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课件制作 应用数学系概率统计课程组 概率论与数理统计 4 4协方差及相关系数 4 4 1协方差及相关系数的定义 4 4 1协方差及相关系数的性质 问题对于二维随机变量 X Y 已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量 除了每个随机变量各自的概率特性以外 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个什么样的数去反映这种联系 数 反映了随机变量X Y之间的某种关系 若D X 0 D Y 0 称 为X Y的相关系数 记为 4 4 2协方差及相关系数的性质 注 注 显然 协方差的性质 当D X 0 D Y 0时 当且仅当 时 等式成立 Cauchy Schwarz不等式 证5令 对任何实数t 即 等号成立 有两个相等的实零点 即 又显然 即 即Y与X有线性关系的概率等于1 这种线性关系为 完全类似地可以证明 当E X2 0 E Y2 0时 当且仅当 时 等式成立 利用函数的期望或方差计算协方差 若 X Y 为离散型 若 X Y 为连续型 解 例4 4 1 例4 4 2 解 例4 4 3 解 X Y不相关 X Y相互独立 X Y不相关 若X Y服从二维正态分布 X Y相互独立 X Y不相关 X和Y独立时 0 但其逆不真 由于当X和Y独立时 Cov X Y 0 故 0 请看下例 例4 4 4设X服从 1 2 1 2 内的均匀分布 而Y cosX 请课下自行验证 因而 0 即X
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