叫做被积式 基本的积分公式 dx0 C dxxm 1 1 1 m x m C m Q Q m 1 x 1 dx lnx C dxe x x e C dxa x a a x ln C xdxcos sinx C xdxsin cosx C 表中C均为常数 2 定积分的性质 b a b a dxxfkdxxkf k为常数 b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf b a c a b c dxxfdxxfdxxf 其中a c b 3 定积分求曲边梯形面积 由三条直线x a x b a b x轴及一条曲线y f x f x 0 围成的曲 边梯的面积 b a dxxfS 如果图形由曲线y1 f1 x y2 f2 x 不妨设f1 x f2 x 0 及直线 x a x b a b 围成 那么所求图形的面积S S曲边梯形AMNB S曲边梯形DMNC b a b a dxxfdxxf 21 课前预习课前预习 1 求下列函数导数 1 11 3 2 xx xxy 2 1 1 1 x xy 3 2 cos 2 sin xx xy 用心 爱心 专心 4 y x x sin 2 5 y x xxxx953 2 2 若曲线 4 yx 的一条切线l与直线480 xy 垂直 则l的方程为 A 430 xy B 450 xy C 430 xy D 430 xy 3 过点 1 0 作抛物线 2 1yxx 的切线 则其中一条切线为 A 220 xy B 330 xy C 10 xy D 10 xy 4 半径为 r 的圆的面积 S r r2 周长 C r 2 r 若将 r 看作 0 上的变量 则 r2 2 r 式可以用语言叙述为 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数 对于 1 1 半径为 R 的球 若将 R 看作 0 上的变量 请你写出类似于 的式子 1 式可以用语言叙述为 2 5 曲线 1 y x 和 2 yx 在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 6 对于 R 上可导的任意函数f x 若满足 x 1 fx 0 则必有 A f 0 f 2 2f 1 B f 0 f 2 2f 1 C f 0 f 2 2f 1 D f 0 f 2 2f 1 7 函数 xf的定义域为开区间 ba 导函数 x f 在 ba内的图象如图所示 则函数 xf在开区间 ba内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8 已知函数 1 1 ax x f xe x 设0a 讨论 yf x 的单调性 若对任意 0 1x 恒有 1f x 求a的取值范围 9 32 32f xxx 在区间 1 1 上的最大值是 A 2 B 0 C 2 D 4 10 设函数f x 32 23 1 1 1 xaxa 其中 求f x 的单调区间 讨论f x 的极值 11 设函数 3 32f xxx 分别在 12 xx 处取得极小值 极大值 xoy平面上点AB 的坐 用心 爱心 专心 标分别为 11 x f x 22 xf x 该平面上动点P满足 4PA PB 点Q是点P关于直线 2 4 yx 的对称点 求 I 求点AB 的坐标 II 求动点Q的轨迹方程 12 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱 上部的形状是侧棱长为 3m 的 正六棱锥 如右图所示 试问当帐篷的顶点O到底面中心 1 o的距离为多少时 帐篷的体积 最大 13 计算下列定积分的值 1 3 1 2 4 dxxx 2 2 1 5 1 dxx 3 dxxx 2 0 sin 4 dxx 2 2 2 cos 14 1 一物体按规律 x bt3作直线运动 式中 x 为时间 t 内通过的距离 媒质的阻力正比 于速度的平方 试求物体由 x 0 运动到 x a 时 阻力所作的功 2 抛物线 y ax2 bx 在第一象限内与直线 x y 4 相切 此抛物线与 x 轴所围成的图 形的面积记为 S 求使 S 达到最大值的 a b 值 并求 Smax 典型例题典型例题 一一 导数的概念与运算导数的概念与运算 EG 如果质点 A 按规律 s 2t3运动 则在 t 3 s 时的瞬时速度为 A 6m s B 18m s C 54m s D 81m s 变式变式 定义在 D 上的函数 xf 如果满足 xD 常数0M 都有 f x M 成立 则称 xf是 D 上的有界函数 其中 M 称为函数的上界 文 1 若已知质点的运动方程为at t tS 1 1 要使在 0 t 上的每一时刻的 瞬时速度是以 M 1 为上界的有界函数 求实数 a 的取值范围 理 2 若已知质点的运动方程为atttS 12 要使在 0 t 上的每一时 刻的瞬时速度是以 M 1 为上界的有界函数 求实数 a 的取值范围 EG 已知 x fxf x xf x 2 2 lim 1 0 则的值是 A 4 1 B 2 C 4 1 D 2 用心 爱心 专心 变式变式 1 为 则设 h fhf f h 2 33 lim 43 0 A 2C 3D 1 变式变式 2 00 0 0 3 lim x f xxf xx f xx x 设在可导则等于 A 0 2x f B 0 x f C 0 3x f D 0 4x f 根据所给的函数图像比较 012 h tt t t曲线在附近得变化情况 变式 变式 函数 xf的图像如图所示 下列数值排序正确的是 A 2 3 3 2 0 ffff y B 2 2 3 3 0 ffff C 2 3 2 3 0 ffff D 3 2 2 3 0 ffff O 1 2 3 4 x EG 求所给函数的导数 3 3 2 99 1 log sin 1 2 2 sin 25 nx x x yxxyx ey x yxyeyxx 文科 理科 变式 变式 设 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x 0 时 fx g xf x g x 0 且 g 3 0 则不等式 f x g x 0 的解集是 A 3 0 3 B 3 0 0 3 C 3 3 D 3 0 3 EG 已知函数lnyxx 1 求这个函数的导数 2 求这个函数在点1x 处的切线的方程 变式变式 1 已知函数 x ey 1 求这个函数在点ex 处的切线的方程 2 过原点作曲线 y ex的切线 求切线的方程 变式变式 2 函数 y ax2 1 的图象与直线 y x 相切 则 a A 1 8 B 4 1 C 2 1 D 1 EGEG 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 用心 爱心 专心 32 32 1 3 2 23 3 sin 0 4 23241 f xxxf xxx f xxx x f xxxx 变式变式 1 函数 x exxf 的一个单调递增区间是 A 0 1 B 8 2 C 2 1 D 2 0 变式变式 2 2 已知函数5 3 1 23 axxxy 1 若函数的单调递减区间是 3 1 则a的是 2 若函数在 1 上是单调增函数 则a的取值范围是 变式变式 3 3 设0 t 点 P t 0 是函数cbxxgaxxxf 23 与的图象的一个公共 点 两函数的图象在点 P 处有相同的切线 用t表示 a b c 若函数 xgxfy 在 1 3 上单调递减 求t的取值范围 EGEG 求函数 3 1 44 3 f xxx 的极值 求函数 3 1 44 3 f xxx 在 0 3上的最大值与最小值 变式变式 1 函数 xf的定义域为开区间 ba 导函数 x f 在 ba内的图象如图所示 则 函数 xf在开区间 ba内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 变式变式 2 已知函数 32 f xaxbxcx 在点 0 x处取得极大 值5 其导函数 yfx 的图象经过点 1 0 2 0 如 图所示 求 0 x的值 a b c的值 变式变式 3 3 若函数4 3 bxaxxf 当2 x时 函数 xf极值 3 4 1 求函数的解析式 2 若函数kxf 有 3 个解 求实数k的取值范围 a b x y xfy O a b x y xfy O 用心 爱心 专心 变式变式 4 已知函数 32 1 2 2 f xxxxc 对 x 1 2 不等式 f x c2恒成 立 求 c 的取值范围 EG 利用函数的单调性 证明 ln 0 x xxex 变式变式 1 1 证明 xx x 1ln 1 1 1 1x 变式变式 2 理科 理科 设函数 f x 1 x 2 ln 1 x 2 若关于 x 的方程 f x x2 x a 在 0 2 上恰好有两 个相异的实根 求实数 a 的取值范围 EGEG 函数 3 3 Rxxxxf 若 01 2 mxfmxf恒成立 求实数m的取值范围 变式变式 1 1 设函数 3 3 Rxxxxf 若 2 001sin mfmf恒成立 求 实数m的取值范围 变式变式 2 2 如图 曲线段 OMB 是函数 2 06 f xxx 的图象 BAx 轴于点 A 曲线段 OMB 上一点 M 2 t t处的切线 PQ 交 x 轴于点 P 交线段 AB 于点 Q 1 若 t 已知 求切线 PQ 的方程 2 求QAP 的面积的最大值 变式变式 3 3 用长为 90cm 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小 正方形 然后把四边翻折 900角 再焊接而成 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大的容积是多少 变式变式 4 4 某厂生产某种产品x件的总成本 3 75 2 1200 xxc 万元 已知产品单价的平方 与产品件数x成反比 生产 100 件这样的产品单价为 50 万元 产量定为多少时总利润最大 EG 计算下列定积分 理科定积分 微积分 理科定积分 微积分 23 2 110 22 0 11 1 x 2 2 x 3 sin dx 4 sin dx 5 sin dxdx xx xxdx 变式变式 1 计算 1 dx xx x 2 0 sincos 2cos 2 dxx 2 0 2 4 变式变式 2 2 求将抛物线xy 2 和直线1 x围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积 变式变式 3 3 在曲线 0 2 xxy上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为 12 1 试求 1 切点 A 的坐标 2 在切点 A 的切线方程 用心 爱心 专心 实战训练实战训练 1 1 设函数f x 在定义域内可导 y f x 的图象如右图所示 则导函数y f x 的图象可能 为 2 2 已知曲线S y 3x x3及点 2 2 P 则过点P可向S引切线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 3 3 C 设 S 上的切点 00 xy求导数得斜率 过点 P 可求得 2 00 1 2 0 xx 4 4 函数cossinyxxx 在下面哪个区间内是增函数 3 22 A 2 B 35 22 C 2 3 D 5 5 y 2x3 3x2 a的极大值为 6 那么a等于 A 6 B 0 C 5 D 1 6 6 函数f x x3 3x 1 在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 A 1 1 B 3 17 C 1 17 D 9 19 7 7 设l1为曲线y1 sinx在点 0 0 处的切线 l2为曲线y2 cosx在点 2 0 处的切线 则l1 与l2的夹角为 8 8 设函数f x x3 ax2 bx 1 若当x 1 时 有极值为 1 则函数 g x x3 ax2 bx的单调递 减区间为 9 07 湖北 已知函数 yf x 的图象在点 1 1 Mf 处的切线方程是 1 2 2 yx 则 1 1 f f 10 07 湖南 函数 3 12f xxx 在区间 33 上的最小值是 11 07 浙江 曲线 32 242yxxx 在点 13 处的切线方程是 9 9 已知函数 32 f xxaxb a bR 若函数 xf图像上任意一点处的切线的斜率小于 1 求证 33a 若 0 1x 函数 yf x 图像上任意一点处的切线的斜率为k 试讨论1k 的 充要条件 12 07 安徽 设函数f x cos2x 4tsin 2 x cos 2 x 4t2 t2 3t 4 x R 其中t 1 将f x 用心 爱心 专心 的最小值记为g t 求g t 的表达式 诗论g t 在区间 1 1 内的单调性并求极值 实战训练实战训练 B B 1 07 福建 已知对任意实数x 有 fxf xgxg x 且0 x 时 0 0fxg x 则0 x 时 A 0 0fxg x B 0 0fxg x C 0 0fxg x D 0 0fxg x 2 07 海南 曲线 1 2 e x y 在点 2 4e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 3 07 海南 曲线 x ye 在点 2 2 e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 4 e 2 2e 2 e 2 2 e 4 07 江苏 已知二次函数 2 f xaxbxc 的导数为 fx 0 0f 对于任意实 数x都有 0f x 则 1 0 f f 的最小值为 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 5 07 江西 5 若 0 2 x 则下列